文摘

重叠函数是一种特殊类型的聚合函数衡量不同阶层之间的重叠度。最近,复杂的模糊集已经成功地应用在许多领域。在本文中,我们扩展重叠的概念功能的复数。我们引入复数的概念重叠,复数0-overlap,复数1-overlap,和一般复数重叠功能,可视为重叠的概念的概括,0-overlap, 1-overlap,分别和一般重叠功能。我们研究这些复数重叠函数的一些性质及其施工方法。

1。介绍

Bustince et al。1]介绍了重叠函数的概念,为了表达两种不同的类之间的重叠程度。重叠函数是一种特殊类型的聚合函数(2)在图像处理等许多应用程序使用(1,3)、分类(4,5),和决策(6,7]。它与各种形式获得了快速发展。阿基米德的概念、一般、0-overlap 1-overlap,提出了n维重叠区间值函数(8- - - - - -11]。各种属性包括migrativity、分布性、幂等性和同质性重叠函数进行了调查(7,8,12- - - - - -17]。添加剂发电机(11,18)和乘法生成器(19重叠的功能。影响来自重叠函数研究了(20.,21]。

Ramot et al。22,23介绍了复杂的模糊集的概念。它是一种有效的工具来处理不确定性和同时周期性。它已经成功地应用于信号处理23- - - - - -25),图像处理26),时间序列预测27- - - - - -30.),和决策(31日,32]。不同的措施,包括距离、相似度和熵提出了复杂的模糊集33- - - - - -38]。各种属性包括 - - - - - -平等、平行性、正交性和旋转不变性的复杂模糊集进行了调查(39- - - - - -42]。

复杂的模糊集已经成功地应用在许多不同的领域。在某些情况下,重叠程度需要复数的两个或两个以上的对象的信息。在本文中,我们扩展传统的实值函数重叠复值函数重叠。起点是复值不同于其他实值重叠功能重叠。例如,( )是一个操作周期函数和负(-)是封闭在复杂的单位圆。这些功能可能会导致特殊属性和施工方法的复值函数和重叠代重叠函数提供一个良好的问题。据我们所知,如今,没有相应的讨论提出的复数重叠功能。因此,本文从理论的角度来看,我们建议复数重叠函数的定义和施工方法。

本文组织如下。节2,我们回忆起重叠函数的概念。节3介绍复值重叠函数和它们的属性。节4,我们提出一些施工方法的复值函数重叠。结论给出了部分5。

2。预赛

在本节中,我们回忆起一些二元函数和n维重叠函数重叠的概念,它主要是研究[1,10,11]。

2.1。重叠的功能

定义1。(见[1])。一个映射 是一个重叠函数,如果 ,这是交换,不减少的,连续的和满足下列条件:(1) 当且仅当 ;(2) 当且仅当 。

介绍了(11),一个映射 是一个0-overlap函数如果我们宽松的条件(O1群)(O1群”) 在不改变其他条件。

同样,一个映射 是一个0-overlap函数如果我们宽松的条件(O2) (O2) 在不改变其他条件。

定义2。(见[10])。一个映射 是一个 - - - - - -维重叠功能,如果 ,这是交换,不减少的,连续的和满足下列条件:(1) 当且仅当 ;(2) 当且仅当 。

介绍了(11),一个映射 是一个n维0-overlap函数如果我们宽松的条件(1)(1 ') 在不改变其他条件。

类似地,一个映射 是一个n维1-overlap函数如果我们宽松的条件(2)(2”) 在不改变其他条件。

基于n维的概念0-overlap和1-overlap功能,一般重叠函数定义如下:

定义3。(见[10])。一个映射 是一个 - - - - - -维一般重叠功能,如果 ,这是交换,不减少的,连续的和满足下列条件:(1)如果 ,然后 ;(2)如果 ,然后 。

3所示。n维复值函数重叠

让 ,然后我们定义了n维复数重叠功能。

定义4。一个映射 是一个 - - - - - -维复值函数,如果重叠 ,这是交换和持续满足下列条件:(1) 当且仅当 ;(2) 当且仅当 ;(3)是第一个组件:振幅单调 当 。

自是可交换的, - - - - - -维复数重叠功能也在任何其他组件基于振幅单调(3)。显然,这些条件类似的定义1。当域仅限于[0,1], - - - - - -维复数重叠功能降低 - - - - - -维实值重叠的函数定义1。

例1。然而,有重叠的映射函数域[0,1]但不复数重叠功能。这个函数 给出的 是一个重叠函数而不是复值函数重叠。

有许多类型的实值函数重叠。同样的,我们0-overlap和1-overlap函数的概念扩展到n维复值函数重叠。

一个映射 是一个n维复数0-overlap函数如果我们宽松的条件(1)(1 ') 在不改变其他条件。

一个映射 是一个n维1-overlap如果我们宽松的条件(复值函数2)(2”) 在不改变其他条件。

基于n维复数的概念0-overlap和1-overlap功能,我们定义了n维广义复值函数重叠的概念

定义5。一个映射 是一个 - - - - - -维一般复值函数,如果重叠 ,这是交换和持续满足下列条件:(1)如果 ,然后 ;(2)如果 ,然后 ; 是第一个组件:振幅单调 当 。

之间的关系 - - - - - -维复数重叠功能,当0-overlap函数,复值1-overlap功能,和一般的复值函数重叠图所示1。斯慕斯et al。17)之间的关系 - - - - - -维重叠区间值函数、区间值0-overlap函数区间值1-overlap功能,和一般区间值重叠功能,类似于图1。

