JMATH 数学杂志 2314 - 4785 2314 - 4629 Hindawi 10.1155 / 2021/9997646 9997646 研究文章 广义约旦N-Derivations Unital代数的幂等 https://orcid.org/0000 - 0001 - 6306 - 0578 梁 新峰 高 霁 学校的数学和大数据 安徽科技大学 淮南232001 中国 aust.edu.cn 2021年 9 6 2021年 2021年 29日 3 2021年 21 4 2021年 6 5 2021年 9 6 2021年 2021年 版权©2021新丰梁。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

让 一个 是一个unital代数与幂等 e 在2-torsionfree unital交换戒指 ℛ 和 年代 : 一个 ⟶ 一个 是一个任意的广义约旦 n推导与约旦n-derivation有关 J 。我们表明,在较弱的条件下,每一个广义乔丹n-derivation 年代 : 一个 ⟶ 一个 的形式 年代 x = λ x + J x 在当前的工作。作为应用,我们给出一个描述广义约旦派生的条件 n = 2 在古典与幂等unital代数的例子:三角代数,矩阵代数,代数,和所有有界的线性算子的代数,推广了一些已知的结果。

 在安徽省自然科学研究 2008085 qa01 安徽省自然科学基金 KJ2019A0107 中国国家自然科学基金 11901030 北京市自然科学基金 1204034 1。介绍

在本文,我们 ℛ 与一个身份,让交换戒指 一个 是一个unital代数 ℛ 。让我们假设 一个 有一个幂等 e ≠ 0 , 1 ,让 f = 1 − e 。在这种情况下, 一个 可以在所谓的皮尔斯分解形式 (1) 一个 = e 一个 e + e 一个 f + f 一个 e + f 一个 f , 在哪里 e 一个 e 和 f 一个 f 代数与统一的元素吗 e 和 f 分别 e 一个 f 是一个 e 一个 e , f 一个 f 双模和 f 一个 e 是一个 f 一个 f , e 一个 e 双模。值得提及的是, 一个 是广义矩阵代数同构( 1]。我们假设 一个 满足 (2) exe 。 e 一个 f = 0 = f Ae 。 exe意味着exe = 0 , e 一个 f 。 f x f = 0 = f x f 。 f Ae意味着 f x f = 0 , 对所有 x ∈ 一个 。一些特殊的例子unital代数与非平凡幂等属性(♣)三角代数,矩阵代数,和'(因此特别是简单)与非平凡幂等代数,代数,标准算子代数(见[ 2更多细节)。它遵循的(♣),至少有一个双模 e 一个 f 和 f 一个 e 是零。

让 ℛ 是一个把代数或戒指。 x , y = x y + y x 元素的乔丹产品吗 x , y ∈ ℛ 。对于任何一个整数 n ≥ 1 和任何 x 1 , x 2 , … , x n ∈ ℛ 。集 p 1 x 1 = x 1 和 (3) p n x 1 , x 2 , … , x n = p n − 1 x 1 , x 2 , … , x n − 1 , x n = p n − 1 x 1 , x 2 , … , x n − 1 x n + x n p n − 1 x 1 , x 2 , … , x n − 1 , 为 n ≥ 2 ,这被称为乔丹 n 产品的 x 1 , x 2 , … , x n 。表示由 φ : ℛ ⟶ ℛ 一个线性映射;我们称之为 φ 一个乔丹 n 推导过程如果 (4) φ p n x 1 , x 2 , … , x n = ∑ k = 1 n p n x 1 , x 2 , … , … x k , … , x n , 对所有 x 1 , x 2 , … , x n ∈ ℛ 。很明显,约旦 n 派生通常约旦派生 n = 2 ;此外,它也可以很容易地检查,约旦3-derivations的定义是等价的约旦三重派生的概念。

