文摘
在本文中,我们考虑一个一阶非齐次微分算子方程 。运营商的系数是线性的和自伴的希尔伯特空间。我们假定操作员没有一个固定的标志。我们把这个方程初始或最终的条件 。我们注意到柯西问题是严重病态,如果它存在的解决方案不持续取决于给定的数据。使用quasi-boundary值方法,我们得到一个近似的非局部问题取决于一个小参数。我们表明,正则化问题是适定的,有一个强烈的解决方案。最后,还提供了一些收敛结果。
1。介绍
术语“逆问题”和“病态问题”一直在稳步和肯定越来越受欢迎在20世纪中期以来的现代科学。五十年的学习多一点这样的问题表明,大量的经典数学的问题从不同的分支(计算代数、微分和积分方程,偏微分方程,以及功能分析)可分为逆或不适定的,他们是最复杂的(因为他们通常不稳定、非线性)。同时,逆和病态问题开始研究和应用系统在物理、地球物理、医学、天文学、和所有其他领域的知识,使用数学方法。原因是解决逆问题描述媒体正在研究的重要属性,如密度和波传播速度、弹性参数、电导率、介电常数和磁导率,和属性和位置,尺度难以接近的区域。
在这篇文章中,表示一个希尔伯特空间赋予内部产品和规范 。 是一个线性的,无限的自共轭算子的连续光谱nonfixed签署吗 。我们假设承认有界逆在和是一个给定的函数 。让是一个积极的实数是一个元素 。我们考虑的问题找到一个函数 ,这样
众所周知,非齐次问题是严重病态的阿达玛,即。,solutions do not always exist, and in the case of existence, these do not depend continuously on the given data. In fact, from small noise contaminated physical measurements, the corresponding solutions have large errors. It becomes difficult to do numerical calculations. Hence, a regularization is in order.
有很多研究均匀初始条件 或柯西问题的最终条件 对应于持续的标志,使用不同的方法如(1- - - - - -6]。unhomogeneous已经被许多作者(见[7])。
我们提到的同样的问题齐次方程由Yurchuk治疗,Ababneh [8]和Bessila [9通过引入不同的非局部条件。
在本文中,我们引入unhomogeneous微分算子方程非局部边界条件取决于小参数 如下:
在这个工作中,我们表示积极的特征值对应的特征向量并通过负特征值对应的特征向量的运营商 。的特征向量 形成一个正交系统与 和 。
2。近似的问题
我们近似问题(1)由以下问题: 在哪里如上所述, 是由 在哪里
向量 可以表示如下: 在哪里 。
经典解决方案的问题(2)函数如下: 为 。
在基 ,它可以写
2.1。符号
如果我们表示 然后函数可以写成:
定理1。。
问题(3)是适定的,其独特的解决方案由(8)。此外,
证明。为每一个 ,我们有 通过使用关系(12)和(13),我们得到 然后, 我们推导出收敛系列(10)的强解问题(3)。
3所示。融合的结果
引理1。对所有 ,我们有以下的估计: 在哪里 。
证明。(我)的值 是积极和增加 ,和它的导数如下: 它最大的价值 ,也就是说, (2)我们知道 ,我们有 然后 (3)另一方面,下面的值: 是负和减少只要它的导数如下: 和它的最小值 ,也就是说, (iv)我们也 然后我们获得关系(19)。(v)估计(20.),我们有 然后 (vi)此外,我们有 然后我们推断(21)和(22)。
定理2。。
对所有
,我们有
证明。通过定义(6)和(8),我们有 使用不平等(12)和(16)- (19)(见引理1),我们得到 现在,我们demostrate 在哪里是一些特殊的组密集在希尔伯特空间吗 。我们把所有和在的形式如下: 。然后,由于Banach-Steinhaus定理,我们得到 结合关系(12),(17)和(20.)- (22)(见引理1),我们获得 这给了 。
引理2。。
对所有
,我们有以下的不平等:
在哪里
。
证明。(我)对所有 ,下面的值: 是负和增加因为它的导数如下: 当需要的最低价值 ,然后我们推断(41)。(2)我们也 然后 另一方面,以下功能: 是积极和减少由于导数如下: 和它最大的价值 ,然后我们获得(43)。(3)此外,我们知道 , 然后关系(44)。(iv)我们有 然后我们推断(45)和(46)。(v)最后,通过简单的增加,我们可以很容易地不平等(47)和(48)。
定理3。。
对所有
,我们有
证明。我们有 然后通过使用(12)和(41)- (44),我们得到 现在,我们证明 在哪里一组特定密集在吗 。我们选择和在的形式: 。然后, 使用不平等(45)- (48在引理2和关系(12),我们获得 最后,根据Banach-Steinhaus定理,(57)的结果(59)和(63年)。
结论1。注意,在这个工作中,使用quasi-boundary值方法,研究了非齐次微分算子方程引入外地的条件。结果给出广义工作的结果由Yurchuk和Ababneh8),他们认为均匀的情况。(10- - - - - -16]
数据可用性
我们的文章的内容没有任何特定数据,因此不需要任何条款在这个方向。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。