一种用于调度问题的NNIA方案

抽象的

针对考试调度问题，提出了一种基于NNIA的模因多目标优化算法。本文将考试排期问题看作是一个双目标优化问题，一般将其建模为一个单目标优化问题。在NNIA框架下，利用特殊的交叉算子在解空间中进行搜索;采用两种局部搜索技术对这两个目标进行优化，并采用由精英群算子和可拓优化算子组成的保持多样性策略来保证pareto前沿有足够多的解。该算法在最广泛使用的无能力卡特基准上进行了测试。实验结果表明，该算法具有较强的竞争力。

1.介绍

对于运行学和人工智能领域的研究人员来说，考试时间表问题长期以来一直是一个具有挑战性的领域，特别是在Carter和Laporte(1996)提出多伦多基准数据集的时候[1］.由于大学招收的学生种类越来越多，学位组合课程也越来越多，这个问题变得更加困难。2(Merlot et al. 2002)。在过去的40年里，有许多方法被用于解决这个问题。所代表的技术包括基于约束的技术[3.]，以群体为基础的技术，包括遗传算法[4]，图形着色技术[5，6]，蚁群优化[7，分散搜索[8]，本地搜索方法，包括禁忌搜索[9]并模拟退火[10，11，可变邻域搜索[12[杂交和高流动方法[5］.一般将该问题建模为单目标优化问题;研究人员只考虑冲突的数量。

为了尽量减少考试时间表上的冲突，Burke和Newall (2005) [13]指出，如果分配大量的时间，冲突是可以消除的。Burke等人(1998)[14还表示，需要延长时间表来减少冲突的次数。很明显，ETTP绝对是一个双目标优化问题:冲突次数和周期次数。在合理的时期数范围内，冲突的次数必须尽可能地减少。因此，需要最小化多个冲突的成本函数，通过多目标优化方法可以得到最优解[15引入了图着色问题研究中的几个特征，并使用了本文也采用的变长染色体表示。

以处理多目标优化问题为主要目标的进化多目标优化(EMO)已成为进化计算领域的研究热点。多目标优化进化算法(MOEAs)通过同时优化多个目标，可以得到一组考虑所有目标函数影响的解。这些解决方案中的每一个都不能说比另一个更好，并对应于这些不同目标之间的权衡。多目标考试排课问题作为一个MOP，具有两个相互矛盾的目标。一个目标的优化趋向于最小化冲突次数;另一个目标是减少时间周期的数量。近年来提出了许多新的MOEAs。马利姆等人(2006)[16]研究了三种不同的人工免疫系统，并指出该算法可以适用于课程和考试排课问题。然而，在发表之后，他们被发现代表了代码中的一个错误，并且它是无效的[17］.

摘要现有的排课方法大多适用于单目标排课问题。通过计算，这些单目标优化算法只能得到一个结果，计算效率较低。本文提出了一种基于moea的多目标考试调度方法。通过计算，我们提出的算法可以得到多个结果。为了同时优化这两个目标，我们采用了多目标免疫算法NNIA [18经过一些修改。NNIA通过选择非优势邻域个体来模拟免疫反应中多种抗体共生和少量抗体激活的现象。它根据人群距离值选择数量较少的相对隔离的个体作为主动抗体和克隆体，然后应用重组和突变算子加强帕累托前沿稀疏区域的搜索。采用NNIA框架的原因是，NNIA是我们自己提出的，克隆策略可以使pareto前沿统一，得到满意的解。主要贡献是采用精英主义群体策略保持群体的多样性，并采用两个垂直的局部搜索算子得到最优解。实验表明，该算法能够在两个目标之间找到一组折衷的解。

论文组织如下。部分2介绍了背景资料、问题的制定和相关工作。部分3.给出了该算法的详细描述。部分4介绍实验研究。最后，本节给出了结论5．

2.背景

2．1.数学模型

如前所述，本文中描述的考试排课问题的格式最早是由Carter和Laporte提出的[11996年)。在这个问题中，有一系列的考试需要被安排到一组时间段每个时段都有座位．每个工作日有三节课，星期六上午有一节课。星期日不举行考试。假定考试时间从星期一开始。这个问题可以通过定义以下内容来正式说明: 在哪里是一个if考试分配给期间；否则，等于零。有多少学生报名参加考试和．

方程(1)和(2)是两个目标，分别是尽量减少冲突的数目和时间表的长度。方程(3.)是指任何学生不得同时参加两门考试，而(4)规定每项考试在任何时间表内只能安排一次。

为了评估一个可行课程表的质量，提出了一个基于软约束的平均每位学生花费的函数。它可以表示为: 在哪里在一个时间表和中，代表考试安排的权重是4、3、2、1还是0个时间段是违反软限制的学生人数。是问题中学生的总数。由于这个原因…5)强调最重要的指标，即课程表中的考试是否在整个课程表中平均分配，我们将此功能作为算法的目标之一。我们优化算法的两个目标描述如下:

