JMATHgydF4y2Ba 数学杂志gydF4y2Ba 2314 - 4785gydF4y2Ba 2314 - 4629gydF4y2Ba HindawigydF4y2Ba 10.1155 / 2020/8964759gydF4y2Ba 8964759gydF4y2Ba 研究文章gydF4y2Ba Pade方法施工部分初值问题的数值算法gydF4y2Ba https://orcid.org/0000 - 0002 - 9546 - 462 xgydF4y2Ba 高gydF4y2Ba 冯gydF4y2Ba https://orcid.org/0000 - 0002 - 2532 - 6221gydF4y2Ba 气gydF4y2Ba 纯美少女gydF4y2Ba 王gydF4y2Ba 专业化gydF4y2Ba 学校的科学gydF4y2Ba 青岛科技大学gydF4y2Ba 青岛266033年gydF4y2Ba 中国gydF4y2Ba qust.edu.cngydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba 04gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 05年gydF4y2Ba 06gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 版权©2020峰高和纯美少女气。gydF4y2Ba 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。gydF4y2Ba

在本文中,我们提出一个有效的方法构建数值算法求解分数初值问题通过使用Pade逼近分数阶微分算子。我们把Grunwald-Letnikov分数阶导数的泰勒级数和近似方程的泰勒级数Pade逼近。基于近似方程,构造相应的分级初值问题的数值算法。最后,我们用一些例子来说明该技术的适用性和有效性。gydF4y2Ba

 1。介绍gydF4y2Ba

在过去的几十年中,分数微分方程被成功应用于许多工程问题,物理、化学、生物学、经济学、控制理论、生物物理学等gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba]。它是重要的获得完全或部分非线性方程的数值解。因为大多数分数微分方程没有确切的分析解决方案,数字技术和seminumerical方法被广泛使用,比如同伦分析和同伦摄动法(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba),变分迭代法(gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba),正交多项式方法(gydF4y2Ba 12gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 13gydF4y2Ba),部分亚当斯法(gydF4y2Ba 14gydF4y2Ba),和一些其他的方法(gydF4y2Ba 15gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

在所有的数值方法中,直接数值方法(gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 18gydF4y2Ba)是最基本的一个。由于分数阶导数的特殊属性,这些方法有其内在的缺陷主要是由于Adomian多项式的计算,拉格朗日乘子,发散的结果,和其他一些巨大的计算工作。gydF4y2Ba

在本文中,我们提出一个有效的方法构建数值算法求解分数初值问题通过使用Pade逼近分数阶微分算子。该技术的优点是,可以构造高效的数值方法没有长期的历史的分数阶导数的计算。gydF4y2Ba

考虑下面的均匀部分最初的问题:gydF4y2Ba (1)gydF4y2Ba DgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba αgydF4y2Ba ygydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba kgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba kgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba DgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 通常是卡普托导数和gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba =gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 。给定的条件gydF4y2Ba ygydF4y2Ba kgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba kgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,卡普托导数等于Grunwald-Letnikov导数和Riemann-Liouville导数,例如,gydF4y2Ba (2)gydF4y2Ba DgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba CgydF4y2Ba αgydF4y2Ba =gydF4y2Ba DgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba RLgydF4y2Ba αgydF4y2Ba =gydF4y2Ba DgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba GLgydF4y2Ba αgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

下列线性非齐次分数初始问题,gydF4y2Ba (3)gydF4y2Ba DgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba αgydF4y2Ba ygydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba kgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ygydF4y2Ba kgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba kgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 下面的变换可以用来使它成为一个关于均匀gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba :gydF4y2Ba (4)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba tgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba kgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ygydF4y2Ba kgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba tgydF4y2Ba kgydF4y2Ba +gydF4y2Ba zgydF4y2Ba tgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

