可线性二阶常微分方程的点变换解的若干注记

摘要

微分方程到其他等价方程的变换在求解复杂方程的许多例程中起着核心作用。一类特别适合基于这种变换的解的微分方程是一类线性二阶常微分方程。这类诗有各种各样的特征。我们利用一个特殊的特征和扩展李群方法来构造所有二阶可线性常微分方程的一般解。这类方程的通解可以很容易地从通解通过一个点变换得到，这个点变换只使用方程的两个适当选择的对称。我们用三个例子来说明这种方法。

1.介绍

非线性ode出现在许多不同的环境中，包括作为现实世界现象的数学模型。许多这类方程的解析解往往很难找到，这就是为什么人们提出了一系列的方法来研究不同类型的非线性微分方程。这些方法包括Painlevé奇异性分析、Lie对称性分析、达布法、雅可比最后乘子法(见[1]及其中的参考文献)。基于连续点变换群下微分方程不变性的李对称方法得到了广泛的应用。对于一个微分方程，该方程的李点对称性可以用于对该方程执行许多操作，包括在可能的情况下构造显式变换，将方程简化为一个更简单的方程。当较简单的“目标”方程是一个线性方程时，这个问题称为线性化问题。在这方面的开创性工作，关于二级诗歌，归功于索菲斯·李(见[2和参考文献)。Lie证明了二阶ODE是可线性的，它的系数必须满足一个超定的条件[3.，4］．此后，人们对线性化问题进行了大量的研究[2，3.，5- - - - - -7]导致，特别是，以各种方式表征可线性二阶ode(参见，例如，定理8 [3.])。的定理8的缩小版本3.)。

定理1。让我们考虑这样的二阶标量ODE

以下语句等价于[3.]：（1)二阶标量方程(1)可以通过点变换线性化。（2）方程(1)具有最大的八维对称李代数。（3）方程(1)具有立方的导数形式的系数来满足两个不变条件（4）方程(1)有两个非交换对称和在合适的基础上对于任何非常函数使某一点的变量发生变化这让和它们的标准形式减少方程(1) 在哪里和是常数。

在本文中，我们利用表示法(6)构造所有可线性二阶ode的代理解。我们首先使用展开李群法来简化方程(6显著)。然后构造两点变换，用它们求出方程(6)从最简单的二阶ODE的解，自由粒子方程．任何给定的可线性二阶ODE的解现在可以从方程(6)，通过仅由方程的两个对称构造的点变换。我们通过三个例子来说明解决程序。

本文的其余部分组织如下。节2，我们利用展开的李群方法构造了一个点变换，使方程(6)变成更简单的方程。节3.，我们执行进一步的约简和映射方程(6)到自由粒子方程。我们随后推导了所有二阶可线性微分方程的一般解。节4，我们通过三个例子说明了如何从构造的泛解推导出任何线性二阶常微分方程的通解。我们在课上作总结5．

2.方程式(6)，通过展开李群方法

Lie对称法研究微分方程，是由Sophus Lie在19世纪后半叶提出的，它基于连续变换组，将一个给定的微分方程的解映射到同一方程的其他解。该方法扩展和协调了求解ode的各种专门方法。关于李对称法有大量的文献，我们建议感兴趣的读者去看看，例如，[4，8- - - - - -13］．

当我们考虑作用于变量扩展空间上的连续变换群时，它除了包含自变量和因变量外，还包含方程参数，我们得到了方程的一个扩展李群变换[14］．这样的一组变换代表了保留所研究的一类方程的等价群的一种特殊情况。

让我们取参数在方程(6)作为第二个自变量。现在，考虑一个单参数( ）中点变换的李群，对于一些功能，，和，用一个无穷小的生成器剩下方程(6)不变。方程(6)承认(7)如果满足不变性要求: 在哪里是第二次延期吗．我们得到，作为(9),

对应的一个参数( ）李群的变换是因此，在这个变换下，方程(6)必然成为

如果我们现在设置在转换(11) - (13)，等于零，方程(14)减少

显然,方程(15)映射回方程(6)，通过点变换(11) - (13), ，也就是说,

这意味着方程(15)映射为方程(6)经变换(16）.

