JPS 概率论与数理统计》杂志上 1687 - 9538 1687 - 952 x Hindawi出版公司 10.1155 / 2014/854578 854578年 研究文章 对股票市场波动性互换预测:法国CAC - 40指数的应用实例 Zeghdoudi 哈利姆 1、2 Lallouche Abdellah 3 Remita 穆罕默德利雅得 1 李 Chin-Shang 1 圈实验室 Badji-Mokhtar大学 23000年英国石油公司12日阿纳巴 阿尔及利亚 univ-annaba.dz 2 计算数学和物理 沃特福德理工学院 沃特福德 爱尔兰 wit.ie 3 斯基克达大学20对,1955 阿尔及利亚 univ-skikda.dz 2014年 9 11 2014年 2014年 03 08年 2014年 21 09年 2014年 29日 09年 2014年 9 11 2014年 2014年 版权©2014哈利姆Zeghdoudi et al。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

本文着重于方差和波动互换的定价在赫斯顿模式下(1993)。为此,我们将这个模型应用到实证金融数据:法国CAC - 40指数。更准确地说,我们做一个应用实例对股票市场预测:法国CAC - 40指数波动价格互换使用GARCH(1,1)模型。

 1。介绍

黑色和斯科尔斯的模式 1)是最重要的模型之一,发现XXe世纪金融评估液体欧洲风格的香草选项。布莱克-斯科尔斯模型假设波动率是恒定的,但这种假设并不总是真实的。这个模型对衍生品的价格建立在金融和企业市场(见[ 2])。

“资产价格的波动是一个必不可少的输入在期权定价和风险管理。通过引入波动衍生品,现在波动,实际上,交易市场工具”Broadie和耆那教徒的 3]。

波动的一个主要参数用来描述和衡量资产价格的波动。它起着至关重要的作用在现代财务分析有关风险管理、期权估值和资产配置。有不同类型的波动:隐含波动率,当地的波动性和随机波动(见百利( 4])。

为此,新的金融产品是方差和波动互换,发挥决定性的作用在波动套期保值和投机。投资银行、货币、股票指数、金融市场和企业是有用的方差和波动的互换。

波动性互换允许投资者贸易和直接控制资产的波动性。此外,他们将贸易价格指数。底层通常是一个汇率(非常液体的市场),但也可能是一名股票或指数。然而,该指数的方差互换是可靠的市场,因为它可以被复制的一个线性组合在期货期权和动态位置。波动交换也不习惯只有在金融和企业在能源市场和行业。

方差互换合同包含两条腿:固定支腿(方差罢工)和浮动腿(实现方差)。有几个作品研究了方差互换投资组合理论和最优投资组合的方差互换基于伽马相关(VGC)模型(见曹和郭 5])。

本文的目标是估值和套期保值的波动互换的框架内GARCH(1, 1)随机波动模型在赫斯顿模型( 6]。赫斯顿资产过程的方差是考克斯等。 7)的过程。同时,我们使应用程序通过使用法国CAC - 40指数。

论文的结构如下。部分 2认为代表波动交换和方差互换。部分 3描述了赫斯顿的波动交换模型,给出了显式表达式 σ t 2 之间的关系,并讨论了GARCH和波动性互换。最后,我们做一个应用实例对股票市场预测:法国CAC - 40指数使用GARCH / ARCH模型。

 2。波动性互换

在本节中,我们给出一些定义和符号交换的股票的波动性,股票的波动性交换,交换和方差。

定义1。

互换了1980年代和两党之间有一个协议交换现金流在布鲁斯(定义的一个或几个未来的日期 8]。本合同一方同意支付一个固定金额对应反过来荣誉协议通过支付浮动,这取决于一些特定的潜在水平。因此通过进入一个互换合约,这种期权市场参与者可以交换不同的接触潜在支付一个固定在未来特定的时间点。

 定义2。

股票的波动性最简单的衡量其风险少或不确定性。在形式上,波动 σ R ( 年代 ) 是股票的年度标准差返回期间的利息,下标在哪里 R 代表观察到的或“意识到”股票的波动性 年代 。

 定义3(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B6 " > < / xref > 9])。

股票波动交换是一种远期合约的年化波动。其回报过期= (1) N σ R 年代 - - - - - - K 卷 , 在哪里 σ R ( 年代 ) ≔ ( 1 / T ) ∫ 0 T σ 年代 2 d 年代 , σ t 是一个随机的股票波动, K 卷 年化波动交割价格, N 是交换的名义金额欧元折合成年率波动。

