raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

JMATH

数学杂志

2314 - 4785<我年代年代npub-type="ppub"> 2314 - 4629

Hindawi

10.1155 / 2020/7069730

7069730

研究文章

在方程的广义舒尔的数字<我nline-formula> x + 一个 y = z

https://orcid.org/0000 - 0001 - 5077 - 634 x

Khamseh

阿米尔

高

霁

数学系

Kharazmi大学

15719 - 14911年的德黑兰伊朗

khu.ac.ir

2020年

31日 5 2020年

2020年 09年 12 2019年 15 05年 2020年 31日 5 2020年

2020年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

让<我nline-formula> 一个和 r 是正整数。根据定义,<我nline-formula> 年代一个 r 是最小的正整数,对吗<我nline-formula> r 着色的间隔<我nline-formula> 1 , 年代一个 r 存在一个单色的解决方案<我nline-formula> x + 一个 y = z 。为<我nline-formula> 一个 = 1 ,数字<我nline-formula> 年代 r = 年代 1 r 是古典舒尔数字。在本文中,我们研究了数字<我nline-formula> 年代一个 r 为<我nline-formula> 一个 ≥ 2 。

1。介绍</t我tle> <p>拉姆齐理论,一个地区,一个引人注目的研究活动在过去的二十年,是研究保护下的属性集的分区。换句话说,给定一个特定的组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>这有一个属性<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,每当真的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>之一,是许多子集划分为有限子集也必须有财产吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>吗?拉姆齐理论命名弗兰克登拉姆齐和他的定理,证明了1928年。拉姆齐说他基本定理在一般环境和应用形式逻辑。舒尔(<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>]和范德Waerden [<xref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xref>]在数论获得类似的结果。:帝尔沃斯历史学的定理<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xref>为半序集)是另一个典型的例子。拉姆齐定理应用到几何Erdős和Szekeres [<xref ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xref>]。他们还定义了拉姆齐数字和给一些上界和下界。Ramsey-type定理应用在不同数学分支如数论、集合论、几何遍历性理论,理论计算机科学。在[<xref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xref>)之间的连接的计算van der Waerden数字和命题的理论已经被证明。使用这些连接,他们作为基准可满足性问题的解决者。拉姆齐理论及其应用,我们将《格雷厄姆et al ., (<xref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xref>),调查Nešetřil [<xref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xref>]和Rosta [<xref ref-type="bibr" rid="B8"> 8</xref>]。有点令人惊讶的是,拉姆齐定理并不是第一个定理在该地区现在被称为拉姆齐理论。结果被公认是第一个Ramsey-type定理是由于舒尔(<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>),它处理整数的色素:如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mi> ℕ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是划分为有限数量的类,至少一个分区类包含一个解决方程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>现在让我们谈谈细节问题的一些定义和符号(<xref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>]。一个区间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一组的形式<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>都是整数。</p><年代t一个tement id="deff1"> <title>定义1。</t我tle> <p>一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>颜色的一组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo> :</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>事实上,一个<我t一个lic> r</我t一个lic>着色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mi> χ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>一组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个分区<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>成<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>通过关联子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>与一组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> :</米米l:mo> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="deff2"> <title>定义2。</t我tle> <p>一个颜色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mi> χ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>单色一组吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mi> χ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是常数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>常方便代表一个特定2-coloring间隔作为字符串的0和1。例如,着色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo> :</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1、5</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>可以表示为字符串11100还是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。正如我们前面所提到的,最早的结果在拉姆齐理论证明Issai舒尔在1916年。</p></年代t一个tement> <statement id="thm1"> <title>定理1。</t我tle> <p>(舒尔定理)。对于任何<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,存在一个正整数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>这样,对于任何<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>着色的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>存在一个单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>这些数字<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被称为舒尔的数字。已知的舒尔数字<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 14</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 45</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。请注意,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>舒尔的定理不一定是截然不同的。如果我们要求<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是不同的,由此产生的Ramsey-type声明也是如此。</p></年代t一个tement> <statement id="thm2"> <title>定理2。</t我tle> <p>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,存在一个最小的整数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mprescripts></mml:mprescripts> <mml:none></mml:none> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mmultiscripts> </mml:math> </inline-formula>这样,每<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>着色的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>承认一个单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是截然不同的。</p></年代t一个tement> <p>众所周知,舒尔定理是拉姆齐定理的结果。有许多有趣的结果证明了在过去几年关于舒尔定理和概括。一个三<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>自然数的称为舒尔如果三倍<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是单色的最小数量在任何的2-coloring舒尔三元组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1、2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。格雷厄姆et al。<xref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>]找到了下界<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 38</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> O</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。他们用拉姆齐多样性的结果(<xref ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>],它说,在每个2-coloring边缘的一个完整的图形<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>顶点,至少有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 24</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> O</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>单色的三角形。