２.２.相关的工作

ETTP是一个半年或一年一次的高校问题，由于其复杂性和实用性，被许多运筹学研究者广泛研究。已经提出了大量的方法来解决这个问题，在现有的文献中进行了讨论。这些方法可以分为以下几个大类[19:基于图的顺序技术、基于局部搜索的技术、基于种群的技术和超启发式技术。

图着色启发式算法是最早的算法之一。威尔士和鲍威尔[20.[1967年]提出了建立在图着色和时间表之间的桥梁，为时间表领域做出了巨大贡献。1996年，Carter、Laporte和Lee在考试排课问题上从图着色启发式扩展了五种排序策略和一系列考试排课问题，称为多伦多大学基准数据。通过发展两种不同的选择策略，Burke等人[21]1998年，研究了将随机元素引入图形启发式的影响。这些简单策略在多伦多的三个数据集上进行测试时，在解决方案的质量和多样性方面显示了改进的纯图形启发式。Asmuni等人[22[2005]在多伦多数据集上采用模糊逻辑方法，利用图着色启发法对考试安排进行排序，并指出它是一种适当的考试安排评价方法。Corr等[23]研究了一个神经网络，其目的是在解决方案构建的早期阶段安排最难的考试。研究结果表明，神经网络作为一种普遍适用的自适应调度技术是可行的。

基于局部搜索的技术代表了过去十年中出现的大部分工作[1］.主要是因为可以相对容易地处理各种约束，它们已应用于各种时间表问题。di gaspero和schaerf（2001）[24]对一个基于禁忌搜索技术的家族进行了有价值的调查，这些技术的邻居涉及那些有助于违反硬和软约束的人。Burke等人[5]研究了可变邻域搜索的变量，并在多伦多数据集的一些问题中获得了最好的结果。Caramia et al. [25，26]开发了一种微调局部搜索方法，其中贪婪调度程序将考试分配到最少的时段，惩罚减少在不增加时段数量的情况下改进了时间表。

遗传算法是基于群体技术的最典型代表之一。文献表明，该算法具有良好的性能。特别是遗传算法与局部搜索方法的杂交，即模因算法，在这一领域有很好的表现。1994年，Corne等人[27介绍了遗传算法来解决一般的教学排课问题。这项工作的功能是某些特定生成的图着色问题中的某些问题结构不能通过在遗传算法中获得直接表示来处理。Ross等人[28的结果表明，通过对特殊生成的不同同质性和连通性的图着色问题进行检验，可解调度问题中存在过渡区域。这项研究可以让研究人员了解不同的算法在复杂的时间表问题上的表现。Terashima-Marin等[29]1999年，他指出了一个基于时间表问题的小集团，该问题被转化为图形问题。埃尔本[30.](2001)提出了一种具有适当编码、交叉和变异算子以及适应度函数的分组遗传算法。该方法比文献中某些方法所需的计算时间更少。Burke和Landa Silva [31讨论了关于调度和调度问题的模因算法设计的一些问题。Burke等人[21]开发了一种模因算法来重新分配单个考试和一组考试，并使用轻的和重的变异算子。然而，这两种变化本身都不能提高解决方案的质量。马利姆等[16]开发了三种不同的人工免疫系统，并表明该算法适用于课程和考试时间表问题。但是，结果中存在一个问题；出版后，它们被显示为代码中的错误和无效。

超启发式方法受到越来越多的研究者的关注。2003年，Ahmadi等人[32研究了一种变邻域搜索，旨在为不同的考试排课问题找到好的启发式组合。肯德尔和胡辛[33[2005年开发了禁忌搜索超启发式算法;他们采用移动策略和构造图启发式作为低级启发式。2007年，Burke等人[5研究了用禁忌搜索法寻找图启发式序列来构造排课问题的解，并考虑了不同数量的低层次图启发式对考试排课问题的影响。通过对基准函数和考试时间表问题进行实证研究，Bilgin等人[34[2007]研究了超启发式下的7种启发式选择方法和5种接受标准。模因算法的超启发式一次只使用一个爬山者，表明它在被测试的方法上表现更好。有兴趣的读者，可参阅[5］.

