Pade方法施工部分初值问题的数值算法

文摘

在本文中,我们提出一个有效的方法构建数值算法求解分数初值问题通过使用Pade逼近分数阶微分算子。我们把Grunwald-Letnikov分数阶导数的泰勒级数和近似方程的泰勒级数Pade逼近。基于近似方程,构造相应的分级初值问题的数值算法。最后,我们用一些例子来说明该技术的适用性和有效性。

1。介绍

在过去的几十年中,分数微分方程被成功应用于许多工程问题,物理、化学、生物学、经济学、控制理论、生物物理学等1- - - - - -5]。它是重要的获得完全或部分非线性方程的数值解。因为大多数分数微分方程没有确切的分析解决方案,数字技术和seminumerical方法被广泛使用,比如同伦分析和同伦摄动法(6- - - - - -8),变分迭代法(9- - - - - -11),正交多项式方法(12,13),部分亚当斯法(14),和一些其他的方法(15]。

在所有的数值方法中,直接数值方法(16- - - - - -18)是最基本的一个。由于分数阶导数的特殊属性,这些方法有其内在的缺陷主要是由于Adomian多项式的计算,拉格朗日乘子,发散的结果,和其他一些巨大的计算工作。

在本文中,我们提出一个有效的方法构建数值算法求解分数初值问题通过使用Pade逼近分数阶微分算子。该技术的优点是,可以构造高效的数值方法没有长期的历史的分数阶导数的计算。

考虑下面的均匀部分最初的问题: 在哪里通常是卡普托导数和。给定的条件 ,卡普托导数等于Grunwald-Letnikov导数和Riemann-Liouville导数,例如,

下列线性非齐次分数初始问题, 下面的变换可以用来使它成为一个关于均匀 :

基于算法(19数值方案),我们有以下问题(1): 在哪里和根据不同的算法计算。算法5是一个易于操作的技术。然而,这种方法需要巨大的计算工作因为在一般情况下,这些方法需要计算许多术语得到分数阶导数的近似。在某种程度上,短期记忆原理(20.)可以用来解决这个问题,但低精度将成本。因此,重要的是找到一种有效的近似式的分数阶导数,计算成本低的一方面和高度精确的另一方面。在本文中,我们提出一个可靠的方法建设的数值算法求解分数微分初值问题通过使用Pade逼近分数微分算子。剩下的纸是组织如下。节2,我们简要列举一些Pade逼近的基础知识。节3,我们得到了分数导数的近似值。节4,我们提出一个方法构造算法求解部分使用Pade逼近初值问题。节5,我们用一些例子来说明该技术的适用性和有效性。部分6是结论。

2。Pade逼近的一些基本知识

在数值数学,Pade逼近21)被认为是一个函数的最佳逼近给定的理性功能秩序。在这种方法下,近似式的幂级数同意函数的幂级数近似。的Pade近似值经常给比删除其更好的近似函数的泰勒级数,它可能仍然工作在泰勒级数不收敛。由于这些原因,Pade近似值经常使用在许多领域的计算。

给定一个函数和两个整数和 ,Pade的近似值是有理函数它同意尽可能多的订单,数量

同样,如果麦克劳林级数展开,它的第一个将取消第一个条件方面, ,,因此。Pade的近似值是独一无二的和 ,也就是说,系数可唯一地确定。出于独特性,零级项的分母被选为1;否则,分子和分母是独特的,乘以一个常数。上面定义的Pade近似值也表示。

3所示。Pade分数导数算子近似式

分数阶导数的定义有很多。下面的方程叫做反向Grunwald-Letnikov导数: 在哪里

对于任何给定的 ,如果我们表示我们有

因此,我们可以表示

所以,我们有

让是 Pade近似式, ;我们有

因此,

替换在(16)操作符 ,我们有 1可以被理解为相同的操作符。所以,我们得到以下近似:

注意到(13),我们得到

因此,我们得到

然后,我们得到以下近似分数导数运算符:

考虑部分初值问题(1):

