文摘
让是一个简单图和是它的邻接矩阵。让 矩阵的特征值 。然后,一个图的能量被定义为 。在本文中,我们将讨论的新下界的能量满秩图度序列而言,2-sequence,第一个萨格勒布指数,彩色数字。此外,我们改善以前一些著名的边界连接非奇异的图形。
1。介绍
在本文中,我们假设是一个简单的图表和和的顶点集和边集,这样吗 和 。让程度的顶点 。为了方便起见,我们假设在这里和完全图和完整的偶图,分别。
图着色是一种着色图的顶点,没有两个相邻的顶点是相同的颜色;这就是所谓的顶点着色。所需要的最小数量的颜色颜色图表被称为它的彩色的 ,用 。
顶点的度毗邻的总和是同样的电话吗和用 。平均度是2度,我们表示 的平均程度 。的第一个萨格勒布G,介绍了1),定义如下:
假设 是邻接矩阵特征值 ,我们知道
如果 ,我们称之为G单数,否则我们称之为非奇异的。
根据邻接矩阵的特征值,图的能量被定义如下:
图化学能源首次使用近似的能量 - - - - - -电子的分子(2,3]。
刘等人。4]推导出一些新的能量的范围。Filipovski和Jajcay5),派生的一些能量的范围。Das和古特曼6]讨论了边界的能量和改进一些。2017年,Jahanbani [7)获得一些能量的下界。2018年,Jahanbani [8获得一些上界的能源和改善众所周知的界限。2020年,Filipovski和Jajcay [5]导出的一些能量的下界。2021年,Filipovski和Jajcay [5获得新能量的范围。在本文中,我们继续讨论,获取新的非奇异的连通图的能量范围,提高一些重要的界限。
最古老的界限是由麦克勒兰德(发现9- - - - - -12]。边界一直深受研究者在数学科学,看到5,6,8,13- - - - - -17]。
麦克勒兰德,在12),获得下一个结果:
以下一定可以找到的证据(18]:
接下来的结果是通过Das等人在19]:
2。预赛
在本节中,我们回忆的一些结果,我们将需要证明的主要结果。
它是容易证明以下两个结果。
引理1。考虑功能如下:
然后,功能正在增加的 和减少 。
引理2。函数 是一个递增函数 。
引理3(见[20.])。对于一个连通图与顶点,边,我们有
引理4(见[21])。对于一个非空的图,我们
引理6(见[20.])。连通图的色数 ,我们有
引理7(见[24])。假设有一个图表 顶点;然后, 在哪里是常见的邻居的数量吗和 。
引理8(见[24])。假设有一个图表顶点;然后, 在哪里是常见的邻居的数量吗和 。
引理9(见[25])。让是一个图;然后,它只有一个截然不同的特征值,当且仅当是一个空图和有2个不同的特征值 与多样性和当且仅当是直接的和完成图形的订单 。同时, 和 。
3所示。下界的能量非奇异的图形
在本节中,我们提出新能源下界的一个非奇异的图表 。
定理1。让是一个非空的和非奇异的图形顶点,边缘。然后,
平等拥有当且仅当 。
证明。请注意,非奇异的;因此,我们有
,为
。从引理1,我们有
;因此,
在哪里
,和,等号成立当且仅当
。通过应用能源的定义,我们可以写
由引理5,我们有
。从引理2,我们获得
从上面的结果与平等(16),我们得到的结果。
现在,为了证明这个定理的第二部分,如果
,它可以很容易地看到,平等的定理1成立。相反,如果平等定理1,然后,通过引理5,我们获得
请注意,是一个非空的图;利用引理9,我们知道图至少有两个不同的特征值。因此,我们继续证明以下两种情况。
案例1。让
。
请注意,
直接持有任何图米边缘。因此,我们有
。所以,我们有
,自至少有两个不同的特征值
。由不平等(15),我们有
,并且由于平等适用
,我们直接的绝对值
是1。因此,
也
。通过引理9,我们获得
;然后,
。因此,我们获得
具有多重性
,和
具有多重性
为
。因此,是直接的和
完成图形的订单
。因此,
,我们看到的是矛盾的非奇异的图。
例2。所有特征值的绝对值不公平。然后,有2个不同的特征值有不同的绝对值。类似的情况1的绝对值 是1。因为, 和 为 ,然后我们有 。因此,有多重性1和 具有多重性 。由引理9,是直和完全图的顺序吗 。换句话说, 。
使用这种技术来证明定理1,我们得到下一个结果。
定理2。对于任何非空的和非奇异的连通图与顶点和色号 ,我们有
平等(19)当且仅当 。
定理3。对于任何非空的和非奇异的图与顶点,我们有
证明。请注意,非奇异的;因此,我们有 ,为 。因此, 通过平等(16),我们可以写 从引理4,我们有 。由引理2,我们可以写 由不平等(23)与平等(22),我们得到的结果。
定理4。对于任何非空的和非奇异的图形顶点,我们有
证明。用相同的参数,我们可以写
从引理7,我们获得
根据函数的性质
,我们有
从上面的不平等,平等(25),我们得到的结果。
类似于定理4并利用引理8,我们可以得到以下的结果。
定理5。让是一个非空的和非奇异的图形顶点。然后,
4所示。改善一些边界的能量连接非奇异的图形
在本节中,我们表明,该下界(14)和(20.)比经典的绑定19]给出的 对于非奇异的连接图。此外,我们表明,不平等(20.)比不平等(14)。
定理6。绑定(14)提高知名绑定(6所有连接非奇异的图形)。
证明。自增加在 由于 (注意, ),因此,我们有 ,即绑定(14)比的约束(6)。
推论1。绑定(14)提高知名绑定(4所有连接非奇异的图形)。
定理7。绑定(20.)提高知名绑定(6所有连接非奇异的图形)。
证明。自约束(19)总是更好的约束(6),依赖于相同的事实证明定理6。使用的关系 和 ,即绑定(20.)比的约束(6)。
定理8。绑定(20.)提高了绑定(14所有连接非奇异的图形)。
证明。自 通过使用的属性函数,我们可以写 ,即绑定(20.)比的约束(14)。
数据可用性
数据参与我们的研究包括在本文的示例。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
j·罗德里格斯被MINEDUC-UA项目支持,ant - 1899代码,并由启动项目Research-Universidad de Antofagasta INI-19-06,而区域MATHAMSUD MATH2020003。