回答问题(<xref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>],罗伯逊和Zeilberger [<xref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>),独立Schoen [<xref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xref>)表明,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> O</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。罗伯逊和Zeilberger发现2-coloring<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>单色舒尔三元组,制定一个猜想最小数量的三元组。Schoen显示每一个极值颜色看起来像Robertson-Zeilberger建设,他使用这个结果找到确切的数字<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 7</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,因为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> ≡</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 国防部</米米l:mi> <mml:mn> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>你可以看看舒尔定理sum-free集。一组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ⊆</米米l:mo> <mml:mi> ℕ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>被称为sum-free如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>意味着<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> ∉</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。舒尔函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>被定义为最大<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> ℕ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>这样<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1、2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>可以分割成<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>sum-free集。我们在这里提到的泛化舒尔sum-free集定理:如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mi> ℕ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是有限的,存在任意大有限集吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ⊆</米米l:mo> <mml:mi> ℕ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>这样sum-free组<我t一个lic> 一个</我t一个lic>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> :</米米l:mo> <mml:mi> B</米米l:mi> <mml:mo> ⊆</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> ∞</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是单色的。请注意,几何定理(<xref ref-type="bibr" rid="B15"> 15</xref>]给出了相同的结果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个无限集合。另一方面,Alekseev和Savchev<xref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xref>)被认为是类似的问题,证明了对于每个equinumerous三色的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>(即。,一个coloring in which different color classes have the same cardinality), the equation<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>有一个解决方案,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>属于不同的颜色类。这样的解决方案将被称为彩虹的解决方案。此外,Schonhei̇m [<xref ref-type="bibr" rid="B17"> 17</xref>证明每三色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,每一个颜色类基数大于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和方程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>有彩虹的解决方案。此外,他表明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>是最优的。</p><p>我们现在回忆舒尔定理的另一种泛化。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mi mathvariant="normal"> ℒ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>代表了方程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是变量。</p><年代t一个tement id="thm3"> <title>定理3。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。然后,存在一个最小正整数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>这样,每<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>着色的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,有一个解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mi mathvariant="normal"> ℒ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的颜色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>对于一些<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1、2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>正如舒尔的定理,定理<xref ref-type="statement" rid="thm3"> 3</xref>遵循从拉姆齐定理。这些数字<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被称为广义舒尔数字。在[<xref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xref>),作者确定26先前未知的值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和猜测,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>后一个问题提出(<xref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>),我们认为单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。缩写,我们写<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>而不是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="deff3"> <title>定义3。</t我tle> <p>为整数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mtext> 和</米米l:mtext> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是最小的正整数,对于任何<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>着色的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>存在一个单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>单色的解决方案的存在暗示了雷达手表定理。</p></年代t一个tement> <statement id="thm4"> <title>定理4。</t我tle> <p>(雷达手表定理)。对于任何<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,存在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>这样,每<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>着色的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,有一个单色解决线性方程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> ℤ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的,当且仅当一些非空的子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的金额为0。</p></年代t一个tement> </sec> <sec id="sec2"> <title>2。精确值的< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M123 " > < mml: msub > < mml: mrow > < mml: mi > s < / mml: mi > < / mml: mrow > < mml: mrow > < mml: mi > < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml: msub > < / mml:数学> < / inline-formula ></t我tle> <p>在本节中,我们找到的精确值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。标准的方法寻找任何特定Ramsey-type数的精确值是指一些服务作为一个下界和上界。我们用一个简单的例子来说明这一现象。我们将建立<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 11</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>通过使用上面的方法来证明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 11</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 11</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>表明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 11</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,它可以表现出一个2-coloring<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1,10</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>没有单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。