关于广义舒尔数方程

摘要

让是正整数。根据定义,最小正整数是这样的吗 -区间着色 ,存在一个单色解 。为 ,这些数字 都是经典的舒尔数字。在本文中，我们研究了数字为 。

1.介绍

拉姆齐理论是一个在过去二十年里涌现出大量研究活动的领域，它研究的是在设定分割下如何保存财产。换句话说，给定一个特定的集合它有一个属性 ,这是真的吗被分割成有限多个子集，其中一个子集一定也有性质 吗?拉姆齐理论是以弗兰克·普朗普顿·拉姆齐和他在1928年证明的定理命名的。拉姆齐把他的基本定理表述在一个一般的背景下，并把它应用到形式逻辑中。舒尔(1和范德瓦尔登[2在数论中得到了类似的结果。:帝尔沃斯历史学的定理3.]是另一个典型的例子。拉姆齐定理应用到几何Erdős和Szekeres [4]。他们还定义了拉姆齐数并给出了它们的上界和下界。ramsy型定理在数学的不同分支如数论、集合论、几何、遍历理论和理论计算机科学中都有应用。在[5，已经显示了范德瓦尔登数的计算和命题理论之间的联系。使用这些连接，它们可以作为解决可满足性问题的基准。更多关于拉姆齐理论及其应用的信息，请参阅Graham等人的书，[6),调查Nešetřil [7]和Rosta [8]。有些令人惊讶的是，拉姆齐定理并不是现在被称为拉姆齐理论的第一个定理。被普遍接受为第一个ramsy型定理的结果是由Schur [1它处理整数的颜色:如果是否分割成有限数目的类，至少有一个分割类包含方程的解 。

现在让我们回顾一下[9]。一个区间 是集合的形式吗 ,在哪里 都是整数。

定义1。一个 -集合着色是一个函数 ,在哪里 。
事实上,一个r着色一组是一个分区成子集 ,通过关联子集与一组 。

定义2。一个颜色是单色的吗如果是常数 。
将特定的2色间隔表示为0和1的字符串通常比较方便。例如，着色 与 和 可以用字符串11100表示，或者 。正如我们之前提到的，拉姆齐理论最早的结果之一在1916年被Issai Schur证明。

定理1。(舒尔定理)。对于任何 ,存在一个最小正整数这样，对于任何 -着色的 ,存在一个单色解 。
这些数字被称为舒尔数。已知的舒尔数字是 , , ,和 。请注意,和在舒尔定理中不需要是明显的。如果我们需要的话和不同的是，得到的ramsy类型的陈述也是正确的。

定理2。为 ,存在一个最小整数这样,每 -着色的承认有单色的解决办法 与和是截然不同的。

众所周知，舒尔定理是拉姆齐定理的结果。在过去的几年里，关于舒尔定理和推广有许多有趣的结果被证明。一个三 自然数的三倍集合称为舒尔三倍集合 和 。让为任意二色中单色三色组的最小数目 。Graham等人[10找到下界 。他们使用了拉姆齐多重性结果[11,12，它说在每两个着色的边缘上的一个完整的图顶点，至少有 单色的三角形。回答在[10，罗伯逊和泽尔伯格[13]，单独来说，Schoen [14)表明, 。罗伯逊和Zeilberger发现了一种两色的 单色舒尔三元组，并提出了一个关于三元组最小数目的猜想。舍恩证明，每一个极值着色看起来都像罗伯逊-泽尔伯格的结构，他利用这个结果找到了确切的数字 ,为 。

我们可以从无和集的角度来看舒尔定理。一组 叫做无和如果 意味着 。舒尔函数定义为最大值 这样 可以分割成sum-free集。我们在这里提到对无和集的舒尔定理的推广:如果有限着色，是否存在任意大的有限集 这样的无和集合一个, 是单色的。请注意辛德曼定理[15时得到相同的结果是一个无限集。另一方面，Alekseev和Savchev [16[]考虑了一个类似的问题，并证明了对于每一个等数3着色(即。,a coloring in which different color classes have the same cardinality), the equation 有解决方案吗 ,和属于不同的颜色阶级。这样的解决方案将被称为彩虹解决方案。此外,Schonhei̇m [17证明了对于每三种颜色 ,每个颜色类的基数都大于 和方程 有彩虹的解决方案。此外，他还证明了这一点 是最优的。