基于gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 算法(gydF4y2Ba 19gydF4y2Ba数值方案),我们有以下问题(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba):gydF4y2Ba (5)gydF4y2Ba hgydF4y2Ba −gydF4y2Ba αgydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba jgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba NgydF4y2Ba cgydF4y2Ba ngydF4y2Ba jgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ygydF4y2Ba jgydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba tgydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba tgydF4y2Ba hgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba cgydF4y2Ba ngydF4y2Ba jgydF4y2Ba αgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba NgydF4y2Ba 根据不同的算法计算。算法5是一个易于操作的技术。然而,这种方法需要巨大的计算工作gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ≫gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 因为在一般情况下,这些方法需要计算许多术语得到分数阶导数的近似。在某种程度上,短期记忆原理(gydF4y2Ba 20.gydF4y2Ba)可以用来解决这个问题,但低精度将成本。因此,重要的是找到一种有效的近似式的分数阶导数,计算成本低的一方面和高度精确的另一方面。在本文中,我们提出一个可靠的方法建设的数值算法求解分数微分初值问题通过使用Pade逼近分数微分算子。剩下的纸是组织如下。节gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba,我们简要列举一些Pade逼近的基础知识。节gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba,我们得到了分数导数的近似值。节gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba,我们提出一个方法构造算法求解部分使用Pade逼近初值问题。节gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba,我们用一些例子来说明该技术的适用性和有效性。部分gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba是结论。gydF4y2Ba

 2。Pade逼近的一些基本知识gydF4y2Ba

在数值数学,Pade逼近gydF4y2Ba 21gydF4y2Ba)被认为是一个函数的最佳逼近给定的理性功能秩序。在这种方法下,近似式的幂级数同意函数的幂级数近似。的Pade近似值经常给比删除其更好的近似函数的泰勒级数,它可能仍然工作在泰勒级数不收敛。由于这些原因,Pade近似值经常使用在许多领域的计算。gydF4y2Ba

给定一个函数gydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 和两个整数gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba >gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ngydF4y2Ba >gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,Pade近似值gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 是有理函数gydF4y2Ba (6)gydF4y2Ba RgydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba jgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba jgydF4y2Ba xgydF4y2Ba jgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba kgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ngydF4y2Ba bgydF4y2Ba kgydF4y2Ba xgydF4y2Ba kgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 它同意gydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 尽可能多的订单,数量gydF4y2Ba (7)gydF4y2Ba fgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba RgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba RgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba RgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba fgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba RgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

同样,如果gydF4y2Ba RgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 麦克劳林级数展开,它的第一个gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 将取消第一个条件gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 方面,gydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,因此gydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba RgydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba OgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ngydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 。Pade的近似值是独一无二的gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,即系数gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ngydF4y2Ba 可唯一地确定。出于独特性,零级项的分母gydF4y2Ba RgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 被选为1;否则,分子和分母gydF4y2Ba RgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 是独特的,乘以一个常数。上面定义的Pade近似值也表示gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

 3所示。Pade分数导数算子近似式gydF4y2Ba

分数阶导数的定义有很多。下面的方程叫做反向Grunwald-Letnikov导数:gydF4y2Ba (8)gydF4y2Ba DgydF4y2Ba αgydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba limgydF4y2Ba hgydF4y2Ba ⟶gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba hgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ∞gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba hgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba (9)gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba αgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba αgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

对于任何给定的gydF4y2Ba αgydF4y2Ba >gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,如果我们表示gydF4y2Ba (10)gydF4y2Ba EgydF4y2Ba hgydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba hgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 我们有gydF4y2Ba (11)gydF4y2Ba DgydF4y2Ba αgydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ≈gydF4y2Ba hgydF4y2Ba −gydF4y2Ba αgydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba jgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ∞gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba jgydF4y2Ba αgydF4y2Ba jgydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba jgydF4y2Ba hgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

因此,我们可以表示gydF4y2Ba (12)gydF4y2Ba DgydF4y2Ba αgydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba hgydF4y2Ba −gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba αgydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

所以,我们有gydF4y2Ba (13)gydF4y2Ba hgydF4y2Ba αgydF4y2Ba DgydF4y2Ba αgydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba αgydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba (14)gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba ngydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba Pade近似式,gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba xgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ;我们有gydF4y2Ba (15)gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba ngydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba xgydF4y2Ba αgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ngydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

因此,gydF4y2Ba (16)gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ngydF4y2Ba xgydF4y2Ba ngydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba xgydF4y2Ba αgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba hgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ngydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

替换gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 在(gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba)操作符gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba ,我们有gydF4y2Ba (17)gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ngydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ngydF4y2Ba hgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ngydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ngydF4y2Ba hgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba αgydF4y2Ba +gydF4y2Ba OgydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ngydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 1可以被理解为相同的操作符。所以,我们得到以下近似:gydF4y2Ba (18)gydF4y2Ba hgydF4y2Ba −gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ngydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ngydF4y2Ba hgydF4y2Ba ≈gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ngydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ngydF4y2Ba hgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba αgydF4y2Ba hgydF4y2Ba −gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