一个线性映射 年代 : 一个 ⟶ 一个 据说是一个广义乔丹吗 n 如果存在一个约旦推导 n 推导 J : 一个 ⟶ 一个 这样 (5) 年代 p n x 1 , x 2 , … , x n = p n 年代 x 1 , x 2 , … , x n + ∑ k = 2 n p n x 1 , x 2 , … , J x k , … , x n , 对所有 x 1 , x 2 , … , x n ∈ 一个 。很明显,任何乔丹2-derivations通常广义乔丹派生。

请注意任何乔丹 n 派生的一个例子是一个广义的乔丹 n 推导。另一方面,任何乘数功能 F x = λ x 对所有 x ∈ 一个 和 λ ∈ Z 一个 广义的例子是一个乔丹n-derivation。

本研究的动机来自于的结果( 2- - - - - - 6]。Benkovič和Sčirovnik认为乔丹派生的结构与非零幂等unital代数 e 介绍了奇异的符号,乔丹派生出来是非常重要的在研究映射unital代数与非零幂等 e 。事实证明,一些温和的条件下,每一个约旦推导是推导和奇异的和约旦推导。通过引入的概念约旦n-derivation (n是任何正整数),气,郭和张 5]表明,每一个乘法乔丹 n 推导了 一个 添加剂;此外,事实证明,一个映射 一个 乔丹是一个乘法 n 推导当且仅当它是一个添加剂乔丹推导。在裁判。 3],Benkovič提出一个新的方法,显示每一个广义的谎言 n 推导 F : 一个 ⟶ 一个 的形式 (6) F x = λ x + Δ x 对所有 x ∈ 一个 , 一些 λ ∈ Z 一个 和 Δ 是一个谎言n-derivation的 一个 。灵感来自约旦的结构派生( 3],乘法约旦n-derivations [ 5],genelized谎言n-derivations [ 2unital代数的非零幂等,本文的主要目的是研究广义乔丹 n 推导unital代数的性质(♣)。在本文的主要定理,定理 1,我们表明,在某些轻微的假设,每一个广义乔丹 n 派生的形式 (7) 年代 x = λ x + J x 对所有 x ∈ 一个 , 在哪里 λ ∈ Z 一个 , J 是一个乔丹 n 派生的 一个 。我们将使用一些已知结果关于乔丹的形式派生unital代数与获得的非零幂等( 2- - - - - - 4]。让我们提到在不同的论文( 2, 3, 7- - - - - - 11]约旦推导三角代数和相关代数从不同的角度进行了研究。

在本文中,我们提出一个新的方法是模拟Benkovič的文章( 3],它优雅地降低了广义约旦的问题描述 n 推导了描述一个乔丹 n 推导。事实证明,如果 年代 : 一个 ⟶ 一个 是一个广义的乔丹 n 推导与乔丹相关联 n 推导 J ,然后一个线性映射 H = 年代 − J : 一个 ⟶ 一个 满足 (8) H p n x 1 , … , x n = p n H x 1 , … , x n , 对所有 x 1 , … , x n ∈ 一个 。因此,可以考虑线性映射属性(♣)。在适当的假设unital代数 一个 非零幂等(命题 1),任何此类广义乔丹 n 派生的形式 H x = λ x 对所有 x ∈ 一个 和一些 λ ∈ Z 一个 。

 2。预赛和主要定理

让 一个 是一个unital代数与幂等 e 和 f = 1 − e 满足(♣)。为了方便起见,我们将使用以下符号 一个 = e 一个 e ∈ e 一个 e , 米 = e 米 f ∈ e 一个 f , t = f t e ∈ f 一个 e , b = f b f ∈ f 一个 f 。因此,每一个元素 x ∈ 一个 可以在表单吗 (9) x = e 一个 e + e 米 f + f t e + f b f = 一个 + 米 + t + b , 在哪里 e 一个 f 是一个 e 一个 e , f 一个 f 双模和 f 一个 e 是一个 f 一个 f , e 一个 e 双模。

让我们列举一些经典的例子unital代数与幂等 e 和 f = 1 − e 满足(♣)。从这些例子中已经提出了很多论文,看到 2, 12- - - - - - 14),我们只是国家他们的标题没有任何细节。