 定义4(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B6 " > < / xref > 9])。

方差互换是一种远期合约年度差异,意识到的波动。其回报过期= (2) N σ R 2 年代 - - - - - - K var , 在哪里 K var 方差和交货价格吗 N 是交换的名义金额欧元/年化波动点的平方。

 符号1。

我们注意到, σ R 2 ( 年代 ) = V 。

使用Brockhaus和长( 10]和Javaheri [ 11)用于近似二阶泰勒公式 x ,我们有 (3) E V ≈ E V - - - - - - Var ⁡ V 8 E 3 / 2 V , 在哪里 Var ⁡ ( V ) / 8 E 3 / 2 ( V ) 凸性调整。因此,计算波动率互换两者我们都需要 E ( V ) 和 Var ⁡ ( V ) 。

意识到离散抽样方差定义如下: (4) V n 年代 ≔ n n - - - - - - 1 T ∑ 我 = 1 n ln ⁡ 2 年代 t 我 年代 t 我 - - - - - - 1 , V ≔ lim ⁡ n → ∞ V n 年代 , 在哪里 T 是成熟(年或天)。

 3所示。赫斯顿模型的波动率互换 3.1。随机波动率模型

让 ( Ω , F , F t , P ) 与过滤概率空间 F t , t ∈ ( 0 ; T ] 。我们认为风险中性赫斯顿价格随机波动模型 年代 t 和方差遵循以下模式: 年代 1 d 年代 t = r t 年代 t d t + σ t 年代 t d w 1 t , d σ t 2 = k θ 2 - - - - - - σ t 2 d t + ξ σ t d w 2 t , 在哪里 r t 是确定的利率, σ 0 > 0 和 θ > 0 短期和长期波动, k > 0 回复的速度, ξ > 0 是一个波动参数的波动, w 1 ( t ) 和 w 2 ( t ) 是独立的标准布朗运动。

我们可以把这个系统 年代 1 如下: ( 年代 2 ) d 年代 t = r t 年代 t d t + σ t 年代 t d w 1 ( t ) d σ t 2 = k θ 2 - - - - - - σ t 2 d t + ρ ξ σ t d w 1 ( t ) + ξ 1 - - - - - - ρ σ t d w t , 在哪里 w ( t ) 标准布朗运动是独立的 w 1 ( t ) 和经济指标 X 。让 浸 ⁡ ( d w 1 ( t ) , d w 2 ( t ) ) = ρ d t ,我们可以变换系统 ( 年代 2 ) 来 年代 1 如果我们更换 ρ d w 1 ( t ) + 1 - - - - - - ρ d w ( t ) 通过 d w 2 ( t ) 。

 3.2。显式表达式和属性的< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M43 " > < mml: mrow > < mml: msubsup > < mml: mrow > < mml: mi >σ< / mml: mi > < / mml: mrow > < mml: mrow > < mml: mi > t < / mml: mi > < / mml: mrow > < mml: mrow > < mml: mn > 2 < / mml: mn > < / mml: mrow > < / mml: msubsup > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >

在本节中,我们新配方的结果 12),需要研究方差和波动互换,pseudovariance价格,pseudovolatility,提出的问题他和王 13与确定性)对金融市场波动性作为时间的函数。这种方法最早应用于研究随机Swishchuk Cox-Ingersoll-Ross过程的稳定性和Kalemanova [ 14]。赫斯顿资产过程的方差 σ t 2 之后考克斯等人。 7)过程中,第二个方程描述 年代 1 。如果波动 σ t 遵循Ornstein-Uhlenbeck过程(见,例如,Oksendal [ 15),那么伊藤引理显示方差 σ t 2 是完全由第二个方程描述的过程 年代 1 。

我们开始定义下面的过程和函数: (5) v t ≔ e k t σ t 2 - - - - - - θ 2 , Φ t ≔ ξ - - - - - - 2 ∫ 0 t e k Φ 年代 σ 0 2 - - - - - - θ 2 + w ~ 2 年代 + θ 2 e 2 k Φ 年代 - - - - - - 1 d 年代 。

