正如前面提到的,本文中描述的格式检查制定时间表的问题最初是由卡特和制定Laporte [ 11996年)。在这个问题中,一组的考试 E = e 1 , e 2 , … , e E 需要安排为一组 P = 1、2 , … , P 每个时期都有一个座位容量 年代 。每工作日,周六上午有三个时期。星期天没有举行考试。假设考试期间在周一开始。这个问题可以被正式指定的第一个定义如下: (1) 米 我 n ∑ 我 = 1 E - - - - - - 1 ∑ j = 我 + 1 E ∑ p = 1 P - - - - - - 1 一个 我 p 一个 j p + 1 c 我 j (2) 米 我 n P (3) 年代 u b 。 ∑ 我 = 1 E - - - - - - 1 ∑ j = 我 + 1 E ∑ p = 1 P - - - - - - 1 一个 我 p 一个 j p c 我 j = 0 , (4) ∑ p = 1 P 一个 我 p ≤ 1 , ∀ 我 ∈ 1 , … , E , 在哪里 一个 我 p 是如果考试 e 我 分配给时间 p ;否则, 一个 我 p 等于零。 c 我 j 注册考试的学生人数吗 e 我 和 e j 。

方程( 1)和( 2)的两个目标是冲突和时间表的数量最小化长度,分别。方程( 3)是约束,没有学生将参加两个考试在任何一个时间,当( 4)指出,每一个考试只能安排一次在任何时间表。

评估质量的一个可行的时间表,评估每个学生的平均成本函数提出了基于软约束。它可以呈现如下: (5) f 我 t n e 年代 年代 = ∑ 年代 = 0 4 ω 年代 × N 年代 年代 , 在哪里 ω 年代 = 2 年代 ( 年代 = 0 1 , 2、3 , 4 ) 的重量代表安排考试的重要性与普通学生4、3、2、1或0之外的一个时间表,每天播发或者刊登吗 N 年代 参与的学生人数是违反了软约束。 年代 是问题学生的总数。因为这个原因,( 5)强调最重要的指标,是否考试时间表分配整个时间表同样,我们使用这个函数作为一个目标在我们的算法。的两个目标优化我们的算法描述如下: (6) 最小值 ⁡ f 1 = P 最小值 ⁡ f 2 = ∑ 年代 = 0 4 ω 年代 × N 年代 年代 。

ETTP是半年或年度问题研究学院和许多操作研究广泛,由于其复杂性和实用性。有提出一个大范围的方法来解决这个问题,现有文献中讨论。这些方法可以分为以下大类( 19:基于序列技术,局部搜索技术,以人群为基础的技术和hyperheuristics。

图着色启发式是最早的算法之一。威尔士和鲍威尔( 20.)在1967年提出了一个桥之间建立图着色和时间安排和制定时间表的领域做出了很大贡献。五订购策略扩展图着色启发式在考试时间安排问题和一系列的考试制定时间表问题引入了卡特,拉波特,和李1996年,多伦多大学的基准数据。通过开发两个变量的选择策略,伯克et al。 21]研究引入一个随机元素的影响就业的图1998年启发式。这些简单的策略显示改善纯图启发式的质量和多样性的解决方案在多伦多三个数据集上测试过。Asmuni et al。 22]在2005年利用模糊逻辑顺序安排的考试的图着色启发式在多伦多的数据集,表示这是一个适当的评估安排考试。Corr et al。 23]研究了神经网络的目标,这是最困难的考试安排在早期建设的解决方案。工作已经显示通常使用神经网络作为自适应的可行性适用技术在制定时间表问题。

当地的搜索技术代表了很大一部分的工作出现在过去十年( 1]。主要是因为可以相对容易地处理各种约束,他们已经被应用于各种制定时间表问题。Di Gaspero和Schaerf (2001) ( 24)进行了有价值的调查基于禁忌搜索技术的一个家庭的社区关注那些导致了违反软硬约束。伯克et al。 5)研究变量的变量附近搜索和获得最好的结果在文献中在多伦多的一些问题的数据集。Caramia et al。 25, 26)开发了一种调整局部搜索方法,贪婪调度分配考试到最小,每天播发或者刊登一个点球的改进的时间表不增加数量减少,每天播发或者刊登。