矩阵代数 一个 = 米 n 一个 , n ≥ 2 ,在那里 一个 是一个unital代数。

每一个简单unital代数 一个 与非平凡幂等满足(♣)。

与非平凡幂等Unital '代数。

三角代数 T = 一个 米 B 这样双模 米 是信实的离开 一个 同时也作为一个正确的 B 模块。最重要的例子三角代数上三角矩阵代数 T n 一个 上三角矩阵代数和块 B n 一个 在unital代数和巢代数 T N ,在那里 N 是一个窝在希尔伯特空间 ℍ 。

第一个非常有用的观察是指中心的形式 一个 ,这是相同的([ 15),命题3)和([ 16),引理3.1,引理3.2)。在整个论文, 一个 代表一个unital代数与非零幂等 e 令人满意的(♣)。

由( 12]、[命题2.1],接下去的中心 一个 等于 (10) Z 一个 = 一个 + b ∈ e 一个 e ⊕ f 一个 f 一个 米 = 米 b , n 一个 = b n , ∀ 米 ∈ e 一个 f , ∀ n ∈ f 一个 e 。

此外,我们知道地图 τ : Z 一个 e ⟶ Z 一个 f 是一个代数同构这样 一个 米 = 米 τ 一个 和 n 一个 = τ 一个 n 对所有 一个 ∈ Z 一个 e , 米 ∈ e 一个 f , n ∈ f 一个 e 。

备注1。

让 一个 与非平凡幂等unital代数 e 和 f = 1 − e 。对于任何 x ∈ 一个 对于任何整数 n ≥ 2 ,我们有 (11) p n x , e , … , e = 2 n − 1 e x e + e x f + f x e , p n x , f , … , f = 2 n − 1 f x f + e x f + f x e 。

特别是, x , e = x e + e x = 2 e x e + e x f + f x e 和 x , f = x f + f x = 2 f x f + e x f + f x e 。

在本节中,我们将证明的主要结果,定理 1。正如我们在介绍中提到的,约旦的描述一个通用的问题 n 推导可以减少地图的描述令人满意( 8)。让我们开始这个问题的解决方案。

 命题1。

让 一个 与非平凡幂等unital代数 e 令人满意的(♣)2-trosionfree交换戒指 ℛ 。让我们假设 Z e 一个 e = Z 一个 e 和 Z f 一个 f = Z 一个 f 。让一个线性映射 H : 一个 ⟶ 一个 满足 (12) H p n x 1 , … , x n = p n H x 1 , x 2 , … , x n 对所有 x 1 , … , x n ∈ 一个 。然后 (13) H x = λ x 对所有 x ∈ 一个 , 在哪里 λ ∈ Z 一个

证明。

为了证明这一命题,我们需要以下要求:

权利要求1。 H 0 = 0 。通过 x 我 = 0 对所有 我 = 1、2 , … , n ,一个可以展示 H 0 = 0 。

要求2。与符号上面,我们有 e H e e ⊕ f H f f ∈ Z 一个 , H 米 = e H e e 米 = 米 H f f 和 H t = t e H e e = f H f f t 对所有 米 ∈ e 一个 f , t ∈ f 一个 e 。

的定义 H ,我们有 (14) 0 = H p n e , f , … , f = p n H e , f , … , f = 2 n − 1 f H e f + e H e f + f H e e ,

和 (15) 0 = H p n f , e , … , e = p n H f , e , … , e = 2 n − 1 e H f e + e H f f + f H f e ,

这意味着 e H e f = f H e e = e H f f = f H f e = 0 和 f H e f = e H f e = 0 作为字符 ℛ ≠ 2 。因此 H e = e H e e ∈ e 一个 e 和 H f = f H f f ∈ f 一个 f 。

对所有 米 ∈ e 一个 f ,我们有 (16) H 2 n − 2 米 = H p n f , … , f , 米 = p n H f , … , f , 米 = p n − 1 H f , f , … , f , 米 = 2 n − 2 米 H f f ,

和 (17) H 2 n − 2 米 = H p n e , … , e , 米 = p n H e , … , e , 米 = p n − 1 H e , e , … , e , 米 = 2 n − 2 e H e e 米 ,