定义5。

我们定义 B ( t ) ≔ w ~ 2 ( Φ t - - - - - - 1 ) ,在那里 w ~ 2 是一个 F t 可测量的一维维纳过程, F ~ t ≔ F Φ t - - - - - - 1 , t ∧ 年代 ≔ 最小值 ⁡ ( t , 年代 ) ,在那里 Φ t - - - - - - 1 是一个逆函数的 Φ t 。的属性 B ( t ) 如下:

F ~ t 鞅和 E ( B ( t ) ) = 0 ;

E ( B 2 ( t ) ) = ξ 2 ( ( ( e k t - - - - - - 1 ) / k ) ( σ 0 2 - - - - - - θ 2 ) + ( ( e 2 k t - - - - - - 1 ) / 2 k ) θ 2 ) ;

E ( B ( 年代 ) B ( t ) ) = ξ 2 ( ( ( e k t ∧ 年代 - - - - - - 1 ) / k ) ( σ 0 2 - - - - - - θ 2 ) + ( ( e 2 k t ∧ 年代 - - - - - - 1 ) / 2 k ) θ 2 ) 。

引理6。

(一)考虑以下: (6) σ t 2 = e - - - - - - k t σ 0 2 - - - - - - θ 2 + B t + θ 2 ,

(b) (7) E ( σ t 2 ) = e - - - - - - k t σ 0 2 - - - - - - θ 2 + θ 2 ,

(c) (8) E σ 年代 2 σ t 2 = ξ 2 e - - - - - - k t + 年代 e k t ∧ 年代 - - - - - - 1 k σ 0 2 - - - - - - θ 2 + e 2 k t ∧ 年代 - - - - - - 1 2 k θ 2 + e - - - - - - k t + 年代 σ 0 2 - - - - - - θ 2 2 + e - - - - - - k t σ 0 2 - - - - - - θ 2 θ 2 + e - - - - - - k 年代 σ 0 2 - - - - - - θ 2 θ 2 + θ 4 。

证明。

参见[ 12]。

 定理7。

一个人

(一) (9) E ( V ) = 1 - - - - - - e - - - - - - k T k T σ 0 2 - - - - - - θ 2 + θ 2 ,

(b) (10) Var ⁡ V = ξ 2 e - - - - - - 2 k T 2 k 3 T 2 2 e 2 k T - - - - - - 4 k T e k T - - - - - - 2 σ 0 2 - - - - - - θ 2 + 2 k T e 2 k T - - - - - - 3 e 2 k T + 4 e k T - - - - - - 1 θ 2 。

证明。

(一)我们获得平均值 V (11) E ( V ) = 1 T ∫ 0 T E σ t 2 d t 利用引理 6,我们发现 (12) E ( V ) = 1 - - - - - - e - - - - - - k T k T σ 0 2 - - - - - - θ 2 + θ 2 。

(b)的方差 V = Var ⁡ ( V ) = E ( V 2 ) - - - - - - E 2 ( V ) ,第二个时刻可以发现如下:使用公式( 8)的引理 6: E ( V 2 ) = ( 1 / T 2 ) ∬ 0 T E ( σ t 2 σ 年代 2 ) d t d 年代 , (13) E V 2 = ξ 2 T 2 ∬ 0 T e - - - - - - k t + 年代 e k t ∧ 年代 - - - - - - 1 k σ 0 2 - - - - - - θ 2 + e 2 k t ∧ 年代 - - - - - - 1 2 k θ 2 d t d 年代 + E 2 ( V ) ,( 13我们发现)和方差公式 (14) Var ⁡ V = ξ 2 T 2 ∬ 0 T e - - - - - - k t + 年代 e k t ∧ 年代 - - - - - - 1 k σ 0 2 - - - - - - θ 2 + e 2 k t ∧ 年代 - - - - - - 1 2 k θ 2 d t d 年代 ; 计算后得到 (15) Var ⁡ V = ξ 2 e - - - - - - 2 k T 2 k 3 T 2 2 e 2 k T - - - - - - 4 k T e k T - - - - - - 2 σ 0 2 - - - - - - θ 2 + 2 k T e 2 k T - - - - - - 3 e 2 k T + 4 e k T - - - - - - 1 θ 2 达到了证明。