遗传算法是一种最典型的代表以人群为基础的技术。注意,文献算法具有良好的性能。特别是与局部搜索方法遗传算法的杂交过程,迷因算法,在这方面有很好的性能。1994年,科恩et al。 27]介绍了遗传算法来解决一般教育制定时间表问题。这个工作是,某些问题的功能结构在某些特别生成的图着色问题不能由遗传算法获得直接表示。罗斯et al。 28]在1996年表示,通过测试特别生成的图着色问题不同的同质性和连通性的过渡地区在解决存在的时间安排问题。这项研究可以让研究人员了解不同的算法执行复杂制定时间表问题。Terashima-Marin et al。 29日]在1999年表示clique-based交叉在制定时间表问题转化为图的问题。Erben [ 30.)(2001)表示与适当的编码,分组遗传算法交叉和变异操作符和健身功能的研究。这种方法需要较少的计算时间比的一些方法在文献中。伯克和兰达席尔瓦( 31日]讨论了一些问题关于迷因的调度算法的设计和制定时间表问题。伯克et al。 21)开发了一个迷因算法,重新分配单一的考试和考试和集轻、重变异算子。然而,这些突变的改进质量的解决方案。Malim et al。 16)开发的三个变体的人工免疫系统和表明,算法可以适用于课程和考试时间安排的问题。然而,有一个问题结果;出版后显示,他们代表着一个错误的代码和invalidness。

越来越多的研究人员关注hyperheuristics方法。2003年艾哈迈迪et al。 32)研究一个变量社区搜索,旨在找到好的启发式组合不同考试时间安排的问题。肯德尔和Hussin 33)在2005年发明了一种禁忌搜索hyperheuristic;他们采用了移动策略和建设性的图启发式是启发式的低水平。伯克et al。(2007年 5]研究获得禁忌搜索找到序列图的启发式构造解决方案制定时间表问题,考虑不同数量的低水平的影响图启发式在考试时间安排的问题。进行实证研究基准函数和考试时间安排问题,Bilgin et al。 34)(2007)研究了7启发式的选择方法和5在hyperheuristic验收标准。迷因算法hyperheuristic用一个山登山者一次测试表明,它表现的更好方法。有兴趣的读者,更多的细节可以从[ 5]。

总之,近年来,有越来越多的优秀的算法;几乎所有这些算法测试基准数据集或在现实应用中,取得了不错的成就。在这篇文章中,我们还提出了一种多目标优化算法,称为Nondominated邻居免疫算法(NNIA) ( 18]。NNIA采用免疫算子的启发,一个nondominated neighbor-based选择技术,两个启发式搜索操作符,和精英主义。它表明NNIA是一种有效的方法解决拖把的实验。由于其良好的性能,我们将采用NNIA框架做了一些调整,将在以下部分中描述。本文的贡献是我们解决这个任务通过使用多目标优化技术。

我们算法的算法流程如图 1。的算法,一个冲突矩阵 C 根据创建伯克和Newall [ 13),尺寸 | E | 通过 | E | 与定义 c 我 j 从部分 2.1被其 ( 我 , j ) th元素。这个矩阵可以检查和消除冲突有效的时间表。

因为人口的大规模的个人,普通人群的搜索是不明智的。精英主义战略和拥挤的选择提出了优化机制。在我们的算法中,我们采用精英策略两次减少计算负担和扩展的范围nondominated精英组的解决方案。在正常人群中,交叉和变异后的儿童人口与亲本种群混合。然后nondomined解决方案的新的人口是精英主义集团。该策略的目的是提供更多nondominated精英集团的解决方案。