注意到(gydF4y2Ba 13gydF4y2Ba),我们得到gydF4y2Ba (19)gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba αgydF4y2Ba =gydF4y2Ba hgydF4y2Ba αgydF4y2Ba DgydF4y2Ba αgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

因此,我们得到gydF4y2Ba (20)gydF4y2Ba hgydF4y2Ba −gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ngydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ngydF4y2Ba hgydF4y2Ba ≈gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ngydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ngydF4y2Ba hgydF4y2Ba DgydF4y2Ba αgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

然后,我们得到以下近似分数导数运算符:gydF4y2Ba (21)gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ngydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ngydF4y2Ba hgydF4y2Ba =gydF4y2Ba hgydF4y2Ba αgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ngydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ngydF4y2Ba hgydF4y2Ba DgydF4y2Ba αgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

考虑部分初值问题(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba):gydF4y2Ba (22)gydF4y2Ba DgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ygydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba tgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba kgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba kgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1。gydF4y2Ba

表示gydF4y2Ba (23)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba hgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba hgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 是离散化的步长。gydF4y2Ba

从(gydF4y2Ba 21gydF4y2Ba),我们有gydF4y2Ba (24)gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ngydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ngydF4y2Ba hgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba hgydF4y2Ba αgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba hgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ngydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ngydF4y2Ba hgydF4y2Ba DgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

由于运营商的线性和交换性gydF4y2Ba EgydF4y2Ba −gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba DgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ,我们有gydF4y2Ba (25)gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ygydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba hgydF4y2Ba αgydF4y2Ba DgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ngydF4y2Ba ygydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

注意到gydF4y2Ba (26)gydF4y2Ba DgydF4y2Ba αgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 我们得到了gydF4y2Ba (27)gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ygydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba hgydF4y2Ba αgydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ngydF4y2Ba fgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

然后,我们得到以下数值算法:gydF4y2Ba (28)gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba …gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ygydF4y2Ba 0gydF4y2Ba +gydF4y2Ba hgydF4y2Ba αgydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ngydF4y2Ba fgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

这是一个多步骤的算法问题(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba),gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba和gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba可以由Pade逼近的gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba xgydF4y2Ba αgydF4y2Ba 对于任何给定的gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 。从施工过程,我们可以看到这个算法的局部截断误差gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ngydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

 4所示。一些隐式多步算法的部分初始值的问题gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba αgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0.5gydF4y2Ba ;的gydF4y2Ba 2、2gydF4y2Ba Pade近似式,gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 0.5gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba (29)gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 20.gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 12gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 3,3gydF4y2Ba Pade近似式,gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 0.5gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba (30)gydF4y2Ba 64年gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 112年gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 56gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 64年gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 80年gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 24gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

然后,从(gydF4y2Ba 28gydF4y2Ba),我们得到以下两个多步算法:gydF4y2Ba (31)gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 20.gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 0.5gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 12gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在这gydF4y2Ba (32)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 05年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 算法gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 64年gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 112年gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 56gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba +gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 0.5gydF4y2Ba 64年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 80年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 24gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在这gydF4y2Ba (33)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 64年gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba +gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 0.5gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 64年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 算法gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

以同样的方式,从下面gydF4y2Ba 4,4gydF4y2Ba Pade近似式,gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 0.5gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (34)gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 27gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 15gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 32gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 256年gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 15gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 32gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 256年gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 4gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 我们得到以下(算法(3)):gydF4y2Ba (35)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 27gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 15gydF4y2Ba 32gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba 256年gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba +gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba +gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 0.5gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 15gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 32gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 256年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 算法gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

同样的,gydF4y2Ba 2、2gydF4y2Ba Pade近似式,gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 0.8gydF4y2Ba 是gydF4y2Ba (36)gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 21gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 50gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 50gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

所以,我们得到以下数值算法:gydF4y2Ba (37)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 21gydF4y2Ba 50gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 08年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 50gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 算法gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

