文摘
ARCH / GARCH模型已成功应用于实证金融很多年了。本文调查了半参数和非参数方法在单变量和多变量ARCH / GARCH模型。首先,我们介绍一些具体的半参数模型并研究了半参数和非参数估计技术应用于:误差密度,波动函数的函数形式,均值和方差之间的关系,长记忆过程,局部平稳过程,连续时间过程和多变量模型。论文的第二部分是关于这些过程的一般性质,包括静止条件下,遍历条件和混合条件。最后一部分是在ARCH / GARCH评估方法流程。
1。介绍
金融时间序列的关键属性似乎是这样的。(一)边际分布有沉重的尾巴和薄中心(峭度);(b)的规模传播似乎随时间变化;(c)返回系列似乎几乎不相关的随着时间的推移,但要依赖通过更高的时刻。参见[1,2一些早期的讨论)。传统的线性模型与自回归移动平均线类不捕获所有这些现象。这是使用非线性模型的动机。ARCH类的过程一直是主要的工具实证金融多年来,现在,因为他们已经与一些成功解决所有这些问题。这一章是关于非参数方法。
2。GARCH模型
随机波动率模型的当前兴趣实证金融·恩格尔(开创性的工作后3]。也许最受欢迎的版本仍然是Bollerslev的4]GARCH(1,1)模型的条件方差利用鞅差序列的是 拱()过程对应于这个模型已经被广泛地研究和广义以各种方式,看到Bollerslev的审查等。5]。后Drost和Nijman6),我们可以给三个解释(2.1)。的强大的形式GARCH(1,1)过程时出现 是i.i.d.平均值为零,方差一个,哪里定义在(2.1)。最常见的特殊情况是标准正态。的semistrong形式出现时在(2.2) 在哪里是σ字段生成的整个过去的历史吗的过程。最后,有一个弱形式的被定义为对某一子空间投影,这样实际的条件方差可能不配合(2.1)。强大的属性GARCH过程很好理解,和限制下参数它可以证明是严格正的概率,弱和/或严格固定,几何混合和遍历性。模型的缺点是有据可查的,看到的,-蔡(7例如,]。
3所示。单变量模型
有几种不同的方法引入随机波动模型非参数分量。这项工作旨在克服一些限制的参数假设在高斯强GARCH模型。
3.1。误差密度
估计的强GARCH过程通常通过指定误差密度所得标准正态,然后最大化条件(初始值)高斯概率函数。它已经表明,得到的估计量是一致的和各种条件下的渐近正态的。QuasiMaximum似然估计(QMLE)方法提出的维斯(8)和Bollerslev里奇(9]表明,参数的估计得到最大化似然函数构造常态假设下仍能保持一致,即使真正的密度是不正常的。在许多情况下,有证据表明,标准化残差估计GARCH模型不是正态分布,尤其对高频金融时间序列。恩格尔和Gonzalez-Rivera10)发起的半参数模型的研究与一些i.i.d.密度这可能是非正规的,因此假设 在哪里与密度i.i.d.未知的函数形式。有证据表明,标准化残差的密度nonGaussian。一个可以获得更多有效的估计感兴趣的参数的估计nonparametrically。林惇(11)和Drost克拉森(12)开发基于估计,建立半参数估计的效率边界的参数。在某些情况下,例如,如果对零是对称的,可以自适应地估计一些参数,即可以实现相同的渐近效率好像人知道错误密度。在其他情况下,或对某些参数,它是不可能去适应,也就是说,它不可能估计一样有效是已知的。这些半参数模型可以很容易地适用于交付风险价值和条件风险价值度量基于密度估计。
3.2。波动函数的函数形式
另一条线的工作一直是问题的具体函数形式波动函数,因为估计不是健壮就其规范。新闻影响曲线之间的关系和拿着过去的值不断的在某种程度上。这是一个重要的关系,描述了新信息如何影响波动。GARCH过程,新闻影响曲线 它是可分的也就是说,不依赖于这是偶函数的新闻也就是说,这是一个二次函数用最小的为零均匀度属性意味着为关于零对称分布