3.减少(15)到自由粒子方程

我们寻求方程(15)，我们在这里在原始变量中重述和，自由粒子方程

我们利用这两个方程的对称李代数的等价性来构造点变换。

方程所承认的Lie点对称性(17)和(18) 分别。由(19)和(20.)是等价的，这意味着可以找到两个李代数具有相同交换子表的同构。我们可以重新安排运算符(19)，以形成新的基础这样具有相同的结构常数．下面的重排为由(19）：在哪里，，和是任意常数．我们现在寻找一个点变换映射方程(17)到式(18)的表格函数的和．根据[9),功能和一定是这样的条件吗感到满意。公式(24)转化为一个由16个初等线性偏微分方程组成的超定系统和．方程很容易求解，得到

的解(17)现在已从(18)，通过点变换(25）.我们获得或者,同样, 在哪里

一般方程的解(6)由点变换(16)及方程式(28)，以变量表示和方程(15）.它是在哪里

方程(30.)表示每个线性二阶常微分方程的方便解;在这种情况下，每个此类方程的通解可以从方程(30.)，通过仅使用根据定理选择的方程的两个适当对称构造的点变换1．

4.说明性的例子

例1。ODE 叫做修正的Emdem方程，它在各种情况下都会出现[1，允许最大8对称。在公认的对称中有两个非交换对称生成器满足条件(4)的定理1．对称(33)简化为它们的标准形式(5)，通过点变换在哪里和是任意常数(也请参见[3.])。在此下，点变换方程(32)可简化为式(6), 和，解在(30.)转化为是(的期望通解32）.

例2。考虑Kamke的第6.180号ODE [15]：该方程满足定理第3项的条件1因此允许最大8个李点对称，其中两个是这些无穷小对称满足条件(4从定理)1并且可以简化为它们的规范形式(5)，通过点变换在哪里和任意常数。在此下，变换方程(36)可简化为式(6), 和．的通解36)可以很容易地由公式(30.)以…的形式写的和通过点变换(38),和设置为和，分别。我们获得

例3。考虑[的p.100的可线性方程11]：的对称性被(40)及符合条件(14）.映射对称的点变换(41)改为标准形式(5)是这个变换也使方程(40)到式(6), 和．编写解决方案(31就…而言和通过点变换(42)和设置和，我们得到(40）：

5.结束语

二阶可线性ode有许多特性。一个重要的特征是每个这样的方程都可简化为一般的二阶ODE，方程(6)，通过由两个适当选择的对称构造的点变换。我们用展开的李群方法来简化方程(6)，通过构造一个点变换来设置参数在方程(6)为零。简化方程随后映射到自由粒子方程，，通过另一个可逆点变换来“对齐”两个方程的各自对称性。连续利用所构造的点变换得到方程(6)，它是所有可线性二阶微分方程的期望代理解。这允许在这类算法中使用方程的两个适当选择的对称来构造所有方程的解。我们已经用三个例子说明了解决程序。

数据可用性

没有数据支持这项研究。

的利益冲突

作者声明，本文的发表不存在利益冲突。

致谢

作者要感谢Walter Sisulu大学的研究发展和创新理事会持续的财政支持。

参考文献

M. Senthilvelan, V. K. Chandrasekar, R. Mohanasubha，“非线性常微分方程的对称性:修正的emden方程作为一个案例研究”Pramana-Journal物理(第85卷)5, pp. 755-787, 2015。视图:谷歌学者
M. Safdar, S. Ali, F. M. Mahomed，“四阶常微分方程组的线性化”，Pramana-Journal物理，第73卷，第2期。3，页581-594,2011。视图:谷歌学者
F. M. Mahomed，“常微分方程的对称群分类:一些结果综述”，应用科学中的数学方法，第30卷，页1995-2012,2007。视图:谷歌学者
f·施瓦兹求解常微分方程的算法谎言理论， Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, USA, 2008。
M. T. Mustafa和A. Y. Al-Dweik，“利用广义sundman变换将二阶常微分方程线性化为拉圭尔形式的Mara’beh，”对称性、可积性与几何:方法与应用，第9卷，第10页，2013。视图:谷歌学者
W. Nakpim和S. V. Meleshko，“二阶常微分方程的广义sundman变换线性化”，σ，第6卷，第4卷。51，第11页，2010。视图:谷歌学者
三阶常微分方程通过切线变换等价于线性二阶常微分方程符号计算杂志，第63-77页，2016。视图:谷歌学者
g·鲍曼微分方程的对称性分析2000年，德国柏林，施普林格。
布鲁曼和库梅，对称性与微分方程， Springer-Verlag，柏林，德国，1989。
b·j·坎特维尔对称分析导论杨晓明，《中国大学学报》，2002年第1期。
p . e . Hydon微分方程的对称方法:初学者指南张学良，《中国大学学报》，2000年第1期。
l . v . Ovsiannikov微分方程的群分析《科学》，北京:科学出版社，1982年。
p . j . Olver李群在微分方程中的应用，施普林格出版社，德国柏林，1993年。
G. I. Burde，“微分方程的展开李群变换与相似约简”，乌克兰国家科学院数学研究所学报，第43卷，no。1，页93-101,2002。视图:谷歌学者
e . KamkeDifferential-Gleichungen: Lösungsmethoden and Lösungen, I, Gewöhnliche Differential-Gleichungen， b·g·托布纳，莱比锡，德国，1977。

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