文摘
在本文中,我们考虑的是多组分裂时常见的定点问题demicontractive相关映射。我们首先研究demicontractive映射的若干性质,特别是他们与直接映射。利用这些特性,我们提出一些新的迭代方法求解多组分割共同定点问题,以及多组吐可行性问题。在较弱的条件下,我们建立自己的弱收敛的方法。
1。介绍
分割共同定点问题(SCFP)需要找到一个元素在一个定点设置这样一个线性变换下的图像属于另一个定点集。在形式上,它包含在发现 这样 在哪里 是一个有界的线性映射的希尔伯特空间到另一个希尔伯特空间 ,和和分别是定点的非线性映射集吗 和 。特别,如果和这两个指标的预测,那么问题(1)是减少到著名的分裂可行性问题(SFP) [1]。实际上,SFP可以制定发现 这样 在哪里 和 非空的闭凸集,和映射吗如上所述。最近这两个问题都进行了广泛的调查,因为他们发挥重要作用在各领域包括信号处理和图像重建2- - - - - -6]。
我们假设在整个论文问题(1)是一致的,这意味着它的解集非空的。审查和西格尔(7)研究问题(1)当和直接映射。在这种情况下,他们提出了以下方法: 在哪里的共轭 , 代表身份映射,是一个正确选择stepsize。结果表明,如果选择在 ,然后(7)收敛弱的解决方案(1)。随后,这种结果是扩展到更一般的情况下(见,例如,8- - - - - -17])。因为stepsize的选择是相关的 ,因此实现(7),一个计算(或者至少估计)标准 ,在实践中,通常是不容易。一种方法避免这个是采用变量stepsize最终没有关系(9,10,18]。在这一点上,小王和崔10)提出以下stepsize: 另一方面,王(19提出了一种新的方法: 在哪里 选择这样
很明显,选择stepsizes (8)和(6)不依赖于常态 ,进而提高了原算法的性能。假设和都是直接这样吗和demiclosed在0。结果表明,序列由(7)和(8)或(5)和(6)收敛弱问题的解决方案(1)。
现在,让我们考虑多组分离常见的定点问题(MSCFP)比SCFP更普遍。在形式上,它在于发现 这样 在哪里和两个正整数, 是一个有界的线性映射的希尔伯特空间到另一个希尔伯特空间 ,和和分别是定点的非线性映射集吗 和 。特别,如果这些非线性映射指标预测,问题(7)减少到著名的MSFP [20.]。事实上,它可以制定为发现的问题 这样 在哪里和两个正整数, 如上所述, 和 两个类的非空的闭凸子集。
受上述作品的启发,我们旨在介绍和分析迭代方法求解MSCFP希尔伯特空间。我们首先研究demicontractive映射的若干性质,特别是找到直接的映射关系。利用这些特性,我们提出了一种新的迭代算法求解MSCFP,以及MSFP。在温和的条件下,我们得到的弱收敛算法。我们的结果扩展相关工作的情况下的多组两组。
2。初步
在整个论文中,假设 是真实的希尔伯特空间,表示其定点的一个映射 。下面的公式在随后的分析中起着重要的作用。
引理1(见[21])。让 和 。然后,
我们下一个回忆起几个重要的非线性映射的类的定义。
定义1(见[21])。让的一个映射成 。(我) 是扩张如果 (2) 坚定地扩张,如果 (3) 是 - - - - - -严格pseudocontractive 如果
定义2(见[21])。让 是一个映射 。(我) quasinonexpansive如果 (2) 是如果 (3) 是 - - - - - -demicontractive 如果
很明显,一个直接的映射 - - - - - -0-demicontractive demicontractive, quasinonexpansive映射。同样清楚的是,一个坚定地扩张映射的映射 - - - - - -严格pseudocontractive,而扩张映射0-strictly pseudocontractive。
众所周知,一个映射坚定地扩张映射当且仅当吗扩张(cf。21])。类似地,我们可以很容易地得到以下引理,提出了一种利用quasinonexpansive直接映射的特征映射。
引理2。一个映射当且仅当导演呢quasinonexpansive。
我们现在研究demicontractive映射的属性。
引理3(见[22])。让 是 - - - - - -demicontractive 与 。然后,下面。(我) ;(2) 。
引理4。为每一个 ,假设 是 - - - - - -demicontractive与 。让 ,在哪里 。如果非空的,那么