其中一个颜色如下:颜色的间隔<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1、2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 9、10</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>红颜色的间隔<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3、8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>蓝色的。很容易看到这个颜色可以避免任何单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。对于所有可能的解决方案,见下表<xref ref-type="table" rid="tab1"> 1</xref>。</p><t一个ble-wrap id="tab1"> <label>表1</label> <p>所有的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在这一期间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1,10</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p><t一个ble> <thead> <tr> <th align="left">变量</th> <th align="center" colspan="20">值</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td align="left"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">1</td> <td align="center">2</td> <td align="center">1</td> <td align="center">3</td> <td align="center">2</td> <td align="center">4</td> <td align="center">1</td> <td align="center">3</td> <td align="center">5</td> <td align="center">2</td> <td align="center">4</td> <td align="center">6</td> <td align="center">1</td> <td align="center">3</td> <td align="center">5</td> <td align="center">7</td> <td align="center">2</td> <td align="center">4</td> <td align="center">6</td> <td align="center">8</td> </tr> <tr> <td align="left"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">1</td> <td align="center">1</td> <td align="center">2</td> <td align="center">1</td> <td align="center">2</td> <td align="center">1</td> <td align="center">3</td> <td align="center">2</td> <td align="center">1</td> <td align="center">3</td> <td align="center">2</td> <td align="center">1</td> <td align="center">4</td> <td align="center">3</td> <td align="center">2</td> <td align="center">1</td> <td align="center">4</td> <td align="center">3</td> <td align="center">2</td> <td align="center">1</td> </tr> <tr> <td align="left"> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">3</td> <td align="center">4</td> <td align="center">5</td> <td align="center">5</td> <td align="center">6</td> <td align="center">6</td> <td align="center">7</td> <td align="center">7</td> <td align="center">7</td> <td align="center">8</td> <td align="center">8</td> <td align="center">8</td> <td align="center">9</td> <td align="center">9</td> <td align="center">9</td> <td align="center">9</td> <td align="center">10</td> <td align="center">10</td> <td align="center">10</td> <td align="center">10</td> </tr> </tbody> </table> </table-wrap> <p>表明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 11</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,我们必须证明每2-coloring<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1、11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>承认一个单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。用红色和蓝色的颜色,假设,一个矛盾,存在一个2-coloring<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mi> χ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1、11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>没有单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1,1,3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3、3、9</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>不能单色,不失一般性,我们可以假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 9</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>红色和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>蓝色的。因为无论是三元组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1、4、9</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 7一9</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 9一11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>可以是红色,4、7和11必须是蓝色的。从这,我们有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3、4、11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是蓝色的,这与我们的假设。</p><p>的方法获得较低和上界一般类似于一个在上面的例子中使用。我们首先建立下界。</p><年代t一个tement id="thm5"> <title>定理5。</t我tle> <p>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。表明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,它可以找到一些2-coloring<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>收益率没有单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。使用0和1的颜色,这是一个简单的任务来检查着色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>不含单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="thm6"> <title>定理6。</t我tle> <p>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="proof2"> <title>证明。</t我tle> <p>表明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,我们必须证明每2-coloring<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>承认一个单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。用红色和蓝色的颜色,假设,一个矛盾,存在一个2-coloring<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mi> χ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>没有单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1,- 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>不能单色,不失一般性,我们可以假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>红色和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>蓝色的。因为无论是三元组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>可以是红色,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>必须是蓝色的。从这,我们有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是蓝色的,这与我们的假设。</p></年代t一个tement> <p>由定理<xref ref-type="statement" rid="thm5"> 5</xref>和<xref ref-type="statement" rid="thm6"> 6</xref>,我们有以下推论。</p><年代t一个tement id="coro1"> <title>推论1。</t我tle> <p>对所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,我们有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。一个通用的下界</t我tle> <p>首先,假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。的着色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 6</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>显示,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 11</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。