综上所述，近年来，优秀的算法越来越多;这些算法几乎都在基准数据集和实际应用中进行了测试，取得了很好的效果。在本文中，我们还提出了一种多目标优化算法，称为非支配邻居免疫算法(NNIA)。18］.NNIA采用免疫启发算子、非支配邻域选择技术、两个启发式搜索算子和精英主义。通过大量的实验表明，NNIA是一种有效的求解多目标问题的方法。由于其良好的性能，我们将采用NNIA的框架进行一些修改，这将在下一节中描述。本文的贡献在于我们利用多目标优化技术解决了这一问题。

3.该算法

３．１．基于NNIA的MOEA算法流程

我们算法的算法流程如图所示1．在算法的开始，一个冲突矩阵是根据伯克和纽沃尔创造的[13，它有维度通过与定义从部分2．1被其th元素。该矩阵可以有效地检查和消除时间表中的冲突。

由于人口的大规模，因此不可图集在正常人口中。提出了精英战略和拥挤的选择优化机制。在我们的算法中，我们采用精英策略两次，以减少计算负担，并扩展精英组中非统计解决方案的范围。在正常人群中，儿童群体交叉和突变与父母群体混合。然后将这种新人群的不良解决方案投入了精英群体。该策略的目的是为精英群体提供更多Nondominated解决方案。

３．２．Hyper-Heuristic初始化

作为一个常见的步骤，初始化是生成一个初始填充。在我们的算法中，有大量的可行解需要优化，但对于大多数考勤排课问题来说，可行解的生成过程比较困难。不同的考试排课问题产生的可行解决方案的难度水平是不同的。在后续的操作中，很难用常规的方法将一些不可行的解变成可行的解。对于某些问题，算法的结果受初始种群中可行解的个数的影响。该算法的初始化过程随机生成一组解，然后用简单的遗传算法将随机解更新为可行解。详情如下所示。

超启发式初始化是指在图着色问题中使用一些启发式信息时，选择考试进行插入[21，35］.本文采用的启发式如下:(1)最大的学位（LD）：首先插入与其他考试中最多的冲突的考试。(2）最大加权学位（LWD）：与LD相同，但根据参与的学生人数进行加权。（3)饱和度(SD):在满足硬约束条件下，有效时隙最少的考试优先插入。

最大迭代次数和最大可行解个数这两个终止条件可以使整个算法对于大多数考试排课问题都能达到稳定的结果，但由于这种策略的限制，我们的算法对于几乎不能生成可行解的问题具有明显的优势初始化。超启发式初始化的优点是，我们可以得到长度接近用户需求的时间表。结果见下一节。

３．３．本地搜索运营商

一些研究人员指出，在进化算法中采用局部搜索是寻找高质量考试时间表的一种非常有效的方法，也有助于优化结果的强化[36，37］.本文采用的两方向局部搜索算子的描述如下:

第一种是在不考虑冲突数的情况下尽可能地最小化时间表长度，目标是局部搜索中的算子，以最小化非支配精英群体之间的时间周期。

被选中的个体是，则搜索深度为，最大突变概率是，则原始突变概率为，增加步长的概率为，考试时间表是，最大迭代次数为，而考试次数为．

步骤1。设置初始变异概率．

步骤2。设置搜索深度变量符号．

步骤3。随机选择考试，表示为．删除中所有选定的考试．

步骤4。重新安排考试根据最大冲突数和在根据启发法。然后将考试插入在时间表；如果您不能将它们插入到固有的时间段中，那么可以扩展时间段，直到安排好所有的考试;新生产的时间段是．

第5步。如果是小于的数目、替换与，然后停止；否则，，执行步骤3。

步骤6。如果,然后，执行步骤2。

第七步。如果，比较的时间段和；然后把小的放进精英小组，然后停止;否则请执行步骤6，继续执行。

第二类的目标是最小化冲突的数量，而不考虑时间段的数量。详情如下。

所选概率为，则搜索深度为，最大选择概率为，则原始突变概率为，增加步长的概率为，考试时间表是，最大迭代次数为，而考试次数为．

步骤1。设置原考试选中概率．

步骤2。设置搜索深度变量符号．

步骤3。随机选择考试而新设置的．

步骤4。重新排列考试根据冲突的数量，删除所有的考试，并对更改的时间表中的所有时间段进行排序．

第5步。插入考试在时间表在不影响时段数量的前提下;新产生的个体是．

步骤6。比较冲突的数量其中，在根据公式，如果前者较小，则用然后停下来，否则，；执行步骤3。

第七步。如果，判断冲突的数量和；如果前者较小，请更换与；把小个子的人放进精英小组;否则,；执行步骤2。

第八步。如果，判断冲突的数量和；如果前者较小，请更换与；然后将较小的一个放入精英群体；否则，保持不变。

3.4。维持多样性运营商

3.4.1。精英主义集团战略

虽然局部搜索可以强化优化结果，但离散优化不同于连续优化，决策域的一个小扰动可能会让个体不规则变换甚至恶化。因此，为了避免这一现象，我们提出了一种新的局部搜索剥削与额外的精英群体，以节省非支配解决方案在每一代。而普通总体只是提供了一个更新非支配解的空间。在算法中引入了相应的精英策略和拥挤选择优化机制;具体内容将在下一部分中介绍。