表示在哪里是离散化的步长。

从(21),我们有

由于运营商的线性和交换性和 ,我们有

注意到我们得到了

然后,我们得到以下数值算法:

这是一个多步骤的算法问题(1),年代和年代可以由Pade逼近的对于任何给定的。从施工过程,我们可以看到这个算法的局部截断误差。

4所示。一些隐式多步算法的部分初始值的问题

让 ;的Pade近似式,是和Pade近似式,是

然后,从(28),我们得到以下两个多步算法: 在这在这

以同样的方式,从下面Pade近似式, , 我们得到以下(算法(3)):

同样的,Pade近似式,是

所以,我们得到以下数值算法:

我们也可以得到以下算法通过使用[3 3]Pade近似值 : 和许多其他更复杂的数值方案可以通过使用构造Pade为任何给定的近似值。

5。数值测试

5.1。数值测试1

这个问题的精确解。我们使用算法(1)和(2)来解决这个问题。因为算法(1)和(2)是隐式的,我们使用迭代方法得到的值 ,在哪里算法1和算法2,分别。表中列出的计算错误1(h=(π/ 2)/ 10)。我们也比较算法(1)和(2)与图的精确解1。


x	1 h	2 h	3 h	4 h	5 h	6小时	7小时	8 h	9小时	10 h

算法(1)	0.000	0.000	0.0155	0.0318	0.0455	0.0575	0.0716	0.0992	0.0783	0.0069
算法(2)	0.000	0.000	0.000	0.0011	0.0028	0.0043	0.0049	0.0042	0.0211	0.0263

我们还与相应的比较算法。表中列出的结果2。比较表明,算法(1)和(2)比相应的Grunwald-Letnikov-based更有效率算法。


x	1 h	2 h	3 h	4 h	5 h	6小时	7小时	8 h	9小时	10 h

算法(1)	0.000	0.000	0.0155	0.0318	0.0455	0.0575	0.0716	0.0992	0.0783	0.0069
算法(2)	0.000	0.000	0.000	0.0011	0.0028	0.0043	0.0049	0.0042	0.0211	0.0263
- - - - - -algm	0.1232	0.1782	0.1642	0.2589	0.2529	0.2762	0.3856	0.3842	0.5485	0.5478

5.2。数值测试2

这个问题的精确解。我们使用以下算法(4) 和算法(5) 得到数值解。因为算法(4)和(5)是隐式的计划,我们使用迭代方法得到的值 ,在哪里 (4),在算法 (5)在算法。数值结果的错误列在表中3(h=(π/ 2)/ 10)。


x	1 h	2 h	3 h	4 h	5 h	6小时	7小时	8 h	9小时	10 h

算法(3)	0.000	0.000	0.0111	0.0123	0.0245	0.0267	0.0343	0.0355	0.0455	0.0058
算法(4)	0.000	0.000	0.0000	0.0009	0.0019	0.0038	0.0037	0.0042	0.0111	0.0165

与相应的比较算法是列在表中4。比较表明,算法(4)和(5)比相应的更有效率算法。


x	1 h	2 h	3 h	4 h	5 h	6小时	7小时	8 h	9小时	10 h

算法(1)	0.000	0.000	0.0155	0.0318	0.0455	0.0575	0.0716	0.0992	0.0783	0.0069
算法(2)	0.000	0.000	0.000	0.0011	0.0028	0.0043	0.0049	0.0042	0.0211	0.0263
G-algm	0.1255	0.1351	0.1385	0.1395	0.2452	0.2522	0.3836	0.3911	0.4263	0.5485

5.3。数值测试3

确切的解决方案是 ;我们使用算法5来解决这个问题。比较准确的和数值解图中可以看到2。一个可以看到数值解是非常准确 ,和获得的结果是小于50的步骤。这是更有效的比算法。

6。结论

我们可以构造数值算法求解基于Pade逼近零初值问题的分数微分算子。数值试验表明,该方法比相应的更有效率算法。一般来说,我们可以计算方面实现更多精度Grunwald-Letnikov-based方法时使用,但这将导致更多的计算工作,虽然来自Pade逼近的算法被证明是更有效的。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

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