一个可以扩展到着色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 6</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 6</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>获得,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 43</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。继续以这种方式,我们有以下。</p><年代t一个tement id="thm7"> <title>定理7。</t我tle> <p>对所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="proof3"> <title>证明。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>并承担<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo> :</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>着色的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>没有单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。定义一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>着色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> :</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1、4</米米l:mn> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1、4</米米l:mn> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>扩展<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mi> χ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>如下。对所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1、3</米米l:mn> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∪</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3、4</米米l:mn> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ≡</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>(mod<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>)。然后,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>不含单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。因此,如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。我们现在用归纳法证明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。这显然是真的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。现在,通过归纳假设,<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,着色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>显示,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。我们可以扩展这个颜色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>获得<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 7</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。同样,着色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 7</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>显示,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。继续以这种方式,我们可以很容易地检查<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。一般来说,我们获得以下定理。</p></年代t一个tement> <statement id="thm8"> <title>定理8。</t我tle> <p>对所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="proof5"> <title>证明。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>并承担<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo> :</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>着色的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>没有单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。定义一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>着色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mo> :</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>扩展<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mi> χ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>如下。对所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∪</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ≡</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>(mod<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>)。然后,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mo> ^</米米l:mo> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>不含单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。因此,如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。我们现在用归纳法证明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。这显然是真的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。现在,通过归纳假设,<disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。<斜体> s < /斜体> <子> 2 < /订阅> < inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M247 " > < mml: mfenced开放=”(“=”)“分隔符= " | " > < mml: mrow > < mml: mn > 3 < / mml: mn > < / mml: mrow > < / mml: mfenced > < mml:莫> = < / mml:莫> < mml: mn > 43 < / mml: mn > < / mml:数学> < / inline-formula >和< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M248 " > < mml: msub > < mml: mrow > < mml: mi > s < / mml: mi > < / mml: mrow > < mml: mrow > < mml: mn > 3 < / mml: mn > < / mml: mrow > < / mml: msub > < mml: mfenced开放=”(“=”)“分隔符= " | " > < mml: mrow > < mml: mn > 3 < / mml: mn > < / mml: mrow > < / mml: mfenced > < mml:莫> = < / mml:莫> < mml: mn > 94 < / mml: mn > < / mml:数学> < / inline-formula ></t我tle> <p>在本节中,我们证明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 43</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。的着色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 6</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 6</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>显示,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 43</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。我们现在展示另一个方向。</p><年代t一个tement id="thm9"> <title>定理9。</t我tle> <p>我们有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 43</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="proof6"> <title>证明。</t我tle> <p>表明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 43</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,我们必须证明每三色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1,43</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>承认一个单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。用红、蓝、绿颜色,假设,一个矛盾,存在一个三色<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:mi> χ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1,43</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>没有单色的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1,1,3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>不能单色,不失一般性,我们可以假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>红色和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>蓝色的。然后,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 9</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是红色或绿色。