由于有限责任,我们可能期望,正面和负面的冲击对股票收益的波动性,有不同的影响。均匀度GARCH过程的新闻影响曲线排除这样的“杠杆效应”。纳尔逊(13]介绍了指数GARCH模型来解决这个问题。让,让在哪里是i.i.d.平均值为零,方差一个。这允许非对称效应的冲击对当前波动性,即新闻影响曲线可以是不对称的。例如,即使关于零是对称的。另一种方法允许消息不对称影响曲线Glosten et al。14)模式
有许多不同的新闻影响曲线参数化建模方法,他们可以给出不同答案的从业者可能最感兴趣。这促使一种非参数方法,因为函数形式,从而允许更大的灵活性。非参数拱文学显然始于异教和Schwert15和异教徒和香港16]。他们考虑的情况在哪里是一个平稳但未知函数,multilag版本吗这允许一般形状的新闻影响曲线和巢的所有参数拱过程。一些一般性的条件下(例如,不超过二次增长速度在反面)这个过程吗是几何上强烈的混合。下型锤和Tsybakov17]应用局部线性适合估计波动函数均值函数和一起他们共同的渐近性质。多元扩展是由下型锤等。18]。Masry和Tjøstheim19)还估计的非参数拱模型使用Nadaraya-Watson内核估计量。卢和林顿(20.CLT)延长了整个过程,只是时代依赖附近。风扇和姚21)讨论了效率问题在这个模型中,参见段(22]。因特网et al。23)考虑引导提高推理的应用。在实践中,有必要包括许多滞后变量与依赖财务数据中找到。非参数估计的问题是一个多维回归表面存在众所周知的“维度”的诅咒:最优收敛速度与维数降低看到石(24]。此外,很难描述,解释和理解估计回归表面当维度两个以上。此外,即使对于大这种模式极大地限制了方差的动力学过程,因为它有效地对应于一个拱门(d)模型,参数已知的情况下捕捉动态不好。特别是,如果条件方差非常持久,有条件的非参数估计量方差将提供一个可怜的近似,据阶石[25]。也只有这个模型也不能获取充分的时间序列特性很多数据集,但估计的统计特性可以贫穷,以及由此产生的估计很难解释。
添加剂模型提供了一个灵活但吝啬的替代非参数模型,并在许多情况下使用;参见[26]。假设 对于一些未知函数的函数只允许通用的函数形式,但取决于什么这类过程巢许多参数拱模型。同样,在增长条件下的过程可以证明是静止和几何混合。的函数可以通过特殊的内核回归估计技术,如边际集成的方法;参见[27,28]。最好的可行的收敛速度的估计是一维非参数回归;参见[29日]。Masry和Tjøstheim19估计为一个类开发的时间序列模型包括(3.3)。杨et al。30.)提出了一个替代非线性拱模型的条件的意思是添加剂,但波动是乘法金姆和林顿(31日]推广这种模式允许任意(但已知)转换,也就是说,在哪里是一个已知函数像日志或水平。典型的实证研究结果,新闻影响曲线有一个倒不对称字。
这些模型解决维数的诅咒,但他们非常严格的对信息的数量允许影响波动,特别是不窝GARCH(1,1)过程。林惇和定32)提出了以下模型: 在哪里和是一个未知但光滑函数。系数满足至少和对所有这个模型的一个特例是恩格尔和Ng (33]PNP型模型, 在哪里是一个光滑但未知函数。这个模型巢简单的GARCH(1,1)模型但允许更一般的函数形式:它允许一个不对称的杠杆效应,尽可能多的动力学GARCH (1, 1)。估计这些模型是基于迭代滤波的方法。林惇和定32]表明,每日和每周的新闻影响曲线标准普尔数据相当不对称nonquadratic尾巴并不是最小的为零,但一些积极的回报。下面我们展示他们的估计量,表示PNP型,与常见的参数符合相比,表示AGARCH。
杨(34]介绍了半参数指数模型 在哪里对于每一个已知函数满足条件和一些衰变光滑但未知。这个过程巢GARCH (1,1)身份,而且二次模型认为在罗宾逊35]。
Audrino和Buhlmann36提出他们的模型对于一些光滑但未知函数,包括PNP型模型的特例。他们提出了一个估计算法。然而,他们没有建立他们的估计量的分布理论,这可能是非常难以建立模型的通用性。
3.3。均值和方差之间的关系