对所有 米 ∈ e 一个 f 。因此, (18) H 米 = e H e e 米 = 米 H f f

作为字符 ℛ ≠ 2 。另一方面, t ∈ f 一个 e , (19) H 2 n − 2 t = H p n f , … , f , t = p n H f , … , f , t = p n − 1 H f , f , … , f , t = 2 n − 2 f H f f t ,

和 (20) H 2 n − 2 t = H p n e , … , e , t = p n H e , … , e , t = p n − 1 H e , e , … , e , t = 2 n − 2 t e H e e 。

因此, (21) H t = t e H e e = f H f f t

对所有 t ∈ f 一个 e 。结合( 18)和( 21与中心的定义) Z 一个 ,我们有 (22) e H e e ⊕ f H f f ∈ Z 一个 。

要求3。与符号上面,我们有 H 一个 = e H e 一个 和 H b = f H f b 对所有 一个 ∈ e 一个 e 和 b ∈ f 一个 f

对所有 一个 11 ∈ e 一个 e ,我们有 (23) 2 n − 1 H 一个 = H p n e , … , e , 一个 = p n H e , e , … , e , 一个 = p n − 1 H e , e , … , e , 一个 = 2 n − 2 e H e 一个 + 2 n − 2 一个 H e e 。 自的特点 ℛ 不是2,这意味着 (24) 2 H 一个 = e H e 一个 + 一个 H e e = 2 e H e 一个 , 然后 (25) H 一个 = e H e 一个 = 一个 e H e e 对所有 一个 ∈ e 一个 e 。

同样的,你可以检查 (26) H b = b H f f = b f H f 对所有 b ∈ f 一个 f 。

对所有 x = 一个 + 米 + t + b ∈ 一个 ,声称 1 − 3 ,我们有 (27) H x = H 一个 + H 米 + H t + H b = e H e 一个 + e H e 米 + f H f t + f H f b = λ x , 在哪里 λ = e H e e + f H f f ∈ Z 一个

本文的主要结果:

 定理1。

让 一个 与非平凡幂等unital代数 e 令人满意的(♣)。让我们假设

Z e 一个 e = Z 一个 e

Z f 一个 f = Z 一个 f

那么任何广义乔丹 n 推导 年代 : 一个 ⟶ 一个 的从 年代 x = λ x + J x 对所有 x ∈ 一个 ,在那里 λ ∈ Z 一个 和 J : 一个 ⟶ 一个 是一个乔丹 n 推导。

 证明。

让 年代 : 一个 ⟶ 一个 是一个广义乔丹 n 推导与约旦n-derivation有关 J 。根据这个定义 (28) 年代 p n x 1 , … , x n = p n 年代 x 1 , … , x n + ∑ k = 2 n p n x 1 , … , J x k , … , x n , J p n x 1 , … , x n = p n J x 1 , … , x n + ∑ k = 2 n p n x 1 , … , J x k , … , x n , 对所有 x 1 , … , x n ∈ 一个 。让我们表示 H = 年代 − J 。如果我们减去上平等,我们看到一个线性映射 H : 一个 ⟶ 一个 满足 (29) H p n x 1 , … , x n = p n H x 1 , … , x n 对所有 x 1 , … , x n ∈ 一个 。因为所有的假设命题 1是实现存在 λ ∈ Z 一个 这样 H x = λ x + J x 。

根据定理 1和(( 2),定理4.1),乔丹 n 推导通常约旦推导 n = 2 ,以下是直接结果。

 推论1。

让 一个 与非平凡幂等unital代数 e 令人满意的(♣)。让我们假设

Z e 一个 e = Z 一个 e

Z f 一个 f = Z 一个 f

那么任何广义乔丹推导 F : 一个 ⟶ 一个 的从 F x = λ x + J 1 x + J 2 x 对所有 x ∈ 一个 ,在那里 λ ∈ Z 一个 , J 1 : 一个 ⟶ 一个 推导和 J 2 : 一个 ⟶ 一个 是一个奇异乔丹推导。