我们假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 9</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>红色和离开其他读者。自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1、9、11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>不能是红色,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>蓝色或绿色的。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>蓝色,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>绿色,如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>绿色,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M269"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>蓝色或绿色的。对于一个完整的解决方案,我们用树表示(见图<xref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</xref>和<xref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</xref>)。</p></年代t一个tement> <p>电脑搜索给我们看<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M270"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 94年</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>由上面的上限,因此,我们有以下。</p><fig id="fig1"> <label>图1</label> <p>树表示为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M271"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 9</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>红色的。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/jmath/2020/7069730.fig.001"></graphic> </fig> <fig id="fig2"> <label>图2</label> <p>树表示为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M272"> <mml:mi> χ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 9</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>绿色的。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/jmath/2020/7069730.fig.002"></graphic> </fig> <statement id="thm10"> <title>定理10。</t我tle> <p>我们有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M273"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 94年</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> </sec> <sec id="sec5"> <title>5。结论的话</t我tle> <p>在本文中,我们获得的下界<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M274"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>并找到确切的值的两种颜色。此外,我们表明,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M275"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M276"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>等于获得的下界43年至94年,分别。有趣的是证明的一般公式<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M277"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。看来,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M278"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代ec> <back> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</t我tle> <p>没有数据被用来支持本研究。</p></年代ec> <sec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</t我tle> <p>作者宣称没有利益冲突。</p></年代ec> <ref-list> <ref id="B1" content-type="article"> <label>1</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 舒尔</年代urname> <given-names> 我。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 超级死kongruenz<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M279"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≡</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 国防部</米米l:mi> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</一个rt我cle-title> <source> <italic> Jahresbericht der德国Mathematiker-Vereinigung</我t一个lic> <year> 1916年</year> <volume> 25</volume> <fpage> 114年</fpage> <lpage> 117年</lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> van der Waerden</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Beweis静脉baudetschen vermutung</一个rt我cle-title> <source> <italic> Nieuw Archief voor Wiskunde</我t一个lic> <year> 1927年</year> <volume> 15</volume> <fpage> 212年</fpage> <lpage> 216年</lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> :帝尔沃斯历史学</年代urname> <given-names> r P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 半序集的分解定理</一个rt我cle-title> <source> <italic> 上数学</我t一个lic> <year> 1950年</year> <volume> 51</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 161年</fpage> <lpage> 166年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2307 / 1969503</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Erdős</年代urname> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> Szekeres</年代urname> <given-names> G。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在几何组合问题</一个rt我cle-title> <source> <italic> Compositio Mathematica</我t一个lic> <year> 1935年</year> <volume> 2</volume> <fpage> 464年</fpage> <lpage> 470年</lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Dransfield</年代urname> <given-names> m·R。</given-names> </name> <name> <surname> 刘</年代urname> <given-names> l</given-names> </name> <name> <surname> Marek</年代urname> <given-names> 诉W。</given-names> </name> <name> <surname> Truszczyński</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 可满足性和计算van der Waerden数字</一个rt我cle-title> <source> <italic> 电子杂志的组合</我t一个lic> <year> 2004年</year> <volume> 11</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> R41</fpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.37236/1794</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="book"> <label>6</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 格雷厄姆</年代urname> <given-names> r . L。</given-names> </name> <name> <surname> 罗斯柴尔德</年代urname> <given-names> b . L。</given-names> </name> <name> <surname> 斯宾塞</年代urname> <given-names> j . H。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 拉姆齐理论</我t一个lic> <year> 1990年</year> <edition> 2日</edition> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</publisher-loc> <publisher-name> 约翰威利& Sons . n:行情)。</publisher-name> <comment> 在离散数学和优化Wiley-Interscience系列</comment> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="incollection"> <label>7</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Nešetřil</年代urname> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <person-group person-group-type="editor"> <name> <surname> 格雷厄姆</年代urname> <given-names> r . L。