我们也可以得到以下算法通过使用[3 3]Pade近似值gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 0.8gydF4y2Ba :gydF4y2Ba (38)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 3211年gydF4y2Ba 1680年gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 6479年gydF4y2Ba 6000年gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 3287年gydF4y2Ba 20000年gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba +gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 08年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1867年gydF4y2Ba 1680年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 3791年gydF4y2Ba 14000年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1943年gydF4y2Ba 420000年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 算法gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 和许多其他更复杂的数值方案可以通过使用构造Pade为任何给定的近似值gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

 5。数值测试gydF4y2Ba 5.1。数值测试1gydF4y2Ba

(39)gydF4y2Ba DgydF4y2Ba 0.5gydF4y2Ba ygydF4y2Ba =gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

这个问题的精确解gydF4y2Ba ygydF4y2Ba =gydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 。我们使用算法(1)和(2)来解决这个问题。因为算法(1)和(2)是隐式的,我们使用迭代方法gydF4y2Ba (40)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba ggydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 得到的值gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,在那里gydF4y2Ba (41)gydF4y2Ba ggydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 0.5gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 算法1和gydF4y2Ba (42)gydF4y2Ba ggydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 64年gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba +gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 0.5gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 64年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 算法2,分别。表中列出的计算错误gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba hgydF4y2Ba=(π/ 2)/ 10)。我们也比较算法(1)和(2)与图的精确解gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

算法计算错误(1)和(2)。gydF4y2Ba

xgydF4y2Ba 1 hgydF4y2Ba 2 hgydF4y2Ba 3 hgydF4y2Ba 4 hgydF4y2Ba 5 hgydF4y2Ba 6小时gydF4y2Ba 7小时gydF4y2Ba 8 hgydF4y2Ba 9小时gydF4y2Ba 10 hgydF4y2Ba
算法(1)gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.0155gydF4y2Ba 0.0318gydF4y2Ba 0.0455gydF4y2Ba 0.0575gydF4y2Ba 0.0716gydF4y2Ba 0.0992gydF4y2Ba 0.0783gydF4y2Ba 0.0069gydF4y2Ba
算法(2)gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.0011gydF4y2Ba 0.0028gydF4y2Ba 0.0043gydF4y2Ba 0.0049gydF4y2Ba 0.0042gydF4y2Ba 0.0211gydF4y2Ba 0.0263gydF4y2Ba

对比算法(1)和(2)的精确解。gydF4y2Ba

我们还与相应的比较gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 算法。表中列出的结果gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba。比较表明,算法(1)和(2)比相应的Grunwald-Letnikov-based更有效率gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 算法。gydF4y2Ba

计算的误差比较gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 算法。gydF4y2Ba

xgydF4y2Ba 1 hgydF4y2Ba 2 hgydF4y2Ba 3 hgydF4y2Ba 4 hgydF4y2Ba 5 hgydF4y2Ba 6小时gydF4y2Ba 7小时gydF4y2Ba 8 hgydF4y2Ba 9小时gydF4y2Ba 10 hgydF4y2Ba
算法(1)gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.0155gydF4y2Ba 0.0318gydF4y2Ba 0.0455gydF4y2Ba 0.0575gydF4y2Ba 0.0716gydF4y2Ba 0.0992gydF4y2Ba 0.0783gydF4y2Ba 0.0069gydF4y2Ba
算法(2)gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.0011gydF4y2Ba 0.0028gydF4y2Ba 0.0043gydF4y2Ba 0.0049gydF4y2Ba 0.0042gydF4y2Ba 0.0211gydF4y2Ba 0.0263gydF4y2Ba
GgydF4y2Ba -algmgydF4y2Ba 0.1232gydF4y2Ba 0.1782gydF4y2Ba 0.1642gydF4y2Ba 0.2589gydF4y2Ba 0.2529gydF4y2Ba 0.2762gydF4y2Ba 0.3856gydF4y2Ba 0.3842gydF4y2Ba 0.5485gydF4y2Ba 0.5478gydF4y2Ba
5.2。数值测试2gydF4y2Ba

(43)gydF4y2Ba DgydF4y2Ba 0.8gydF4y2Ba ygydF4y2Ba =gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 因为gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba πgydF4y2Ba 5gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba πgydF4y2Ba 5gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0。gydF4y2Ba

