广义约旦N-Derivations Unital代数的幂等

文摘

让是一个unital代数与幂等在2-torsionfree unital交换戒指和 是一个任意的广义约旦n推导与约旦n-derivation有关 。我们表明,在较弱的条件下,每一个广义乔丹n-derivation 的形式 在当前的工作。作为应用,我们给出一个描述广义约旦派生的条件 在古典与幂等unital代数的例子:三角代数,矩阵代数,代数,和所有有界的线性算子的代数,推广了一些已知的结果。

1。介绍

在本文,我们与一个身份,让交换戒指是一个unital代数 。让我们假设有一个幂等 ,让 。在这种情况下,可以在所谓的皮尔斯分解形式 在哪里和代数与统一的元素吗和 ,分别是一个 - - - - - -双模和是一个 - - - - - -双模。值得提及的是,是广义矩阵代数同构(1]。我们假设满足 对所有 。一些特殊的例子unital代数与非平凡幂等属性(♣)三角代数,矩阵代数,和'(因此特别是简单)与非平凡幂等代数,代数,标准算子代数(见[2更多细节)。它遵循的(♣),至少有一个双模和是零。

让是一个把代数或戒指。 元素的乔丹产品吗 。对于任何一个整数 和任何 。集 和 为 ,叫做乔丹吗 - - - - - -产品的 。表示由 一个线性映射;我们称之为一个乔丹 - - - - - -推导过程如果 对所有 。很明显,约旦 - - - - - -派生是通常的约旦派生 ;此外,它也可以很容易地检查,约旦3-derivations的定义是等价的约旦三重派生的概念。

一个线性映射 据说是一个广义乔丹吗 - - - - - -如果存在一个约旦推导 - - - - - -推导 这样 对所有 。很明显,任何乔丹2-derivations通常广义乔丹派生。

请注意任何乔丹 - - - - - -派生的一个例子是一个广义乔丹 - - - - - -推导。另一方面,任何乘数功能 对所有 和 广义的例子是一个乔丹n-derivation。

本研究的动机来自于的结果(2- - - - - -6]。Benkovič和Sčirovnik认为乔丹派生的结构与非零幂等unital代数介绍了奇异的符号,乔丹派生出来是非常重要的在研究映射unital代数与非零幂等 。事实证明,一些温和的条件下,每一个约旦推导是推导和奇异的和约旦推导。通过引入的概念约旦n-derivation (n是任何正整数),气,郭和张5]表明,每一个乘法乔丹 - - - - - -推导在添加剂;此外,事实证明,一个映射乔丹是一个乘法 - - - - - -推导当且仅当它是一个添加剂乔丹推导。在裁判。3],Benkovič提出一个新的方法,显示每一个广义的谎言 - - - - - -推导 的形式 一些 和是一个谎言n-derivation的 。灵感来自约旦的结构派生(3],乘法约旦n-derivations [5],genelized谎言n-derivations [2unital代数的非零幂等,本文的主要目的是研究广义乔丹 - - - - - -推导unital代数的性质(♣)。在本文的主要定理,定理1,我们表明,在某些轻微的假设,每一个广义乔丹 - - - - - -派生的形式 在哪里 , 是一个乔丹 - - - - - -派生的 。我们将使用一些已知结果关于乔丹的形式派生unital代数与获得的非零幂等(2- - - - - -4]。让我们提到在不同的论文(2,3,7- - - - - -11]约旦推导三角代数和相关代数从不同的角度进行了研究。

在本文中,我们提出一个新的方法是模拟Benkovič的文章(3],它优雅地降低了广义约旦的问题描述 - - - - - -推导了描述一个乔丹 - - - - - -推导。事实证明,如果 是一个广义的乔丹 - - - - - -推导与乔丹相关联 - - - - - -推导 ,然后一个线性映射 满足 对所有 。因此,可以考虑线性映射属性(♣)。在适当的假设unital代数非零幂等(命题1),任何此类广义乔丹 - - - - - -派生的形式 对所有 和一些 。

2。预赛和主要定理

让是一个unital代数与幂等和 ,满足(♣)。为了方便起见,我们将使用以下符号 ,和 。因此,每一个元素 可以在表单吗 在哪里是一个 - - - - - -双模和是一个 - - - - - -双模。

让我们列举一些经典的例子unital代数与幂等和 ,满足(♣)。从这些例子中已经提出了很多论文,看到2,12- - - - - -14),我们只是国家他们的标题没有任何细节。(一)矩阵代数 ,在哪里是一个unital代数。(b)每一个简单unital代数与非平凡幂等满足(♣)。(c)与非平凡幂等Unital '代数。(d)三角代数 这样双模是信实的离开同时也作为一个正确的 - - - - - -模块。最重要的例子三角代数上三角矩阵代数上三角矩阵代数和块在unital代数和巢代数 ,在哪里是一个窝在希尔伯特空间 。

