文摘

我们建议热方程的数值解在极柱坐标线方法的使用无网格方法。变量是离散的空间multiquadric径向基函数,执行时间和集成通过使用4阶龙格-库塔方法。在径向基函数(rbf),大量的研究致力于直角坐标的偏微分方程。这项工作是为了探索rbf的通用性在不规则的坐标。结果表明,应用rbf同样在极柱坐标。比较与其他引用工作证实,目前的方法是准确和容易实现在更高维度的问题。

1。介绍

热方程的研究的重要性在极柱形成明显的事实是,这是一个许多现实问题的数学模型。它的传热模型,发生在许多领域从传热在生物系统盘bioheat转让。几个作者都试图解决热方程。Albasiny [1)使用Crank-Nicolson方法解决圆柱热方程。米切尔和皮尔斯(2]应用显式有限差分法获得圆柱热传导方程的数值解。Iyengar和米塔尔3)派生的高精度圆柱热方程的隐式方法。他们开发了无条件稳定的隐式公式来解决问题。对称semiimplicit Livne用有限差分法和Glasner4解决热方程。Iyengar和马诺5)开发的热方程的高阶差分方法解在极柱形式。马诺et al。6派生的两级,三分不同方案解决热方程与线性变系数。Al-Odat和Al-Nimr7]研究了复合超导带的热稳定性考虑热传导方程。李等人。8)获得的数值解薛定谔和热方程采用有限差分格式。他们提议在无限域高阶人工边界条件。在大多数情况下,基于网格数值方法被用来研究热方程。在这项研究中,我们提出一种无网格方法的行(更易)方法研究热方程在极坐标圆柱坐标。无网格数值方法优于传统的基于网格的方法。这些方法不需要网格生成,因此,他们更灵活,节省计算时间。

直线法(摩尔)是一个强大的数值技术,解决了偏微分方程(PDE)两个阶段。空间衍生品被使用一些近似代数近似如有限差分、有限元、或径向基函数(rbf)。这减少了PDE常微分方程组(常微分方程),可以解决任何时域方法相反的应用拉普拉斯变换方法(9)或时空方法(10的时间集成过程最好避免。许多作者摩尔的方法用于解决各种工程问题(见例如[11- - - - - -16),在其中的引用)。

在这项研究中,我们使用multiquadric (MQ), ,作为空间离散化和RBF的龙格-库塔方法4 (RK4)时间集成。监察(17,18MQ)用于计算流体动力学中解决问题。自那时以来,一些作者解决了利用rbf pd,例如,(19- - - - - -25]。一直很少关注rbf的不规则的坐标。大部分的工作在不规则的坐标进行传单和她的合著者22,26- - - - - -29日]。Aminataei和Mazarei使用RBF在极坐标解泊松方程(30.]。在MQ方法,参数被称为形状的形状参数方法的稳定性和准确性。的选择需要关注之间有一个权衡的稳定性和精度近似法(19]。更易有优于传统的基于网格方法(31日]。它可以节约计算时间,可应用于更复杂的几何图形问题。不规则的坐标系,RBF最适合,因为其径向性质。在这项工作中,我们使用RBF找到极地圆柱热方程的数值解的形式。研究探讨了丰富的RBF在极柱坐标系。

其他研究组织结构如下:部分2提出了该方法的制定。部分3给出了数值例子和讨论结果。部分4总结了研究。

2。方法的制定

我们考虑极性柱坐标系中的热方程 在哪里 , 或1。在这里,我们研究了径向对称的情况 在哪里 。上述方程可以写成 在哪里 是空间微分算子。初始条件(IC) 在哪里 或 根据 分别或1。边界条件(BCs)是 或 以及 , 在哪里 , ,和的功能是 ,或它们的功能和 ,当 分别或1。

2.1。使用RBF空间离散化

我们选择不同的节点, ,在该地区 , 是近似函数的空间维度, 通过 作为 在哪里 是一些RBF, ,和都是未知数 。使用搭配点 ,我们获得

应用在上面的方程中,我们有 在哪里PDE的节点的数目是执行。同样,让是节点的数量在BCs执行;然后, 在哪里是边界算子。写方程(9在矩阵符号),我们得到的 这样

Micchelli [32证明了系统矩阵的可逆性 。它遵循从方程(10)- (12), 在哪里和的子矩阵评估内部和边界节点,分别。让 ;然后,上面的方程变成了 在哪里被称为微分矩阵(33),将用于特征值稳定。

2.1.1。RBF在极坐标形式

圆柱和笛卡尔坐标有关

两个点之间的距离 和 是由 替换的值和 ,我们获得

更详细的讨论了RBF non-Cartesian坐标,看到22]。

2.1.2。衍生品的RBF

RBF的衍生品, ,关于空间变量和 ,是由 在哪里 和 是multiquadric RBF (MQ)。应用RBF近似方程(3),(5)- (7),我们有以下系统的常微分方程: 与相应的集成电路