这个问题的精确解gydF4y2Ba ygydF4y2Ba =gydF4y2Ba 罪gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 。我们使用以下算法(4)gydF4y2Ba (44)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 21gydF4y2Ba 50gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 0.8gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 50gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 和算法(5)gydF4y2Ba (45)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 3211年gydF4y2Ba 1680年gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 6479年gydF4y2Ba 6000年gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 3287年gydF4y2Ba 20000年gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba +gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 0.8gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1867年gydF4y2Ba 1680年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 3791年gydF4y2Ba 14000年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1943年gydF4y2Ba 420000年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 得到数值解。因为算法(4)和(5)是隐式的计划,我们使用迭代方法gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba ggydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba 得到的值gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,在那里gydF4y2Ba (46)gydF4y2Ba ggydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 21gydF4y2Ba 50gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 08年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 50gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (4),在算法gydF4y2Ba (47)gydF4y2Ba ggydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba =gydF4y2Ba 3211年gydF4y2Ba 1680年gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 6479年gydF4y2Ba 6000年gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 3287年gydF4y2Ba 20000年gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba +gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 08年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1867年gydF4y2Ba 1680年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 3791年gydF4y2Ba 14000年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1943年gydF4y2Ba 420000年gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (5)在算法。数值结果的错误列在表中gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba(gydF4y2Ba hgydF4y2Ba=(π/ 2)/ 10)。gydF4y2Ba

计算错误的算法(3)和(4)。gydF4y2Ba

xgydF4y2Ba 1 hgydF4y2Ba 2 hgydF4y2Ba 3 hgydF4y2Ba 4 hgydF4y2Ba 5 hgydF4y2Ba 6小时gydF4y2Ba 7小时gydF4y2Ba 8 hgydF4y2Ba 9小时gydF4y2Ba 10 hgydF4y2Ba
算法(3)gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.0111gydF4y2Ba 0.0123gydF4y2Ba 0.0245gydF4y2Ba 0.0267gydF4y2Ba 0.0343gydF4y2Ba 0.0355gydF4y2Ba 0.0455gydF4y2Ba 0.0058gydF4y2Ba
算法(4)gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.0000gydF4y2Ba 0.0009gydF4y2Ba 0.0019gydF4y2Ba 0.0038gydF4y2Ba 0.0037gydF4y2Ba 0.0042gydF4y2Ba 0.0111gydF4y2Ba 0.0165gydF4y2Ba

与相应的比较gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 算法是列在表中gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba。比较表明,算法(4)和(5)比相应的更有效率gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 算法。gydF4y2Ba

比较与gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 算法。gydF4y2Ba

xgydF4y2Ba 1 hgydF4y2Ba 2 hgydF4y2Ba 3 hgydF4y2Ba 4 hgydF4y2Ba 5 hgydF4y2Ba 6小时gydF4y2Ba 7小时gydF4y2Ba 8 hgydF4y2Ba 9小时gydF4y2Ba 10 hgydF4y2Ba
算法(1)gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.0155gydF4y2Ba 0.0318gydF4y2Ba 0.0455gydF4y2Ba 0.0575gydF4y2Ba 0.0716gydF4y2Ba 0.0992gydF4y2Ba 0.0783gydF4y2Ba 0.0069gydF4y2Ba
算法(2)gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.000gydF4y2Ba 0.0011gydF4y2Ba 0.0028gydF4y2Ba 0.0043gydF4y2Ba 0.0049gydF4y2Ba 0.0042gydF4y2Ba 0.0211gydF4y2Ba 0.0263gydF4y2Ba
G-algmgydF4y2Ba 0.1255gydF4y2Ba 0.1351gydF4y2Ba 0.1385gydF4y2Ba 0.1395gydF4y2Ba 0.2452gydF4y2Ba 0.2522gydF4y2Ba 0.3836gydF4y2Ba 0.3911gydF4y2Ba 0.4263gydF4y2Ba 0.5485gydF4y2Ba
5.3。数值测试3gydF4y2Ba

(48)gydF4y2Ba DgydF4y2Ba 0.8gydF4y2Ba ygydF4y2Ba =gydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 0.8gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 5gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 4.2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0。gydF4y2Ba

确切的解决方案是gydF4y2Ba ygydF4y2Ba =gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 4gydF4y2Ba ;我们使用算法5来解决这个问题。比较准确的和数值解图中可以看到gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba。一个可以看到数值解是非常准确gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ≫gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 得到,结果在不到50步骤。这是更有效的比gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 算法。gydF4y2Ba