 推论2。

([ 4),定理3.11) 一个 与非平凡幂等unital代数 e 令人满意的(♣)和双模 e 一个 f 是信实的离开 e 一个 e 模块和正确的 f 一个 f 模块。然后每一个约旦的推导可以表示为推导和antiderivation的总和。

我们应用定理 1的经典例子unital代数:三角代数(巢上三角矩阵代数,代数),矩阵代数,和有界的线性算子的代数。我们的主要结果降低了广义约旦的描述 n 推导的描述一个乔丹 n 推导。

众所周知,乔丹派生的矩阵代数和代数是派生 17, 18]。使用的结果([ 2),第三节),可以证明没有非零奇异矩阵代数的约旦派生 米 n 一个 在unital代数 一个 。一个也可以获得没有非零奇异的约旦派生unital '代数 一个 一个非凡的幂等 e 。因此,定理 1意味着以下推论。

推论3。

让 一个 = 米 年代 一个 , 年代 ≥ 3 ,在那里 一个 是一个unital 年代 − 1 无挠代数。然后每一个广义乔丹推导 F : 一个 ⟶ 一个 的形式 F x = λ x + J x ,在那里 λ ∈ Z 一个 , J : 一个 ⟶ 一个 是一个派生。

本文总结了一些应用程序的主要定理。如果A是一个unital代数与非平凡幂等 e这样 f 一个 e = 0 ,双模 e 一个 f 是信实的离开 e 一个 e 模块,也是对的 f 一个 f 模块,代数 一个 是一个三角代数。三角代数 一个 满足(♣)和定义 一个 没有非零奇异乔丹派生。因此,结合( 7),我们得到以下结果。

推论4。

让 一个 是一个三角代数。让我们假设

Z e 一个 e = Z 一个 e

Z f 一个 f = Z 一个 f

然后,任何广义乔丹推导 F : 一个 ⟶ 一个 的从 F x = λ x + J x 对所有 x ∈ 一个 ,在那里 λ ∈ Z 一个 和 J : 一个 ⟶ 一个 是一个派生。

 推论5。

每一个约旦的推导unital '代数与非平凡幂等 e是一个派生。

所有有界的线性算子的代数。

让 X 巴拿赫空间上 ℂ 的尺寸大于1。通过 B = B X ,我们表示所有有界的线性算子的代数 X 。 B 包含非平凡幂等 e 因此可以在表单 B = e B e + e B f + f B e + f B f ,在那里 f = 1 − e 。自 B 是一个典型的代数, B 满足(♣)。请注意, e B e 和 f B f 是所有有界的线性代数的运营商和 B , e B e , f B f 是中央代数 ℂ 。因此, e Z B e = Z e B e = ℂ e 和 f Z B f = Z f B f = ℂ f 。因此 B 满足定理的假设 1我们有。

推论6。

让 X 巴拿赫空间上 ℂ ,昏暗的 X ≥ 2 。然后每一个广义乔丹 n 推导 年代 的 B 的形式 年代 x = λ x + J x 对所有 x ∈ B ,在那里 λ ∈ ℂ 和 J : B ⟶ B 是一个乔丹 n 推导。

我们知道 B 是一个典型的代数和 B , e B e , f B f 是中央代数 ℂ 。因此,假设小王'result ([ 2),推论4.5)是能够实现的。因此,任何乔丹推导 J : B ⟶ B 是一个派生。

推论7。

让 X 巴拿赫空间上 ℂ ,昏暗的 X ≥ 2 。然后每一个广义乔丹推导 年代 的 B 的形式 年代 x = λ x + J x 对所有 x ∈ B ,在那里 λ ∈ ℂ 和 J : B ⟶ B 是一个派生。

 数据可用性

没有数据被用来支持本研究

 的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

 确认

这项工作得到了安徽省自然科学研究重点项目(批准号2008085 qa01),安徽省自然科学基金青年基金(批准号KJ2019A0107),中国国家自然科学基金(11901030),和北京市自然科学基金(1204034)。

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