在精英群体的可拓优化策略之后，应用局部搜索算子。该算子避免了个体退化中的一个目标，然后最小化另一个目标，使新的精英解与原有的精英解混合，进行非支配排序。根据操作者的要求，边界可以尽可能向两个不同的方向延伸。局部搜索是在两个目标之间按顺序垂直搜索，如图所示2．它表明一个目标优先被优化，然后另一个目标显示为个人的路径A或路径B在图中。

3.4.2.扩展优化策略

由于正常的选择和突变运营商对Nondominion精油集团发出一点贡献，我们提出了一种策略，以根据图中所示的拥堵程度来扩展和优化精才群体3.．计算每个个体与其右侧个体之间的时间表长度之差。如果-value为1，则扩展该个人的时间段，并随机选择一些考试进入该时间段。我们可以通过这种方法得到统一的边界。如图所示3.，个体的拥挤程度为线段AB的长度是2;根据我们的理论，花费个人并获得然后把它放到最初的精英主义群体中。最后，我们将本地搜索操作符扩展到几代之后。

4.实验分析

在Matlab中编写了算法，并在2.8 GHz的核心pc上进行了仿真。我们使用Carter和Laporte提出的9个无能力基准考试时间表数据集[1]评估我们算法的有效性。所提出的基准测试的细节如表所示1．由于没有设计用于评估多目标调度算法的数据集，我们只使用单目标调度算法的数据集来评估算法的可行性和合理性。参数设置如表所示2．种群规模为100，最大迭代次数为100。其他参数的选择原因将在下面介绍。

在接下来的部分中，我们将从两个方面来研究我们的算法。一是对多样性的贡献进行分析，保持局部搜索算子在两个不同方向上的有序搜索，并通过四个比较实验进行了验证。二是讨论了精英群体策略在算法中的应用，并进行了两次实验。

4．1.多样性保持战略的贡献

本节介绍多样性保持算子的性能。为了评估策略的有效性，进行了如图所示的比较4．就是说，算法在表示算法在没有策略的情况下运行。箱线图根据解的统计数量绘制。这个实验中的8个数据独立运行了10次。从图4，可以明显观察到的算子确实比结果很好地证明了多样性保持算子的有效性。

4．2．本地搜索营办商的贡献

在本节中，我们使用超体积作为指标来评估算法的有效性;在我们的可比实验中是要比较的数据集在所有维度中的最大值。

为了证明所提出的两种局部搜索算子的有效性，本节展示了有和没有局部搜索算子的算法的性能。如图所示5，完全不使用本地搜索的设置，以及局部搜索的设置是否以最小化冲突数为目标局部搜索是否最小化时隙和合并两个本地搜索操作符。对四种设置进行十次独立运行以获得统计结果。从图5，本地搜索运营商的贡献是显而易见的，因为使用两个本地搜索的运营商能够生成冲突数量显著降低的解决方案。对于Ute92、Sta83、Lse91、Kfu93、Hec92和Ear83数据集的非受控解的超体积值，两种局部搜索设置的应用效果优于其他三种设置。

从统计盒子中，我们可以看到我们的算法对学生冲突号码的指标很强大。异常值很少，最高和最低值之间的差异很小，这也展示了我们算法的稳健性。

4.3.基于NIA的多目标算法的性能

本节介绍了基于NNIA的算法的多目标优化性能。最重要的是显示我们算法的优点，两个目标的作用将如下验证。实验独立进行十次运行。

图中的箱线图6给出八个数据集的帕累托最优解的个数。数据集的帕累托最优解决方案的数量几乎是四个。其他数据集的帕累托最优解的数量几乎分布在7到10个之间。

实验进一步证明了结果。从图7，我们可以查看周期数及其相应的冲突的细节。所有的数据集都经过测试良好，Pareto最佳解决方案均匀分布，冲突相对较小。该实验强烈支持我们的算法，并且良好地解决了多目标考试时间表问题。

5.结论

本文将排课问题看作是一个多目标优化问题，它涉及到排课冲突次数和排课周期数的最小化。提出了一种基于NNIA的多目标进化算法，该算法具有精英群策略、基于可拓优化策略的拥塞度和两个局部搜索算子的特点。

所提出的MoEA与大多数现有的单目标的方法不同，它在它同时优化两个目标并获得一组解决方案，而不是产生单长时间表。已经证明，这种方法更加普遍，并且能够有效地运作。结果还表明，该算法可以生成相对短的冲突时间表和各种解决方案，这些解决方案方便解放器选择自己偏好。

我们本文所做的工作重点介绍了ETTP的时间方面，从某种意义上解决了问题。但是，它仍然存在一些缺点，如何平衡多样性和近似，这可以进行未来的研究。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

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