 推论8。

如果 k 足够大时,我们发现了什么 (16) E V = θ 2 , Var ⁡ ( V ) = 0 。

证明。

我们的想法是极限 k → ∞ 。

 备注9。

在这种情况下交换成熟 T 不影响 E ( V ) 和 Var ⁡ ( V ) 。

 3.3。GARCH(1,1)和波动互换

GARCH模型需要交换方差互换和波动。模型方差为赫斯顿模型是在一个连续的版本 (17) d σ t 2 = k θ 2 - - - - - - σ t 2 d t + ξ σ t d w 2 t 。 离散的GARCH(1,1)过程描述的恩格尔和麦兹里奇 16]: (18) ν n + 1 = 1 - - - - - - α - - - - - - β V + α u n 2 + β ν n , 在哪里 V 是长期的方差, u n 是drift-adjusted股票还在吗 n , α 重量分配到吗 u n 2 , β 重量分配到吗 ν n 。我们使用以下的关系( 19)计算离散GARCH(1,1)参数: (19) V = C 1 - - - - - - α - - - - - - β θ = V Δ t l , σ 0 = V Δ t 年代 k = 1 - - - - - - α - - - - - - β Δ t ξ 2 = α 2 K - - - - - - 1 Δ t , 在哪里 Δ t l = 1 / 252年 ,252个交易日在任何一年, Δ t 年代 = 1 / 63年 ,63个交易日在任何给定的三个月。

现在,我们将简要讨论的有效性假设瞬时方差的风险中性过程是一个持续的时间限制的GARCH(1,1)过程。众所周知,这个极限属性,瞬时方差的增加是有条件地不相关的标的资产的回报。这意味着,不幸的是,在每一个成熟度 T 隐含波动率是对称的。因此,期权定价的资产始终带着对称的微笑,这些观察最初既可用来校准模型或作为一个检验模型的有效性。值得一提的是,它是不适合使用平价隐含波动率一般来说价格交换经验丰富的波动。然而,我们的GARCH(1,1)近似仍然很健壮。

 4所示。应用程序

在本节中,我们应用部分的解析解 3价格的波动交换法国CAC - 40指数五年(2009年10月- 2013年4月)。

这个应用程序的第一步是学习本系列的平稳性。为此,我们使用的单位根检验Dickey-Fuller (ADF)和飞利浦·贝隆测试(PP)。

4.1。单位根测试和描述性分析

在本节中,我们总结了单位根测试和描述性分析的结果 年代 cac (见表 1)。

单位根检验。

测试 ADF 页
年代 cac −34.16458 −35.01017

单位根检验证实了本系列的平稳性。

在表 2法国CAC 40指数的所有统计参数。为分析 1155年 观察。意思是时间序列 0.0000528 、中值 0 和标准偏差 0.014589 。法国CAC 40指数偏态 - - - - - - 0.078899 ,所以它是负的,意味着大于中位数,还有没有分布。峰度是 7.255109 比3大,所以我们称为尖峰的,表明更高的峰值和胖尾比正态分布。Jarque-Bera是 809.0892 。所以我们可以预测一个上升趋势。

的意思是 中位数 性病,戴夫。 偏态 峰度 Jarque-B
年代 cac 5.28 E - - - - - - 5 0.0000 0.014589 −0.078899 7.255109 809.0892

GARCH(1,1)模型显然是表现最好的模型,因为他们接受的最低分数拟合指标同时代表最低的美,RMSE,日军, 看到 , BIC 在所有的模型。他们是紧随其后的是GARCH(2, 1)放置舒适低于拱(2)和拱(4)。然而,GARCH(1,1)模型很简单,容易搬运。结果还表明,GARCH(1,1)模型提高了预测性能(见表 3)。

模型 Adju R 2 看到 BIC RMSE 美 日军
拱(2) 0.989953 0.007369 −2.620676 0.013674 0.009786 3.612218
拱(4) 0.989971 0.007062 −2.801014 0.010689 0.007441 3.469134
GARCH (2, 1) 0.992352 0.003072 −7.893673 0.002668 0.002835 2.946543
GARCH (1, 1) 0.999122 0.002672 −8.993776 0.002668 0.001983 2.743416

数字应用程序。我们使用触摸屏软件,我们发现 C = 2.03×10−7, α = - - - - - - 0.008411 , β = 0.980310 , K = 7.255109 。为此,我们发现以下几点: V = 72.23942208×10−7; θ = 0.00182043 ; σ 0 = 0.0004551 ; k = 7.081452 ; ξ 2 = 0.111 51 。

