文摘

对数系数 规范化的分析功能 是由 。对于某些close-to-convex功能 ,曹et al。(第三对数系数的一些子类close-to-convex函数)取得了第三的上限对数系数 当第二个系数 是真实的。在本文,第三个对数系数的上限 第二系数计算没有限制 。

1。介绍和预赛

让 是开放在复平面单位圆盘 ,让 是所有分析归一化函数的集合 的形式

让 是它的子类中单价的组成的函数 。给定一个函数 ,系数 是由

例如(见图1),Koebe函数 给出的 ,对数系数 如下


图1
的情节 。

Milin猜想([1)和([2p . 155))给出了一个不平等满意的对数系数。为 ,对数系数满足

Milin猜想被证实(例如,([2由Branges[] 37页),3),意味着著名Bieberbach推测 为 。锋利的估计类 只知道第一两个系数:

注意,Obradović和Tuneski [4)获得的一个上界 为类 。的问题估计前三个对数的模量系数显著的子类的研究 ,在某些情况下,锋利的边界。例如,锋利的估计为星形的函数的类 由不平等吗 适用于 ([5),42页)。

此外,为 订单的强烈星形的函数的类 , ,它认为, (6]。的界限 的子类的函数 近年来已被广泛研究。锋利的估计不同的子类给出6,7)和([5],p . 116)和[8),分别nonsharp估计Bazilevic和close-to-convex的类(9- - - - - -11),分别。

让 的子类 分别满足下一个条件:

注意,每个类上面定义的知名类的子类close-to-convex函数;因此,家庭 , ,只包含单价的功能([2),第二卷,2页)。锋利的边界 和部分结果 的子类 的 测定Pranav Kumar和Vasudevarao12]。

此外,曹et al。13]第三对数系数计算锋利的上界 的 当 是一个实数。区分(1)和比较系数和(2),我们得到 , ,和

本文的主要目的是确定的上界的第三个对数系数在一般情况下 。需要以下引理证明我们的主要结果。

引理1(见[14])。让 是一个施瓦兹函数。然后

2。主要结果

我们的主要结果如下:

定理1。让 。然后

证明。自 ,和解析函数 在 与 满足公式 我们获得 然后,通过使用(10)和(11)导致 从(7)和(12),我们得到 鉴于引理1,我们获得 在哪里 该系统 有一个独特的解决方案 与 的最大价值 获得当 是一个点的边界 。针对这一点,我们有 和 使用(14)和(17)- (19),我们得出以下结果: 这就完成了证明。

备注1。如果 ,在哪里 是一个实数,那么我们得到的结果(13]

定理2。让 。然后

证明。自 ,那么存在一个解析函数 在 与 和 系数可以通过比较确定的信息(11)和(23) 从(7)和(24),我们有以下结论: 此外,根据引理1,我们得到以下的不平等: 在哪里 从系统中, 只有一个解决方案 在于内部 ,在哪里 和 在边界上的 ,我们下一个属性 因此,(26),(30.)和(31日)产量

备注2。如果 ,在哪里 是一个实数,那么(13]

定理3。让 。然后

证明。让 和一个解析函数 在 与 这样 用(11)(35),我们有 通过使用(7)和(36),我们得到 根据引理1,我们得出这样的结论: 在哪里 该系统 承认一个独特的解决方案 在内部的 这样 在边界上的 ,以下情况下观察: 和 方程(38),(41)- (43)表明,

备注3。让 ,在哪里 是一个实数。然后[13]

数据可用性

没有数据被用于这项研究。

信息披露

作者想宣布一个本文的预印本曾被发表在15]。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。