对比算法(5)和具体的解决方案。gydF4y2Ba

 6。结论gydF4y2Ba

我们可以构造数值算法求解基于Pade逼近零初值问题的分数微分算子。数值试验表明,该方法比相应的更有效率gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 算法。一般来说,我们可以计算方面实现更多精度Grunwald-Letnikov-based方法时使用,但这将导致更多的计算工作,虽然来自Pade逼近的算法被证明是更有效的。gydF4y2Ba

 数据可用性gydF4y2Ba

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。gydF4y2Ba

 的利益冲突gydF4y2Ba

作者宣称没有利益冲突。gydF4y2Ba

 埃姆斯gydF4y2Ba w·F。gydF4y2Ba 数学在科学和工程gydF4y2Ba 数学在科学和工程gydF4y2Ba 1999年gydF4y2Ba 荷兰阿姆斯特丹gydF4y2Ba 爱思唯尔gydF4y2Ba 10.1016 / s0076 - 5392 (13) 60011 - 9gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 85023057930gydF4y2Ba 帮助gydF4y2Ba R。gydF4y2Ba 分数阶微积分应用物理gydF4y2Ba 2000年gydF4y2Ba 新加坡gydF4y2Ba 世界科学出版公司gydF4y2Ba 麦茨勒gydF4y2Ba R。gydF4y2Ba KlaftergydF4y2Ba J。gydF4y2Ba 随机漫步的反常扩散指南:部分动力学方法gydF4y2Ba 物理的报告gydF4y2Ba 2000年gydF4y2Ba 339年gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 77年gydF4y2Ba 10.1016 / s0370 - 1573 (00) 00070 - 3gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0002641421gydF4y2Ba 王gydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba 徐gydF4y2Ba M。gydF4y2Ba 轴向库爱特流两种分数粘弹性流体在一个环gydF4y2Ba 非线性分析:现实世界的应用gydF4y2Ba 2009年gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 1087年gydF4y2Ba 1096年gydF4y2Ba 10.1016 / j.nonrwa.2007.11.027gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 56549125687gydF4y2Ba 江gydF4y2Ba X。gydF4y2Ba 余gydF4y2Ba x M。gydF4y2Ba 江gydF4y2Ba X。gydF4y2Ba 余gydF4y2Ba x M。gydF4y2Ba 部分反常扩散造成的瞬时点源在无序分形介质gydF4y2Ba 第四届国际会议在流体力学学报》上gydF4y2Ba 2004年gydF4y2Ba 大连,中国gydF4y2Ba Abdel-RehimgydF4y2Ba 大肠。gydF4y2Ba 部分扩散的基本解决方案和部分fokkerplanck方程gydF4y2Ba 埃及数学学会杂志》上gydF4y2Ba 2016年gydF4y2Ba 24gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 337年gydF4y2Ba 347年gydF4y2Ba 10.1016 / j.joems.2015.08.006gydF4y2Ba 努尔gydF4y2Ba m·A。gydF4y2Ba 一些迭代方法使用同伦摄动方法求解非线性方程gydF4y2Ba 国际计算机数学杂志》上gydF4y2Ba 2010年gydF4y2Ba 87年gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 141年gydF4y2Ba 149年gydF4y2Ba 10.1080 / 00207160801969513gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 74949114259gydF4y2Ba 汗gydF4y2Ba Y。gydF4y2Ba 吴gydF4y2Ba Q。gydF4y2Ba 同伦摄动非线性方程组变换方法使用他的多项式gydF4y2Ba 计算机和数学与应用程序gydF4y2Ba 2011年gydF4y2Ba 61年gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba 1963年gydF4y2Ba 1967年gydF4y2Ba 10.1016 / j.camwa.2010.08.022gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 79651475645gydF4y2Ba 他gydF4y2Ba 黄永发。gydF4y2Ba 变分迭代的分手方法的非线性分析技术:一些例子gydF4y2Ba 国际期刊的非线性力学gydF4y2Ba 1999年gydF4y2Ba 34gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 699年gydF4y2Ba 708年gydF4y2Ba 10.1016 / s0020 - 7462 (98) 00048 - 1gydF4y2Ba WazwazgydF4y2Ba a . M。