证明。我们第一次显示
。选择
。然后,
自任意选择的,是我们有什么
。
这就可以证明
。修复
并选择任何
。自
和是
- - - - - -demicontractive,我们有
因此,
。自
,我们有
对所有
。此外,由于是任意选择的,我们得到了什么
。因此,证据就完成了。
引理5。为每一个 ,假设 是 - - - - - -demicontractive与 。让 ,在哪里 。如果非空的,那么是导演。此外,如果 , demiclosed是0,那么也demiclosed 0。
证明。由引理4,我们有
。由引理2,这就可以证明
quasinonexpansive。为此,解决任何
。由引理1demicontractions的财产
因此
对所有
。然后,
因此,这意味着,quasinonexpansive吗是导演。
现在让我们证明第二个断言。由引理4,我们有
。让
是这样的,
和
作为
。修复
。自是
- - - - - -demicontractive,我们有
自
,我们有
,通过我们的假设,这意味着
对所有
,也就是说,
。由引理4,证明已经完成。
最后,我们结束本节通过回忆两个弱收敛定理的迭代方法近似的解决方案两套SCFP (1)。
定理1(见[10),定理3.1)。(假设和都是直接这样吗和都是demiclosed在0。然后,序列 ,由(7)和(8),收敛弱问题的解决方案(1)。
定理2(见[19),定理3.4)。假设和都是直接这样吗和都是demiclosed在0。然后,序列 ,由(5)和(6),收敛弱问题的解决方案(1)。
3所示。Demicontractive映射
在本节中,我们考虑的是多组分割常见的可行性问题,我们假设(7)是一致的,这意味着它的解集非空的。首先,出于(7)和(8),我们提出的第一个算法解决问题(7)。
算法1。让是任意的,选择 与 , 与 。鉴于 ,更新下一个迭代通过 在哪里 如果 ;否则,
定理3。假设和分别为和 - - - - - -demicontractive这样和在0 demiclosed 和 。然后,序列 ,由算法生成1,收敛弱的解决方案(7)。
证明。让 和 。因此,我们可以重写算法1作为 在哪里 如果 ;否则, 由引理5,和等都是导演吗和demiclosed在0。然后遵循从定理1那弱收敛于一个点满足 和 。此外,由引理4,我们得出这样的结论: 和 ,也就是说,是一个解决问题(7)。
算法2。让是任意的,选择 与 , 与 。鉴于 ,如果 然后停止;否则,下一次迭代通过更新 在哪里
定理4。假设和分别为和 - - - - - -demicontractive这样和在0 demiclosed 和 。然后,序列 ,由算法生成2,收敛弱的解决方案(7)。
证明。让 和 。因此,我们可以重写算法2作为 ,在哪里 由引理5,和等都是导演吗和demiclosed在0。然后遵循从定理2那弱收敛于一个点满足 和 。此外,由引理4,我们得出这样的结论: 和 ,也就是说,是一个解决问题(7)。
4所示。多组分离可行性问题
在本节中,我们之前的结果适用于多组分离可行性问题的近似解(MSFP)。此外,我们假设问题(8)是一致的,这意味着它的解集非空的。通过应用算法1,我们获得第一个算法求解(8)。
算法3。让是任意的,选择 与 , 与 。鉴于 ,更新下一个迭代通过 在哪里 如果 ;否则,
证明。只要注意到这两个和是 - - - - - -demicontractive,这意味着 对所有 。应用定理3收益预期的断言。
算法4。让是任意的,选择 与 , 与 。鉴于 ,如果 然后停止;否则,下一次迭代通过更新 在哪里
证明。只要注意到这两个和是 - - - - - -demicontractive,这意味着 对所有 。应用定理4收益预期的断言。
5。结论
在本文中,我们考虑MSCFP demicontractive每当涉及映射。我们获得几个demicontractive映射的性质,尤其是他们的连接直接映射。这些特性使我们能够提出一些新的迭代方法求解MSCFP,以及MSFP。在较弱的条件下,我们建立自己的弱收敛的方法。我们的结果扩展现有的作品多组的情况两组的情况。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项工作得到了国家自然科学基金(批准号12101286)。