显然,我们有以下。

命题1。如果一个映射 要么是一个n维复数的重叠、复数0-overlap或复数1-overlap函数,然后呢也是一个通用复值函数重叠。

我们给一些例子的复值函数来展示他们的重叠关系。

例2。这个函数 给出的 是复值函数重叠。

例3。这个函数 给出的 是一个通用复值重叠函数。此外,它是一个复数1-overlap函数而不是复数0-overlap函数。

例4。这个函数 给出的 是一个通用复值重叠函数。此外,它是一个复数1-overlap函数而不是复数0-overlap函数。

例5。这个函数 给出的 是一个通用复值重叠函数。此外,它是一个复数0-overlap函数而不是复数1-overlap函数。

注意,重叠的类函数是凸的。但凸的太阳不是振幅单调(?),然后当重叠函数的类不是凸。

关闭操作负(-)在复杂的单位圆,但不关闭在[0,1]。然后,我们有以下属性只对复数的重叠功能。

定义6。我们说的复数重叠功能 满足self-duality属性,如果它满足 对于任何 。

定义7。我们说的复数重叠功能 是对称的点(0,如果它满足呢 对于任何 。

有复数重叠函数满足上述性质。

示例8。这个函数 给出的 是复值函数重叠。有趣的是,当它满足self-duality属性是一个奇数。它是对称的点(0时是一个偶数。

4所示。建设复值函数重叠

我们假设使用复数形式的指数,例如, 的形式 ,在哪里 ,振幅的术语 ,和相 。为了让这个阶段有效范围内,计算最积极的残留模时的相位项的范围。为简单起见,我们省略符号( )。

命题2。如果一个映射 是n维复数的重叠(复数0-overlap、复数1-overlap或一般复数重叠)函数表示为 然后函数是一个n维重叠(0-overlap、1-overlap或一般重叠)功能。

定理1。如果函数 是一个n维重叠函数,该函数 满足以下属性:(我) 可交换的;(2) 当且仅当 ;(3) 是连续的。然后,该函数 由方程(9)是一个n维复数的重叠(复数0-overlap、复数1-overlap或一般复数重叠)功能。

证明。它是直接是交换、振幅单调和连续,因为不减少的,和都是可交换的,连续的。( ):( )如果 ,然后 。然后, 自是一个重叠函数。然后, 。( ):( )如果 ,这意味着 ,然后 自是一个重叠函数。然后, 。( ):( )如果 ,然后 和 。然后, 自是一个重叠函数, 自满足(ii)。然后, 。( ):( )如果 ,这意味着 和 ,然后 自是一个重叠函数, 自满足(ii)。然后, 。□

定理2。如果函数 是一个n维0-overlap函数,该函数 满足以下属性:(我) 可交换的;(2) 当且仅当 ;(3) 是连续的。然后,该函数 由方程(9)是一个n维复数0-overlap函数。

证明。类似于定理的证明1。

定理3。如果函数 是一个n维1-overlap(或重叠)函数,这个函数呢 满足以下属性:(我) 可交换的;(2)如果 ,然后 ;(3) 是连续的。然后,该函数 由方程(9)是一个n维复数1-overlap(或一般复值重叠)功能。

证明。类似于定理的证明1。

有几种施工方法(通用)重叠功能。在这里,我们考虑的建设(通用)复值重叠功能。如果n维复值函数 由方程(定义9),那么我们可以很容易地看到它构造函数是一个关键的一步 ,满足定理的条件(2)吗2(或3)。

现在,我们给出二元函数的例子 满足条件(2)的定理2(或3)。

例6。这个函数 给出的 满足条件(2)的定理2。这个函数 给出的 满足条件(2)的定理2。这个函数 给出的 满足条件(2)的定理3。但它不满足条件(2)的定理2。

注意,我们省略的操作 。如果 ,然后 ,但 。所以,不满足条件(2)定理呢2。一般来说,我们有以下结果。

例7。这个函数 给出的 满足条件(2)的定理3。但它不满足条件(2)的定理2。

基于结果的复值函数重叠,我们给出下面的例子。

示例8。这个函数 给出的 复值函数重叠是什么时候 和 。
这个函数 给出的 是一个复数0-overlap函数什么时候 。
这个函数 给出的 是一个复数1-overlap函数什么时候 。

5。结论

在本文中,我们介绍了复数的概念重叠,复数0-overlap,复数1-overlap和一般复数重叠功能。我们给了它们之间的关系,研究了它们的属性。有别于传统的实值函数重叠,我们添加了以下属性对复数的重叠功能由于每个变量的域是复平面的单位圆:

然后,我们提出了一些施工方法对复数的重叠功能。因为指数函数的周期性 ,我们的方法包括建设一个连续、交换功能 满足以下属性:

当然,我们应该注意到复数重叠函数有很多不同与传统的实值函数重叠。一些有趣的属性是有用的复值函数重叠但他们不会出现在传统的实值函数重叠。作为进一步的工作,我们打算调查这些特殊性能的复值函数重叠。

复数重叠函数可以看作是一类特殊的复杂模糊聚合函数已被广泛应用于许多应用领域。如何应用的复数重叠功能是另一个感兴趣的问题。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究是由美国国家科学基金会批准号下的中国62006168和浙江省自然科学基金批准号LQ21A010001。