文摘
本文的目的是采用细分搭配方法解决支流边值问题通过使用近似细分计划。本研究的主要目的是探索领域的细分方案的应用物理科学。我们的方法将问题转化为一组代数方程。数值近似问题的解决方案和绝对误差与现有的方法比较。比较表明,该方法比现有方法更能够准确的解决方案。
1。介绍
Liouville-Bratu-Gelfand方程的一般表达式(1,2]: 在参数 和是一个有限域。我们考虑支流的边值问题在一维平面坐标(2- - - - - -4)的形式 有条件的域
指数项保证非线性和分岔现象。特别是,一个可以验证以下不同的值 ,即。,problem (2)没有解决方案 ,独特的解决方案 ,和两个分叉的解决方案已经得到了 ,在哪里临界值作为吗 。的解决方案 。
在科学和工程,支流的问题常被用来描述复杂的物理和化学模型。例如,支流的问题是用于广泛的应用程序,包括热燃烧的燃料点火理论模型、热反应机理的模型,宇宙膨胀的钱德拉塞卡模型,化学反应理论,辐射传热,和纳米技术。
许多研究人员已经开发出分析和数值方法解决支流的问题,包括b样条方法(6),Adomian分解方法(7,8),切比雪夫多项式近似法(2),同伦分析方法(9),同伦摄动法(10,11],微分变换方法[12),拉普拉斯变换分解方法(13),加权残差法(14),和变分迭代法15,16]。此外,问题的解决方案已经被Jalilian报道(17)使用nonpolynomial样条方法,博伊德(18一点pseudospectral搭配方法,由Abbasbandy et al。19李群射击方法。
我们的目标是利用细分解决方案支流的问题。细分方案不常用算法找到边值问题的数值解。边值问题的近似解被subdivision-based发现算法。最初,这些算法是由曲和阿加瓦尔(20.,21]。其构造算法是基于一个插入的细分算法和制定只有二阶两点边值问题。在那之后,埃贾兹·等。[正在22,23)建立细分方案算法解边值问题的第三和第四。我们提出一个细分搭配算法求解支流的问题。
我们组织我们的论文在以下方法。节2,我们介绍一些重要的属性6个二进制近似细分计划。在第三节搭配,细分算法制定的解决方案(2)。该算法的收敛性和误差估计也在这一节中讨论。基于该算法的数值结果,与其他现有方法比较,并根据结果给出结论第四节。
2。细分方案和双刻度关系的衍生品
在本节中,我们定义了6个二进制近似细分方案(6 pbass) (24] 与 , , , , , ,在哪里和张力参数。6 pbass方案具有以下属性:(我)该计划(5)是 - - - - - -连续的 , 。(2)它支持宽度 。(3)其近似秩序是第四。(iv)其根本的解决方案是 它满足双刻度关系 在哪里的面具计划(5)。因为6 pbass - - - - - -连续的(24),所以它2-scale关系也 - - - - - -连续的。(v)第一,二阶导数的计算(7),我们采用类似的方法(22,23]。
前两个衍生品(7)给出了以下方程:
3所示。细分为支流收集算法的问题
在本节中,我们构造了一个细分搭配算法的解决方案(2),这是基于细分的根本解决方案及其衍生物。收敛性和误差估计结果也提出了在这一节中。
3.1。制定细分算法集合支流的问题
给出了该算法的细节如下:
让 是一个近似解(2),必须大于或等于4步长和被定义为 , ,在哪里 来 ,和是未知待定。从(10),我们得到
通过使用(10)和(11)(2),我们得到 在哪里 ,和条件给定的域(3)成为
方程的矩阵表示12)是 在哪里
因为系统(14方程)是欠定的因为它有少于未知数,所以它需要八个方程来得到一个独特的解决方案。两个条件(13)的领域(2),剩下的六个条件的细节在下一节中给出。
3.2。强制条件
我们需要得到一个独特的解决方案(六个条件14),所以我们将在左边构造三个条件,三个条件在正确的领域。自从6 pbass繁殖第三多项式近似四,所以新条件下的订单是4和这些条件被称为强制条件。让 和 代表左端点和右端点。这些左和右端点可以计算通过使用三次多项式,篡改数据 ,为 ,即。,left end conditions are obtained from 在哪里
因此,下列条件可以在左端和使用
同样,在右端,我们有以下条件:
最后,我们得到的系统 非线性方程组 或 在哪里 在哪里定义在(15),和约束如下:矩阵从定义的所有条件得到的左端域,即。获得前三行(21)和第四行获得(13) 。同样,矩阵获得从定义的所有条件在正确的领域,即。第一行来自于(13) 和剩余行来自(22)。因此,
3.3。迭代算法
找到方程的数值解的非线性系统(24),我们定义一个迭代算法。迭代算法包括以下步骤:(我)制定初步的解决方案:初始近似解选择找到以下系统: 在哪里 在哪里 。列向量是列向量的线性近似(27)。(2)迭代计划:以下迭代计划用于找到近似解 , (3)终止条件:以下条件用于停止迭代水平,对于任何 ;让 ,
3.4。收敛性和误差估计
在本节中,我们目前的结果提出了迭代算法的收敛性和误差估计。迭代算法的收敛性保证了以下命题。
命题1。的近似解由(28)和(30.)线性近似解收敛(24)与步长和李普希茨常量的假设 小,即
证明类似于(23]。
误差估计的主要结果是由下列命题。
定理1。让精确解 和得到解决(24)和四阶边界治疗终点。然后,我们有
4所示。数值例子和比较
前面所讨论的数字技术在本节说明了通过将细分收集算法应用到平面一维支流的问题(2三个不同的值 ,担保的存在两个本地独特的解决方案。我们创造了比较表使用 和3.51显示我们的方法的一致性的精确解相比,以及其他方法的解决方案。所有计算都使用MATLAB进行。(我)事实上关于支流的问题的解决方案 第三次迭代后,得到如表所示1。对比计算结果和绝对的错误我们收集细分算法和分解方法得到的(25]介绍了表2和3,分别。从表的结果,我们观察到的数值结果细分收集算法比分解方法(25]。(2)事实上关于支流的问题的解决方案 获得第五次迭代后,如表所示4。对比计算结果和绝对错误我们收集细分算法,得到的分解(25),和拉普拉斯方法(5]介绍了表5和6,分别。从表的结果,我们观察到的数值结果细分收集算法比(5,25]。(3)事实上关于支流的问题的解决方案 后获得42迭代,如表所示7。对比绝对错误得到我们细分收集算法和b样条6展示在表)方法8。从表的结果,我们观察到的数值结果细分收集算法提供更好的近似比6]。
5。结束语
在本文中,我们建立了细分搭配算法解决一维非线性支流的问题。细分收集算法得到的数值结果表明,该算法适用于近似解(2)。我们得出结论,计算结果收敛于精确解的小的步长。我们还提出了一个比较绝对错误的解决方案获得细分与分解方法收集算法(25],拉普拉斯方法[5和b样条方法6为不同的值) 。我们得出结论,我们的算法给小绝对误差与其他现有方法相比5,6,25]。
数据可用性
使用的数据来支持这个研究的发现在本文是可用的。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。