使用逆转危险率的参数回归模型

抽象的

比例危险回归模型广泛用于生存分析，以了解和利用生存时间和协变量之间的关系。对于缩小截留的生存时间，逆转危险率函数更合适。在本文中，我们使用倒的Weibull分布开发参数比例危险率模型。讨论了参数的置信区间的估计和构建。我们根据大量蒙特卡罗模拟评估所提出的程序的表现。我们使用实际情况说明了所提出的方法。

1.介绍

在生存研究中，通常使用协变或解释变量来表示人群中的异质性。这种情况的主要目标是理解和利用终身和协变量之间的关系。回归模型可用于评估协变量对寿命的影响。这些型号可以在许多方面配制，并且若干类型有常用。用于寿命的参数回归模型涉及用于分布一生的规范给定一个协变量向量．最常用的参数模型是Weibull回归模型，其满足两个受试者的寿命的危险率函数之间的比例关系。通常采用最大似然技术来查找模型参数的估计。有关参数回归模型的更多属性和应用，因此应该指的是律[1]。

在生存研究中，许多场合被禁止审查终身数据。例如，狒狒在amboseli储备，肯尼亚，在树上睡觉，在一天中的某些时候下降。观察员经常在这个下降发生后的一天后到达，在这些日子里，他们只能确定在特定时间之前发生的下降，从而缩短了下降时间（见[2])。在这种情况下，反向危险率比危险率更适合于分析寿命数据，因为当数据被截断时，危险率的估计是不稳定的。的反向危险率被定义为

由Barlow等人介绍[3.]， 功能已在各种上下文中使用，例如左审查下的分布函数的估计[1]，定义新的随机顺序[4]，寿命分布的特性[5- - - - - -7，研究老化行为[8，9]，演变新的维修和维护策略[10.，11.]，即混合比例风险模型[12.[和应激杂交危险模型[13.]。

最近，Sengupta和Nanda [14.在半造影设置中引入了比例反转危险模型。在本作工作中，我们介绍了一个完整的参数回归模型，满足比例逆转危险性质。倒威布尔分布作为寿命模型，可以扩展到任何参数模型。大量模拟研究表明，所提出的方法表现良好。

本文的其余部分安排如下。在部分2，我们使用反转的威布尔分布介绍参数回归模型。拟议的模型具有对受试者一生的逆转危险率为比例。估计模型的参数在部分中讨论3.．模拟研究在部分进行4评估估算器的有限样本行为。所提出的模型适用于截面中的现实生活数据5说明其实用程序。最后部分6提供了该研究的主要结论。

2.统计模型

让是一个非负随机变量，表示具有分配功能的主体的寿命．假设概率密度函数，,存在。的反向危险率在(1）可以写成 让是可能是依赖于时间的辅助信息矢量。比例逆转危险（PRH）模型由 在哪里是基线反风险率，是一个非负功能和回归参数矢量，和是逆转的危险率考虑到协变量．PRH模型可以以分配函数表示 在哪里是分布功能给予和为无协变量时的基线分布函数。应该注意的是，对于两个受试者，反向危险比率与时间无关．半造型分析模型（2）最近在Sengupta和Nanda讨论了[14.]。我们这里的目标是在左审查下进行对倒的Weibull分布的参数分析。当寿命随机变量遵循反相的威布尔分布时，基线分布函数由 基线逆转危险率然后获得为 请注意，基线逆转危险率降低增加。在有协变量的情况下， 我们有 我们假设以便 与 假设寿命随机变量随机留下审查吗．在实践中，我们可以观察这些向量， 在哪里和与为指示函数。让，，是i.i.d.副本．然后可以写入似然函数 在倒威布尔分布假设下，给出的似然函数（10.）获得为 因此，日志似然函数是 在哪里是一个真正的恒定独立，， 和．我们最大化(12.）估计参数，， 和通过将部分导数与每个参数等同于零作为零等同 由于没有可用的封闭表格解决方案（13.），我们使用数字方法来估计参数。观察到的信息矩阵由 请注意，矩阵（14.）是订单．在标准正则性条件下，估计向量是渐近的- 用平均矢量逼真和色散矩阵， 在哪里费雪信息矩阵是从哪里得到的通过取每个条目的期望值。

有不同的算法可以通过求解分数方程或直接优化似然函数来估计参数。牛顿-拉夫森法是最常用的估计方法，因为它很容易确定分数方程的导数。在这种数值迭代方法中，由于对数函数的存在，初值起着至关重要的作用。在本节给出的模拟研究中4，我们使用Neldar和Mead提出的Simplex方法[15.来估计参数。单纯形法是一种通过最大化似然函数来估计参数的简单方法，在这种方法中我们不需要优化函数的导数。