上面的讨论都集中在波动本身的发展,而一个通常是非常感兴趣。也许有人会认为,风险和回报应该是相关的;参见[37]。GARCH-in-Mean过程捕获这个想法,它是 各种功能的形式例如,线性和对数线性和给定的规范。恩格尔et al。38]介绍了该模型与应用研究期限结构。在这里,是参数估计误差方差的参数。一些作者发现小而重要的影响。这里是动力的非参数方法的灵活性。异教徒和香港16]和异教徒Ullah [39)视为一个情况下,条件方差非参数(有有限数量的滞后),但进入均值方程线性或对数线性的。林惇和门阶40研究的情况非参数,但参数,例如东南亚四国。估计算法应用于股票指数返回数据。他们估计函数非单调日常标准普尔的回报。
3.4。长期记忆
另一条线的工作认为,传统模型涉及到的依赖结构不符合数据。GARCH(1,1)过程的形式 为常量令人满意的提供弱平稳过程,这就需要这些系数衰减迅速,所以实际的内存数量是相当有限的。有一些经验证据的自相关函数高频返回数据显示较慢的衰变率比将暗示这些系数;参见[41]。长形式的内存模型本质上是(3.8),但与衰变速率慢。例如,假设对于一些系数满足提供部分集成(FIGARCH)导致这样的扩张。有一个参数决定了记忆系列的属性,和 在哪里表示分数差分算子。当我们有标准IGARCH模型。为我们可以定义的二项展开式上面给出的形式。看到罗宾逊(35]米凯尔森和Bollerslev [41)模型。长期记忆的证据往往是基于样本自协方差这可能是当只有几分钟的问题存在;参见[42]。看到Giraitis[的工作43)一个不错的评论。
3.5。本地固定流程
最近,另一种批评GARCH流程已经脱颖而出,即通常的平稳性的假设。IGARCH过程()是一种非平稳的GARCH模型,但它有一定的不良特性,如方差的不存在。另一种方法是GARCH模型系数的过程改变随着时间的推移,如此 在哪里和光滑但否则未知函数的变量当这类过程不稳定,但可以被视为本地固定的达尔(44),提供了记忆是弱,也就是说,以这种方式无条件方差存在,也就是说,但可以改变随着时间的推移慢慢的记忆。达尔和Subba Rao45)最近提供了一个全面的理论拱等流程和推理方法的特例。参见[46)进一步审查。
恩格尔和兰格尔(47)提出了这个模型的一个特例,无条件方差随着时间的变化,但系数和是假定为常数。通过这种方式,我们可以写,在那里是一个单位GARCH(1,1)过程代表“高频”波动,而是低频模拟nonparametrically无条件的波动。恩格尔和兰格尔(47协变量)也允许波动的低频分量。
3.6。连续时间
最近有很多工作在连续时间过程的非参数估计,看,例如,(48]。给定一个完整记录的事务或报价的价格,是很自然的模型价格在连续时间(例如,49])。这比赛巨大的连续时间金融经济无套利理论基于一个无摩擦的市场。标准的假设下,对套利和返回过程不允许有限瞬时的意思是,资产价格过程,以及平滑转换,属于一类特殊半,详细的回(50]。在一些情况下,我们回顾了半参数GARCH过程可以近似连续时间过程随着采样间隔的增加。工作综述了连续时间在本卷其他地方,这里我们只是指出,这种方法可以被视为非参数和作为一个竞争者我们上面列出的离散时间模型。
4所示。多变量的情况下
是很重要的波动模型扩展到多元框架,为理解不同的财务回报的comovements也是极大的兴趣。MGARCH的规范模型应该足够灵活来表示的动力学结构条件方差和协方差矩阵和吝啬的足以处理参数的快速扩张,当维数增加。半参数和非参数方法提供了一个替代方法的参数估计通过优势不施加特定的数据结构。我们有一个向量时间序列满足 在哪里是一个向量的鞅差序列满足吗和而是一个对称正定矩阵。在这种情况下,的条件协方差矩阵给自己的历史。通常的方法是指定一个参数模型也许同样的边际密度有很多参数模型我们提到两个最近的进展,尤其适用于大空间系统。首先,所谓的CCC(常数条件相关性)模型,Bollerslev [51), 在哪里是一个对角矩阵元素在哪里遵循一个单变量参数GARCH或其他规范,是一个通过相关矩阵。第二个模型概括这允许随时间尽管限制参数的方法,并因此被称为DCC(动态条件相关),恩格尔(52]。
4.1。误差密度