我们使用的关系( 9)和( 10)交换成熟 T = 0.9 年,我们发现 (20) E V = 2.8273 × 1 0 - - - - - - 6 , Var ⁡ V = 5.0873 × 1 0 - - - - - - 9 。 凸性的调整 Var ⁡ ( V ) / 8 E 3 / 2 ( V ) = 0.13376 和 E ( V ) ≈ - - - - - - 0.13208 。

备注10。

如果未经罢工= 0.23456 ,然后调整罢工= 0.23456 - - - - - - 0.13376 = 0.1008 。

根据图 3 E ( V ) 呈几何倍数增长,收敛吗 T → ∞ 对3.3140×10−6。但 Var ⁡ ( V ) 在第一年线性上升指数在下降吗 1 , ∞ 年的时候 Var ⁡ ( V ) → 0 ,如果 T → ∞ 。

 4.2。结论

根据结果成立,GARCH(1,1)建模是一个很好的模型股票市场的波动性互换。同时,我们评论的影响,法国金融危机(2009)法国CAC - 40指数。

此外,我们提出了一个概率的方法,基于时间变化的方法,来研究方差和波动方差互换与标的资产和股票市场,赫斯顿模型。我们获得的公式方差和波动互换,但与另一个结构和另一个应用程序在报纸上的Brockhaus和长 10]和Swishchuk [ 12]。作为我们分析的应用程序解决方案,我们提供了一个数值例子使用法国CAC - 40指数价格交换在波动(图 1)。

GARCH(1, 1)法国CAC - 40指数预测。

同时,我们几个GARCH模型的预测性能比较使用不同的法国CAC - 40指数分布。我们发现GARCH(1, 1)学生倾斜 t 模型是最有前途的动态行为描述这些回报,因为它反映了他们的潜在过程的序列相关性,不对称波动集群、和尖峰的创新。结果还表明,GARCH(1,1)模型提高了预测的性能。这个结果后进一步表明GARCH(1,1)模型比其他三个模型(可能更有用拱门 ( 2 ) ,拱 ( 4 ) 和GARCH(2, 1)实现风险管理策略时法国CAC - 40指数(图 2)。

法国CAC 40指数条件方差。

法国CAC 40指数 E ( V ) 和 Var ⁡ ( V ) 。

 附录

我们给每个参数的提醒。

( 1 ) 性病。开发。(标准差)是一种测量色散或传播系列的。标准差是由 (.) 年代 = 1 N - - - - - - 1 ∑ 我 = 1 N y 我 - - - - - - y - - - - - - 2 , 在哪里 N 是观测的数量在当前样本吗 y - - - - - - 的意思是系列。

( 2 ) 偏态是一个衡量的不对称分布的系列绕着它的意思。偏态是计算 (a) 年代 = 1 N ∑ 我 = 1 N y 我 - - - - - - y - - - - - - σ ^ 3 , 在哪里 σ ^ 是一个标准差的估计是基于有偏估计量的方差( σ ^ = 年代 ( N - - - - - - 1 ) / N )。

( 3 ) 峰度措施的尖峰或平坦的分布系列。峰度是计算 (a) K = 1 N ∑ 我 = 1 N y 我 - - - - - - y - - - - - - σ ^ 4 , 在哪里 σ ^ 再次基于有偏估计量的方差。

( 4 ) Jarque-Bera测试是一个检验统计量是否正态分布系列。统计计算 (各) Jarque-Bera = N 6 年代 2 + K - - - - - - 3 2 4 , 在哪里 年代 是偏态和 K 峰度。

( 5 ) 平均绝对误差(美)如下: 美 = ( 1 / N ) ∑ 我 = 1 N y 我 - - - - - - y ^ 我 。

(6) 平均绝对误差百分比(日军)如下: 日军 = ∑ 我 = 1 N ( y 我 - - - - - - y ^ 我 ) / y 我 。

(7) 根均方误差(RMSE)如下: RMSE = ( 1 / N ) ∑ 我 = 1 N y 我 - - - - - - y ^ 我 2 。

(8) 调整后的平方(调整 R 2 )被认为是。

(9) 误差和回归(参见)。

(10) 施瓦兹准则(BIC)来衡量 n ln ⁡ 看到 + k ln ⁡ n 。

 利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

 承认

这项工作得到了ATRST(例:ANDRU)项目融资的框架内的内线(8号/ u23/1050)和阿威罗伊程序。

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