第一个非常有用的观察是指中心的形式 ,这是相同的([15),命题3)和([16),引理3.1,引理3.2)。在整个论文,代表一个unital代数与非零幂等令人满意的(♣)。

由(12]、[命题2.1],接下去的中心等于

此外,我们知道地图 是一个代数同构这样 和 对所有 。

备注1。让与非平凡幂等unital代数和 。对于任何 对于任何整数 ,我们有 特别是, 和 。
在本节中,我们将证明的主要结果,定理1。正如我们在介绍中提到的,约旦的描述一个通用的问题 - - - - - -推导可以减少地图的描述令人满意(8)。让我们开始这个问题的解决方案。

命题1。让与非平凡幂等unital代数令人满意的(♣)2-trosionfree交换戒指 。让我们假设 和 。让一个线性映射 满足 对所有 。然后 在哪里

证明。为了证明这一命题,我们需要以下要求:(我)权利要求1。 。通过 对所有 ,一个可以显示 。(2)要求2。与符号上面,我们有 , 和 对所有 。的定义 ,我们有 和 这意味着 和 作为字符 。因此 和 。对所有 ,我们有 和 对所有 。因此, 作为字符 。另一方面, , 和 因此, 对所有 。结合(18)和(21与中心的定义) ,我们有 (3)要求3。与符号上面,我们有 和 对所有 和 对所有 ,我们有 自的特点不是2,这意味着 然后 对所有 。
同样的,你可以检查 对所有 。
对所有 ,通过索赔 ,我们有 在哪里
本文的主要结果:

定理1。让与非平凡幂等unital代数令人满意的(♣)。让我们假设(我) (2) 那么任何广义乔丹 - - - - - -推导 的从 对所有 ,在哪里 和 是一个乔丹 - - - - - -推导。

证明。让 是一个广义乔丹 - - - - - -推导与约旦n-derivation有关 。根据这个定义 对所有 。让我们表示 。如果我们减去上平等,我们看到一个线性映射 满足 对所有 。因为所有的假设命题1是实现存在 这样 。
根据定理1和((2),定理4.1),乔丹 - - - - - -推导通常约旦推导 ,下面的结果是直接的。

推论1。让与非平凡幂等unital代数令人满意的(♣)。让我们假设(我) (2) 那么任何广义乔丹推导 的从 对所有 ,在哪里 , 推导和 是一个奇异乔丹推导。

推论2。([4),定理3.11)与非平凡幂等unital代数令人满意的(♣)和双模是信实的离开 - - - - - -模块和正确的 - - - - - -模块。然后每一个约旦的推导可以表示为推导和antiderivation的总和。

我们应用定理1的经典例子unital代数:三角代数(巢上三角矩阵代数,代数),矩阵代数,和有界的线性算子的代数。我们的主要结果降低了广义约旦的描述 - - - - - -推导的描述一个乔丹 - - - - - -推导。

众所周知,乔丹派生的矩阵代数和代数是派生17,18]。使用的结果([2),第三节),可以证明没有非零奇异矩阵代数的约旦派生在unital代数 。一个也可以获得没有非零奇异的约旦派生unital '代数一个非凡的幂等 。因此,定理1意味着以下推论。

推论3。让 , ,在哪里是一个unital - - - - - -无挠代数。然后每一个广义乔丹推导 的形式 ,在哪里 , 是一个派生。

本文总结了一些应用程序的主要定理。如果A是一个unital代数与非平凡幂等e这样 ,,双模是信实的离开 - - - - - -模块,也是对的 - - - - - -模块,代数是一个三角代数。三角代数满足(♣)和定义没有非零奇异乔丹派生。因此,结合(7),我们得到以下结果。

推论4。让是一个三角代数。让我们假设(我) (2) 然后,任何广义乔丹推导 的从 对所有 ,在哪里 和 是一个派生。

推论5。每一个约旦的推导unital '代数与非平凡幂等e是一个派生。

所有有界的线性算子的代数。

让巴拿赫空间上的尺寸大于1。通过 ,我们表示所有有界的线性算子的代数 。 包含非平凡幂等因此可以在表单 ,在哪里 。自是一个典型的代数,满足(♣)。请注意,和是所有有界的线性代数的运营商和 是中央代数 。因此, 和 。因此满足定理的假设1我们有。

推论6。让巴拿赫空间上 ,昏暗的 。然后每一个广义乔丹 - - - - - -推导的的形式 对所有 ,在哪里 和 是一个乔丹 - - - - - -推导。

我们知道是一个典型的代数和 是中央代数 。因此,假设小王'result ([2),推论4.5)是能够实现的。因此,任何乔丹推导 是一个派生。

推论7。让巴拿赫空间上 ,昏暗的 。然后每一个广义乔丹推导的的形式 对所有 ,在哪里 和 是一个派生。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作得到了安徽省自然科学研究重点项目(批准号2008085 qa01),安徽省自然科学基金青年基金(批准号KJ2019A0107),中国国家自然科学基金(11901030),和北京市自然科学基金(1204034)。

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