Hafner和Rombouts53)被认为是半参数模型的函数形式条件协方差矩阵指定参数化而创新分布不明,也就是说,是我的。d与密度函数,在那里未知的函数形式。在最一般的情况下,他们治疗的半参数模型的多变量扩展恩格尔和Gonzalez-Rivera10]。他们表明,这不是一般可能的适应,虽然可以实现半参数效率的确定参数。半参数估计的效率比QMLE如果创新分布非正态的。这些方法通常可以提供效率提升但可能不是健壮的依赖或随时间变化的。在实践中,估计密度是很重但是接近对称尾随了股票回报。
还值得一提的苏格兰民族党(SemiNonParametric)方法,由格兰特和陶亨首次引入54]。评估过程的基本组成部分的条件密度固定的多元时间序列依赖于埃尔米特级数展开,与模式选择策略来确定适当的程度的扩张。在一些合理规律的条件下估计量是一致的。
不受限制的半参数模型的一个主要问题是维度的诅咒:增加了最佳速度误差密度估计可以变得越来越差。在实践中,允许无限制地四个或更多的变量是不现实的,甚至巨大的样本大小。这激发了限制版本的通用模型,体现一种妥协之间的函数形式的灵活性和合理的小样本属性的估计方法。
模型的第一节课是家庭的球对称的密度 在哪里是一个未知的但标量函数。这避免了“维数的诅咒”建设问题,并能在原则上适用于非常高的空间系统。这类分布在金融很重要,由于CAPM是符合共同椭圆对称(即返回。后,球对称位置和尺度转换),英格索尔(55]。Hafner和Rombouts53)指定为参数化开发评估方法在这个假设。
另一种方法是基于介体功能。Sklar定理,可以模仿任何多元分布边缘分布的每个系列以及个人之间的依赖结构系列由接合部捕获功能。连系动词本身就是一个多元分布函数与统一的人。随机变量的联合分布函数和定义为二元分布函数的不着边际和和相关函数措施的依赖。
陈和风扇56)提出了一种新的半参数copula-based多元动态模型,所谓SCOMDY模型,在这种情况下的条件均值和条件方差多元时间序列指定参数化,而标准化创新的多元分布semiparametrically作为一个参数指定接合部评估在非参数不着边际。这种方法的优点是非常灵活的创新分布估计的单变量的边际分布nonparametrically和拟合参数的连系动词及其规避维度的“诅咒”。SCOMDY模型是半参数的一个重要类copula-based多元GARCH模型,它具有以下设置: 在哪里i.i.d.随机向量序列与零均值方差和单元。在这种情况下,返回的条件协方差矩阵是在CCC的类模型。SCOMDY的关键特性是半参数形式采取的联合分布函数的: 在哪里是一个参数化的相关函数取决于未知,对于,是创新的边际分布函数被认为是连续的,但否则不明。很多组合的例子已经介绍了,等GARCH(1, 1),正常的接合部和GARCH(1,1),学生的-连系动词。
Embrechts et al。57)是最具影响力的纸接合部的早期研究金融和自那时以来,许多copula-based模型被引入和金融应用程序中使用。巴顿的copula-GARCH模型(58,59介体的]提出的参数时变动态的方式。Jondeau和摇摆60)模仿日常返回系列单变量时变倾斜——学生分布和高斯分布或学生连系动词的依赖。Panchenko [61年)也被认为是半参数copula-based模型应用于风险管理。罗德里格斯(62年]和Okimoto [63年)提出了状态变换的相关模型对国际股票指数。最近的一篇论文Chollette et al。64年]估计连系动词的多元体制转换模型的一个扩展Pelletier [65年nonGaussian案件)模型。
4.2。有条件的协方差矩阵
Hafner et al。66年)提出了一种半参数方法的条件协方差矩阵允许条件方差参数化建模通过使用任何选择的单变量GARCH-type模型,虽然条件相关性是由非参数估计方法。条件协方差矩阵定义如下: 在哪里参数化建模是任意选择的单变量GARCH规范,然后呢治疗nonparametrically作为状态变量的一个未知函数因此对于一些未知矩阵函数。这个函数基于新残差估计使用内核的方法从最初的单变量参数GARCH模型的适合。