gydF4y2Ba 分析的变分迭代方法治疗线性和非线性常微分方程gydF4y2Ba 应用数学和计算gydF4y2Ba 2009年gydF4y2Ba 212年gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 120年gydF4y2Ba 134年gydF4y2Ba 10.1016 / j.amc.2009.02.003gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 67349090339gydF4y2Ba YldrmgydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba 变分迭代方法modifed camassa-holm和degasperis-procesi方程gydF4y2Ba 国际期刊《生物医学工程中的数值方法gydF4y2Ba 2010年gydF4y2Ba 26gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 266年gydF4y2Ba 272年gydF4y2Ba 10.1002 / cnm.1154gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 77649179144gydF4y2Ba PodlubnygydF4y2Ba 我。gydF4y2Ba SkovranekgydF4y2Ba T。gydF4y2Ba DatskogydF4y2Ba B。gydF4y2Ba 最新进展为偏小数dikerential方程数值方法gydF4y2Ba 学报2014年15日国际喀尔巴阡控制会议(ICCC)gydF4y2Ba 2014年5月gydF4y2Ba Velke的卡,捷克共和国gydF4y2Ba 10.1109 / carpathiancc.2014.6843647gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84904489122gydF4y2Ba SaadatmandigydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba DehghangydF4y2Ba M。gydF4y2Ba 一个新的操作矩阵求解分数阶微分方程gydF4y2Ba 计算机和数学与应用程序gydF4y2Ba 2010年gydF4y2Ba 59gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 1326年gydF4y2Ba 1336年gydF4y2Ba 10.1016 / j.camwa.2009.07.006gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 74249095517gydF4y2Ba 凯gydF4y2Ba D。gydF4y2Ba 福特gydF4y2Ba n . J。gydF4y2Ba 释放gydF4y2Ba 答:D。gydF4y2Ba 为一个分数亚当斯方法详细的误差分析gydF4y2Ba 数值算法gydF4y2Ba 2004年gydF4y2Ba 36gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 31日gydF4y2Ba 52gydF4y2Ba 10.1023 / b: numa.0000027736.85078.begydF4y2Ba 2 - s2.0 - 4043121080gydF4y2Ba KilbasgydF4y2Ba 答:一个。gydF4y2Ba 斯利瓦斯塔瓦gydF4y2Ba h . M。gydF4y2Ba 特鲁希略gydF4y2Ba J·J。gydF4y2Ba 分数阶微分方程理论及应用gydF4y2Ba 北荷兰数学研究gydF4y2Ba 2006年gydF4y2Ba 荷兰阿姆斯特丹gydF4y2Ba 爱思唯尔gydF4y2Ba 10.1016 / s0304 - 0208 (06) x8001-5gydF4y2Ba 谢勒gydF4y2Ba R。gydF4y2Ba 卡拉gydF4y2Ba s . L。gydF4y2Ba 唐gydF4y2Ba Y。gydF4y2Ba 黄gydF4y2Ba J。gydF4y2Ba Grunwald-Letnikov分数微分方程的方法gydF4y2Ba 计算机和数学与应用程序gydF4y2Ba 2011年gydF4y2Ba 62年gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 902年gydF4y2Ba 917年gydF4y2Ba 10.1016 / j.camwa.2011.03.054gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 79960984884gydF4y2Ba 佩特拉gydF4y2Ba 我。gydF4y2Ba 部分衍生品,部分积分,并在MATLAB分数微分方程gydF4y2Ba 使用MATLAB工程教育和研究gydF4y2Ba 2011年gydF4y2Ba 英国伦敦gydF4y2Ba IntechOpengydF4y2Ba 10.5772/19412gydF4y2Ba g . Shchedrin n . Smith, a . Gladkina l·d·卡尔分级复合函数的导数:确切的结果和物理应用,2018年gydF4y2Ba PodlubnygydF4y2Ba 我。gydF4y2Ba 部分Dikerential方程gydF4y2Ba 1999年gydF4y2Ba 荷兰阿姆斯特丹gydF4y2Ba 爱思唯尔gydF4y2Ba 徐gydF4y2Ba Y。gydF4y2Ba 他gydF4y2Ba Z。gydF4y2Ba 短期记忆原理求解亚伯分数阶微分方程gydF4y2Ba 计算机和数学与应用程序gydF4y2Ba 2011年gydF4y2Ba 62年gydF4y2Ba 12gydF4y2Ba 4796年gydF4y2Ba 4805年gydF4y2Ba 10.1016 / j.camwa.2011.10.071gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 82255193938gydF4y2Ba 贝克gydF4y2Ba g。gydF4y2Ba GravesmorrisgydF4y2Ba P。gydF4y2Ba Pade近似值gydF4y2Ba 1996年gydF4y2Ba 第二个gydF4y2Ba 英国剑桥gydF4y2Ba 剑桥大学出版社gydF4y2Ba