现在我们回顾一下舒尔定理的另一个推广。让代表了方程 ,在哪里 是变量。

定理3。让 和, ,假设 。那么，存在一个最小正整数 这样,每 -着色的 ,有一个解决办法的颜色对于一些 。
就像舒尔定理，定理3.根据拉姆齐定理。这些数字 称为广义舒尔数。在[18]，作者确定了26个先前未知的值 并推测 , 。
在[9，我们考虑的单色解 。作为缩写，我们写而不是 。

定义3。为整数 ,让是最小的正整数 -着色的 ,存在一个单色解 。
这种单色解的存在性是由拉多定理所暗示的。

定理4。(雷达手表定理)。对于任何 ,存在这样,每 -着色的 ,线性方程有一个单色解 ,在哪里 为 ,当且仅当的某个非空子集和是0。

2.确切的价值

在本节中，我们将找到的精确值 。求任意特定ramsey型数的精确值的标准方法是表明某个数既是下界又是上界。我们可以用一个简单的例子来说明这一现象。我们会证明这一点 通过使用上述方法来证明 和 。

表明 ,它足以显示一个两色的无单色解不来 。其中一种着色方法是:为间隔着色和红色和彩色的间隔蓝色的。很容易看出，这种上色方式避免了任何单色的解决办法 。所有可能的解决方案见表1。

表明 ,我们必须证明每两种颜色承认有单色的解决办法 。使用红色和蓝色作为颜色，假设存在两种颜色的矛盾的无单色解不来 。自和不能是单色的，没有一般性，我们可以假设 红色和 蓝色的。因为这两个三元组都不是 , ,和可以是红色的，4 7 11一定是蓝色的。从这个，我们得到了那个是蓝色的，与我们的假设相矛盾。

求上界和下界的方法一般与上例中使用的方法相似。我们首先建立下界。

定理5。为 , 。

证明。让 。表明 ,只要找到一些2色的就足够了 不会产生单色溶液 。使用0和1作为颜色，检查着色是否正确是一项简单的任务不含单色溶液的 。因此, 。

定理6。为 , 。

证明。表明 ,我们必须证明每两种颜色 承认有单色的解决办法 。使用红色和蓝色作为颜色，假设存在两种颜色的矛盾的 无单色解不来 。自 和 不能是单色的，没有一般性，我们可以假设 红色和 蓝色的。因为这两个三元组都不是 , ,和 可以是红色, , ,和 必须是蓝色的。从这个，我们得到了那个 是蓝色的，与我们的假设相矛盾。

由定理5和6，我们有以下推论。

推论1。对所有 ,我们有 。

3.一般下界

首先,假设 。的着色显示, 。我们可以延伸到色彩获得, 。以这种方式继续，我们有以下内容。

定理7。对所有 , 。

证明。让 并承担 是一个 -着色的 无单色解不来 。定义一个 -着色 的 扩展如下。对所有 ,让 ,和所有 ,让 ,在哪里 (mod )。然后,不含单色溶液的 。因此,如果 ,然后 因此, 。我们现在用归纳法证明 。这显然是真的 。通过归纳假设， 为 ,的着色显示, 。我们可以把这个颜色扩展到获得 。同样,着色显示, 。以这种方式继续，我们可以很容易地检查它 。一般地，我们得到以下定理。

定理8。对所有 , 。

证明。让 并承担 是一个 -着色的 无单色解不来 。定义一个 -着色 的 扩展如下。对所有 ,让 ,和所有 ,让 ,在哪里 (mod )。然后,不含单色溶液的 。因此,如果 ,然后 因此, 。我们现在用归纳法证明 。这显然是真的 。通过归纳假设，

4.年代₂ 和

在本节中，我们将展示这一点 。的着色显示, 。我们现在展示另一个方向。

定理9。我们有 。

证明。表明 ,我们必须证明每三种颜色承认有单色的解决办法 。使用红，蓝，绿作为颜色，假设存在一个矛盾，即三色的无单色解不来 。自不能是单色的，没有一般性，我们可以假设 红色和 蓝色的。然后,是红色或绿色的。我们假设 红色，把其他情况留给读者。自那么不可能是红色的 蓝色或绿色的。如果 蓝色,然后 绿色,如果 绿色,然后 蓝色或绿色的。对于完整的解决方案，我们使用树表示(参见图)1和2)。

电脑搜索显示了这一点 ,根据上面的上界，我们得到了下面的式子。

定理10。我们有 。

5.结论的话

在本文中，我们得到了并找出两种颜色的情况下的确切值。此外，我们证明了这一点和分别等于得到的下界43和94。证明的一般公式是很有趣的 。看来, 。

数据可用性

没有数据支持这项研究。

的利益冲突

作者声明，他们没有利益冲突。

参考文献

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