最近,Hafner和林顿(67年]介绍了多元乘法波动模型,该模型可以被看作是恩格尔的多元spline-GARCH模型的版本,兰格尔(47]。一个向量时间序列的形式: 在哪里(至少)是一种严格的固定单位鞅差序列条件方差。慢变的模型允许无条件方差矩阵是未知的短期动态捕获,这本身就是一个单位方差多元GARCH过程,例如BEKK模型 在哪里参数矩阵,
冯(68年)提出了一个替代规范调用本地动态条件相关(LDCC)模型,在总协方差矩阵分解为有条件的和无条件的组件。总协方差矩阵的形式: 在哪里和和是当地的差异,条件方差和吗表示动态相关性。具体地说,而遵循一个参数单元GARCH类型的过程。在参数DCC模型所得的估计一分之一单变量模型,然后使用标准化残差估计模型
5。一般性质
参数的属性强大的GARCH(1,1)模型很好地描述在纳尔逊(69年]。弱稳定性的充分必要条件是和,而这个过程有一个独特的严格固定解当且仅当当。Bougerol和皮卡德(70年]扩展研究,发现充分必要严格固定条件GARCH (p, q)的过程。在Giraitis et al。71年),一个广泛的非负类拱()已经被研究和充分条件建立了稳态解的存在。凌和McAleer72年)建立了存在的充分必要条件的高阶时刻GARCH模型(p, q)。看到林德纳(73年),一个非常漂亮的平稳性,混合,分配的属性和时刻GARCH (p, q)的过程。
在[19],Masry Tjøstheim他们证明在特定条件下非参数拱模型强烈混合。Giraitis et al。43调查了拱()模型及其属性。拱()过程可以扩展到其沃尔泰拉表示: 充分必要条件存在的一个独特的固定方案是。存在的必要和充分条件固定的解决方案还提供了。另一种方法被讨论的问题是Kazakevičius et al。74年]。Kazakevičius和Leipus75年)获得存在的充分条件固定拱(没有一刻条件)模型。FIGARCH与有限的二次矩,没有固定的解决方案在白臀等。76年),一个非零的固定提供的解决方案是添加额外的假设的分布。
达尔和Subba Rao45]研究了拱的非平稳的类(与时变系数)过程。这样一种时变拱过程可以通过固定拱局部近似过程,因此考虑到符号“本地固定拱()过程”。此外,他们还提供了一些充分条件,以确保这个过程混合。
copula-based类,严格固定,半参数一阶马尔可夫模型可以描述的接合部依赖参数和不变的(边际)一维分布。对于这类模型,陈和风扇77年)提出混合时间依赖的措施是完全由相关函数的性质决定的。贝尔(78年)为几何提供了充分条件混合的介体尾部没有任何依赖。在陈et al。79年),他们发现,许多广泛使用的尾依赖copula-based马尔可夫模型是几何遍历性,因此几何混合。
6。估计
GARCH模型的参数估计,quasimaximum似然估计值(QMLE)通常是一致的,限制了正态分布只提供了指定的条件均值和条件方差是正确的,也就是说,semistrong不强需要GARCH和条件正常不是必需的。(见[9])。维斯(8)是第一篇论文研究拱初速的渐近性质,这表明初速的一致性和渐近正态的,要求具有有限第四时刻。在Lumsdaine [80年),已经证明了一致性和渐近正态GARCH(1,1)和IGARCH(1, 1),辅助的主要假设是对称的单峰i.i.d.和。李和汉森(81年]证明了QMLE的严格性和渐近正态平稳semistrong GARCH(1,1)模型与错误条件第四时刻是一致有界的。大厅和姚82年]认为薄弱的平稳性和显示,渐近正常举行在强大的GARCH的情况下,还建立了限制行为(不见正常)在较弱的条件。詹森和Rahbek [83年)是第一个考虑QMLE的渐近理论的非平稳强劲GARCH模型。基于可能性估计的参数GARCH(1, 1)在整个参数空间一致性和渐近正态不管过程是静止的易爆,只要有限条件第四时刻。的渐近理论推导QMLE变得更加复杂的GARCH (p, q)。所以其他评估方法必须考虑,包括拱模型的自适应估计(11一般拱),惠特尔估计()情况84年]。最小绝对偏差估计,85年),当相一致中位数。弱的时刻条件下估计量的渐近正态的。林惇et al。86年)估计的非平稳semistrong GARCH(1,1)模型和重尾分布族错误和证明的装货收敛率正态分布在非常温和的条件错误。结果意味着装总是渐近正态的,不管是否有一个固定的解决方案,即使错误是重尾分布。装货是更有吸引力的申请错误重尾分布的情况。