2.2。时间提出的集成和稳定数值方案

在当前的程序,时间依赖模型是时间变量的常微分方程系统一个人。转换后的耦合系统的常微分方程是解决减少了任何时间积分法(如龙格-库塔)。数值方法的稳定性可以讨论通过合并拇指规则(34]。因此,该方法将是稳定的,如果运营商在(21),特征值按比例缩小的步长在时间龙格-库塔的躺在该地区的稳定。

2.3。形状参数及其选择

大部分可用的径向基函数类型包含一个比例因子也称为形状参数从而改变基函数的形状和精度大大相关解决方案。的准确性,我们总是需要使用比例因子的最优值。很多标准都可以找到RBF形状参数的最优值。但在目前的工作,开发的标准(21)寻找良好的价值比例因子用于更好的精度。

3所示。数值例子

在本节中,我们考虑在极热方程的数值例子圆柱坐标。在所有的例子中,径向对称情况下(独立 )被认为是。为了验证数值解,我们比较结果与精确解和其他一些文献的数值方法。收敛性和特征值稳定还讨论了进一步验证数值计算。

例1。考虑方程(3)当 和下面的集成电路(8]: 确切的解决方案是(8] 在数值计算, 使用。我们解决了这个问题域 在 。BCs是源自于精确解,方程(24)。数值解得到在不同节点的数量和形状参数的不同值显示方法的收敛性。我们检查了稳定的方法区分矩阵的特征值。表1提供了系统矩阵的条件数,分化矩阵的谱半径错误, (8当形状参数)在不同的节点数量 。表1李还提供的结果是类似的et al。8]。图1显示解决方案,绝对误差在时间 ,的节点数量 ,和形状参数 。收敛性和特征值稳定在图所示2,而图3显示了形状参数错误和条件数。从表1和图2(一个),很明显,该方法收敛随着节点数的增加。在图2 (b),我们可以看到分化矩阵的所有特征值位于RK4的稳定区域。图3表明,小错误条件时可以获得相对较大,但同时,特征值必须保持在稳定域。

例2。接下来,我们解决方程(3)当 用下面的集成电路(3]: 在哪里第一类贝塞尔函数,的零 。
确切的解决方案是(3] 我们对该地区得到了数值解 在不同的时间, 。我们利用精确解(26)获得bc。不同的节点数量和形状参数用于计算。表2比较了两种方法的结果与3](公式(2.1)的引用)。当前方法的表提供的结果比引用工作。表3和图4(一)表明该方法的收敛性。图5显示解决方案和绝对误差的方法。它可以从图4 (b)的特征值是稳定的。形状参数和最大绝对误差和条件数如图6。形状参数的最优值在7.1和7.2之间,如图6(一)。为了得到一个小错误,空调必须在某种程度上牺牲了。

例3。现在,我们考虑方程(3)当 用下面的集成电路(3]: 这个问题的精确解是3] 我们使用了域 在不同的时间来解决这个问题数值。BCs是源自于精确解(28)。表4提供了一个比较的最大绝对误差Iyengar和米塔尔3]。表提供,我们的结果有点可怜的比3),但是,很合理与精确解相比。方法的收敛性和稳定性给出了表5和图7。解决方案和绝对误差图所示8。形状参数和最大绝对误差和条件数如图9。增加减少条件数错误。我们必须保持平衡和条件数的错误。小错误,我们需要一个可以接受的条件。形状参数准确性和稳定性起着重要作用。图9(一个)显示的最佳值在0.68附近。

例4。最后一个例子,我们考虑方程(3)当 在该地区 , 。
这个问题的精确解是由(5] 在哪里 和 。集成电路和BCs来自确切的解决方案(29日)。表6提供了条件,谱半径,最大绝对误差,错误在不同数量的节点 。误差随节点的增加而减小。我们有一个合理的误差甚至一个小的节点数量。图10情节的解决方案和绝对误差。表6和图11显示,收敛性和稳定性。图12显示了形状参数和最大绝对误差和系统矩阵的条件数。

4所示。结论

热方程是基本PDE模型之一,因为它捕获一些物理现象从温度传热板的肿瘤。我们解决了方程在极坐标圆柱形式,是一种自然坐标系与圆形域问题。此外,rbf的径向特征使得它们更适合在极坐标形式。在这里,我们使用了MQ-RBF,形状参数。形状参数起着至关重要的作用在数值解的稳定性和准确性。的参数必须选择在这样一个方式,同时维护的准确性和稳定性。该方法在本质上是无网格,从而可以有效地适用于不规则的问题域。目前的方法是一种有效的添加到现有方法的热方程极柱坐标。

数据可用性

支持本研究使用的数据都包含在这篇文章。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。