作为常见的一步,初始化是产生初始种群。在我们的算法中,有大量的可行的解决方案,需要优化,但生成可行的解决方案的过程是困难的考试时间安排的问题。可行的解决方案生成的难度对不同考试时间安排问题是不同的。很难做出一些不可行的解决方案是可行的和一些传统方法在随后的操作。算法的结果受到了许多可行的解决方案在最初的人口问题。我们算法的初始化随机产生一组解决方案和随机更新解决方案与简单遗传算法是可行的。细节如下所示。

hyperheuristic初始化是考试选择插入一些启发式信息的帮助下使用时的图着色问题[ 21, 35]。我们使用的启发式摘要如下: (1)

最大程度(LD):考试最多的冲突与其他考试先插入。

有两种终止条件,最大迭代数和最大数量的可行的解决方案,它可以使整个算法实现稳定的结果对于大多数考试时间安排的问题。但是我们的算法具有明显的优越性并不生成可行的问题解决方案,因为这种策略的初始化。hyperheuristic初始化的优点是我们可以得到的时间表长度接近用户的需求。在下一节中可以看到结果。

一些研究人员指出,采用本地搜索在进化算法是一种更有效的方法寻找高质量的考试时间表也会导致优化结果的强化( 36, 37]。两个方向的描述本地搜索运营商本文采用如下所示。

第一种是最小化长度尽可能的时间表冲突并没有关于数字,针对运营商在本地搜索最小化nondominated精英主义集团之间的时间段。

选择的个体 P ,搜索深度 年代 D ,最大变异概率 P 米 一个 x ,最初的变异概率 P o r 我 的概率增加步长 r 考试时间表 T ,最大迭代数 我 t e r 米 一个 x ,考试的数量 E n u 米 。

第二种旨在减少冲突的数量没有关于每天播发或者刊登的数量。细节如下所述。

选中的概率是 P ,搜索深度 年代 D ,最大的选择概率 P 米 一个 x ,最初的变异概率 P o r 我 的概率增加步长 r 考试时间表 T ,最大迭代数 我 t e r 米 一个 x ,考试的数量 E n u 米 。

本节介绍了多样性保持操作的性能。评估的有效性策略,在图进行了比较 4。 w 我 t h E 是说算法运行的策略 w 我 t h o u t E 表明该算法运行策略。箱线图是根据统计数字解决方案。八个数据在这个实验中独立运行的十倍。从图 4,它可以观察到明显的运营商 w 我 t h E 确实比 w 我 t h o u t E 在每一个数据集。结果证明多样性保持算子的效率。

在本节中,我们使用超体积作为一个指标来评估算法的有效性;在我们的同类实验指标 r p 数据集的最大价值是在所有维度相比。

证明提出的效率两个本地搜索操作符,本节展示算法的性能有或没有本地搜索操作符。作为显示在图 5, n o n e 的设置是不使用本地搜索,然后呢 w 我 t h F 与本地搜索设置针对冲突数量最小化,而设置 w 我 t h 年代 是最小化的本地搜索,每天播发或者刊登吗 d o u b l e 包含两个本地搜索操作符。十个独立运行的四个设置进行获得统计结果。从图 5,本地搜索运营商的贡献是显而易见的,因为运营商使用两个本地搜索能够生成解决方案显著降低冲突的数量。超体积的数据集Ute92 nondominated解决方案的价值,Sta83, Lse91, Kfu93, Hec92 Ear83,应用程序的两个本地搜索设置显示更好的结果比其他三个设置。

从统计箱线图我们可以看到,我们的算法是健壮的学生冲突的指标数据。局外人很少和最高和最低的值之间的差异很小,这也证明我们的算法的鲁棒性。

本节给出了基于NNIA多目标优化算法的性能。上面显示我们的算法的优势,两个目标的作用将验证如下。实验进行了独立运行的十倍。

箱线图,如图 6显示的数量八个数据集的帕累托最优解。的帕累托最优解集的数量 u t e 92年 几乎是四个。帕累托最优解决方案的数量几乎是其他数据集分布式从七到十。

实验进一步显示结果。从图 7的细节,我们可以看到这两个时期的数量及其相应的冲突。所有的数据集测试执行好,帕累托最优解分布均匀,和冲突相对较小。实验有力地支持我们的算法和多目标考试制定时间表问题已经解决了。