</given-names> </name> <name> <surname> Grotschel</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> Lovasz</年代urname> <given-names> l</given-names> </name> <etal></etal> </person-group> <article-title> 拉姆齐理论</一个rt我cle-title> <source> <italic> 手册的组合</我t一个lic> <year> 1995年</year> <volume> 1</volume> <issue> 2</我年代年代ue> <publisher-loc> 荷兰阿姆斯特丹</publisher-loc> <publisher-name> 爱思唯尔</publisher-name> <fpage> 1331年</fpage> <lpage> 1403年</lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rosta</年代urname> <given-names> V。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 拉姆齐理论应用</一个rt我cle-title> <source> <italic> 电子杂志的组合</我t一个lic> <year> 2004年</year> <volume> 1000年</volume> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.37236/34</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="book"> <label>9</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 乡下人</年代urname> <given-names> b . M。</given-names> </name> <name> <surname> 罗伯逊</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 拉姆齐理论的整数</我t一个lic> <year> 2004年</year> <publisher-loc> 普罗维登斯,美国国际扶轮</publisher-loc> <publisher-name> 美国数学学会</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 格雷厄姆</年代urname> <given-names> R。</given-names> </name> <name> <surname> Rodl</年代urname> <given-names> V。</given-names> </name> <name> <surname> Ruciński</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 舒尔随机的属性子集的整数</一个rt我cle-title> <source> <italic> 《数论</我t一个lic> <year> 1996年</year> <volume> 61年</volume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 388年</fpage> <lpage> 408年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1006 / jnth.1996.0155</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0030511137</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 毛刺</年代urname> <given-names> 美国一个。</given-names> </name> <name> <surname> Rosta</年代urname> <given-names> V。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在拉姆齐graphs-problems和最近结果的多样性</一个rt我cle-title> <source> <italic> 《图论</我t一个lic> <year> 1980年</year> <volume> 4</volume> <issue> 4</我年代年代ue> <fpage> 347年</fpage> <lpage> 361年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / jgt.3190040403</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0000748196</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>12</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 古德曼</年代urname> <given-names> 答:W。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在任何一方的熟人和陌生人</一个rt我cle-title> <source> <italic> 美国数学月刊</我t一个lic> <year> 1959年</year> <volume> 66年</volume> <issue> 9</我年代年代ue> <fpage> 778年</fpage> <lpage> 783年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 00029890.1959.11989408</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 罗伯逊</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> Zeilberger</年代urname> <given-names> D。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 的2-coloring<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M280"> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>可以有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M281"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> O</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>单色舒尔三元组,而不是更少</一个rt我cle-title> <source> <italic> 电子杂志的组合</我t一个lic> <year> 1998年</year> <volume> 5</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.37236/1357</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Schoen</年代urname> <given-names> T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 单色舒尔三元组的数量</一个rt我cle-title> <source> <italic> 欧洲杂志组合</我t一个lic> <year> 1999年</year> <volume> 20.</volume> <issue> 8</我年代年代ue> <fpage> 855年</fpage> <lpage> 866年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1006 / eujc.1999.0297</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0033269096</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 几何</年代urname> <given-names> N。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 细胞内有限的资金从序列的一个分区<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M282"> <mml:mi mathvariant="normal"> ℕ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</一个rt我cle-title> <source> <italic> 组合理论,杂志系列</我t一个lic> <year> 1974年</year> <volume> 17</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 1</fpage> <lpage> 11</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0097 - 3165 (74)90023 - 5</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0001805982</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Alekseev</年代urname> <given-names> 诉E。</given-names> </name> <name> <surname> Savchev</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 问题m . 1040</一个rt我cle-title> <source> <italic> Kvant</我t一个lic> <year> 1987年</year> <volume> 4</volume> <issue> 23</我年代年代ue> </element-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="incollection"> <label>17</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Schonheim</年代urname> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <person-group person-group-type="editor"> <name> <surname> Mollin</年代urname> <given-names> r。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 与没有分区的正整数<我t一个lic> x</我t一个lic>,<我t一个lic> y</我t一个lic>,<我t一个lic> z</我t一个lic>令人满意的,属于不同的类<我t一个lic> x</我t一个lic>+<我t一个lic> y</我t一个lic>=<我t一个lic> z</我t一个lic> </article-title> <source> <italic> 数论:学报Canadain数论协会的第一次会议举行的班夫中心,班夫,1988年4月17-27,阿尔伯塔省</我t一个lic> <year> 1990年</year> <publisher-loc> 柏林,德国</publisher-loc> <publisher-name> de Gruyter</publisher-name> <fpage> 515年</fpage> <lpage> 528年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1515 / 9783110848632 - 042</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>18</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 艾哈迈德</年代urname> <given-names> T。</given-names> </name> <name> <surname> Schaal</年代urname> <given-names> d . J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在广义舒尔数字</一个rt我cle-title> <source> <italic> 数学实验</我t一个lic> <year> 2016年</year> <volume> 25</volume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 213年</fpage> <lpage> 218年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 10586458.2015.1070776</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84959304793</pub-id> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>