3.的测试和置信区间

可以通过似然比测试程序导出参数的测试和间隔估计。我们主要对回归参数感兴趣参数在哪里通常被视为滋扰参数。

让我们向量回归参数表示为， 在哪里和是尺寸的载体和分别和是模型中的另一个参数。我们有兴趣测试 在哪里为指定的回归参数值。测试，我们构建了可能性比率统计 在哪里，， 和是完整模型下的最大可能性估计。对于大量的价值，跟随在空假设下的分布。

或者，我们可以使用测试统计数据 在哪里可以从中获得，被划分为 在零假设下，换分布。

假设渐近正常性，我们可以构建个人回归参数的置信区间作为 在哪里可以从中获得．

另一个重要问题是在比例逆转危险模型中选择重要的协变量。由于我们假设参数模型，我们可以使用诸如Akaike信息标准（AIC）和贝叶斯信息标准（BIC）的可变选择方法。为了测试参数模型的充分性，可以使用Cox-Snell残留物，其在部分中解释5举个例子。

4.绩效分析

为了评估所提出的方法的性能，我们进行了大量的模拟。我们从倒的Weibull分布生成大小100的样本，具有不同的参数值和．我们考虑了从统一（0,1）产生的单个协变量，并且假定的回归参数．我们使用与参数的指数分布生成的随机数据开发了审查机制．我们选择的价值这样的缩醛数据的百分比在10％到20％之间。我们使用了Neldar和Mead提出的单纯形方法[15.来估计参数。我们重复了这项研究10000次，并计算了参数估计的平均值和标准偏差。重复整个研究的样本量为250.参数估计的摘要在表中给出1．

从表1可以看出，基于10000次模拟的参数估计值的均值与真实参数值非常接近，标准差也很小。当样本量增大时，估计的标准误差减小，偏差减小。应该指出的是，在所有情况下都有轻微的正偏倚，即使它是微不足道的。由于没有基于反向危险率的可比较模型，我们没有进行任何比较研究。

5.一个例子

我们考虑了Duffy等人给出的澳大利亚双胞胎研究的左截尾数据[16.]。数据包括有关单卵和大表孪晶双胞胎的阑尾切除术年龄的信息。有没有缺失的观察结果，因此数据被删除。截至持续不到11岁的年龄的个体被截留。协变量，即Zygocity，具有1至6的值。该数据集由54个观察结果组成，其中15个观察结果被禁用。我们使用此数据来说明参数反向危险率模型的实用程序。概率绘图和统计测试证实了数据分布为倒威布尔分布。我们使用Simplex方法来估计参数。由于参数值未知并且避免不适当的初始值的效果，因此我们考虑不同的初始值，并选择具有最大可能性的估计。参数的估计是，， 和．95％的置信区间表示对应于ZyGocity的回归系数不会显着不同于零;也就是说，Zygocity的效果可以忽略不计。还通过可能性比率比率比率0.0074进行了验证了这一结论。价值0.93。

我们使用Cox-Snell残留曲线来评估合适的良好。Cox-Snell残差由 如果模型适合数据，那么残差应该具有标准指数分布，因此残差与剩余危险的纳尔逊 - Aalen估计器的危险曲线将是一个带斜坡的直线。在图中给出了对纳尔逊 - AALEN估计的COX-SNEL残差的曲线图在图中给出了累积危害率的累积危害率的估计1，这表明契合度相当好。

6。结论

比例逆转危险速率模型更适合于建模左缩象的终身数据。在本文中，我们提出了一种参数PRH模型，假设终身数据遵循反相的Weibull分布。已经详细讨论了模型参数的估计和假设测试。基于大量蒙特卡罗模拟来评估所提出的模型的性能。我们的模拟结果清楚地表明所提出的模型表现良好。我们将所提出的模型应用于真实生活示例以说明该方法的效用。最近，贝叶斯方法在终身数据分析中广泛使用。通过选择适当的先前分配所提出的模型的推理程序是要探索研究的主题。目前的工作可以很容易地扩展到任何位置规模的分布系列。

利益冲突

作者宣布本文没有利益冲突。

致谢

作者要感谢编辑和一位匿名推荐人的宝贵意见和建议，这些意见和建议极大地提高了本文早期版本的整体质量。varyath博士的研究得到了加拿大自然科学与工程理事会的资助。

参考

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