当误差密度是未知的,在恩格尔和Gonzalez-Rivera [10在QMLE],他们提出了一个有效的估计量,基于非参数密度。但这半参数估计量似乎并没有捕获的总效率的潜在收益。林惇(11)和Drost克拉森(12)开发基于内核的估计,建立半参数估计的效率边界的参数。在阳光和Stengos [87年),他们认为半参数有效的自适应估计的非对称GARCH情况下通过一个两步方法。未知干扰最初估计的密度函数内核方法然后牛顿迭代法应用于比QMLE获得更有效的估计量。
下型锤和Tsybakov17]应用局部多项式线性适合估计波动函数时的条件均值和条件方差是未知的。结果他们发现纸点态联合的渐近正态性的LP-estimators条件均值和方差。Masry和Tjøstheim19使用Nadaraya-Watson内核)估计的非参数拱模型估计量,建立了强一致性连同大幅收敛率下温和的规律的假设。渐近线的理论。恩格尔和兰格尔(47)建造了一个非平稳的GARCH模型通过使用样条方法。这个模型可以被看作是类的一种特殊情况我们之前提到的局部平稳过程。达尔和Subba Rao45)估计的参数不稳定拱()过程由一个加权quasimaximum可能性方法一段,但估计偏差是由于非平稳段。方法的一个缺点是,偏差项只能表示在12日的存在的时刻。如果提供了较弱的条件下,估计仍是渐近正态的显式形式的偏见无法评估。
金姆和林顿(88年]研究了半参数IGARCH(1, 1)模型,巢标准IGARCH(1,1)模型,并允许更大的灵活性的函数形式。评估策略是基于非参数工具变量方法。他们建立的最优收敛速度和一致收敛率的非参数和参数的一致性。人们仍然可以得到渐近速度正常在一些情况下,但这是没有保证的。
Hafner和Rombouts53)提出了一种半参数多变量波动模型,多元版本的恩格尔和Gonzalez-Rivera10]。的半参数下界估计特征是在报纸上和他们建议两种类型的SP estimatior,第一个适用于一般创新密度,而第二个是基于球形的假设。另一种可能性来处理错误密度与系动词。陈和风扇56)构造简单的介体和其他参数的估计。他们建立了估计的大样本性质下misspecified参数接合部,表明这两个未知的动态参数的估计和边际分布仍然一致而接合部依赖参数的估计值收敛。陈和风扇77年模仿一个一元版的这类半参数模型,但他们的两步估计验证是低效的,甚至有偏见,如果时间序列具有较强的尾巴依赖陈的模拟研究等。79年]。新论文认为有效估计用筛子标定方法,首次引入了陈et al。89年]。此外,提出了非参数接合部,Fermanian et al。90年)构建实证接合部估计,而Fermanian和Scaillet [91年和陈和黄92年)提出了内核平滑方法。
Hafner和林顿67年估计一个多变量乘法波动模型,允许非平稳,这被认为是恩格尔的概括和兰格尔(47]。未知参数的估计方法,他们认为低,高频波动是基于核估计方法,然后改进(高斯)似然估计的充分依赖和不稳定的结构。在冯68年纸,LDCC模型由多元内核回归估计,通过引入多元神经网络方法来解决“维数的诅咒”问题和估计的渐近性质进行了讨论。
7所示。结论
总之,有很多先进的非参数方法的应用研究的波动,和许多困难的问题都已经得到解决。这些方法提供了新的见解的函数形式,依赖,尾部厚度,和非平稳的基础资产回报的行为。他们可以通过自己来估计量感兴趣的风险价值。它们也可以作为规范设备使从业者看到关于哪些特性数据的参数模型是一个不错的选择。
承认
作者感谢伦理委员会的财政支持。