JMATHgydF4y2Ba 数学杂志gydF4y2Ba 2314 - 4785gydF4y2Ba 2314 - 4629gydF4y2Ba HindawigydF4y2Ba 10.1155 / 2020/2406961gydF4y2Ba 2406961gydF4y2Ba 研究文章gydF4y2Ba 一些言论Linearisable二阶常微分方程的解决方案通过点转换gydF4y2Ba https://orcid.org/0000 - 0002 - 2263 - 7286gydF4y2Ba SinkalagydF4y2Ba 冬天gydF4y2Ba 高gydF4y2Ba 霁gydF4y2Ba 数学科学与计算gydF4y2Ba 自然科学学院gydF4y2Ba 瓦尔特·西苏卢大学gydF4y2Ba 私人包X1gydF4y2Ba Mthatha 5117gydF4y2Ba 南非gydF4y2Ba wsu.ac.zagydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 29日gydF4y2Ba 03gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 18gydF4y2Ba 05年gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 版权©2020年冬季Sinkala。gydF4y2Ba 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。gydF4y2Ba

微分方程转换到其他等价方程发挥核心作用在许多例程求解复杂的方程。一类微分方程,特别适合解决方案技术基于转换的类linearisable二阶常微分方程(常微分方程)。有这样的常微分方程描述的各种特征。我们利用一个特定的描述和扩大李群方法构建一个通用的解决方案对所有linearisable二阶常微分方程。任何给定的方程的通解从这个类就可以轻松买到通用解决方案通过一个点变换构造仅使用两个适当选择方程的对称性。我们用三个例子说明这种方法。gydF4y2Ba

 瓦尔特·西苏卢大学的研究开发和创新gydF4y2Ba 1。介绍gydF4y2Ba

非线性常微分方程出现在许多不同的环境中,包括现实世界现象的数学模型。许多这类方程的解析解往往很难找到,这就是为什么提出了一系列的方法调查不同类型的非线性常微分方程。这些方法包括Painleve奇异分析,谎言对称性分析,规范法、和雅可比去年乘数法(见[gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba),在其中的引用)。谎言对称方法,它是基于微分方程的不变性在一组连续的转换,是广泛使用的。给定一个微分方程,方程的点对称可用于执行许多事情在方程包括建立显式的转换,减少方程更简单,当这是可能的。当简单的“目标”方程是一个线性方程,这个问题称为线性化问题。开创性的工作,对二阶常微分方程,是由于Sophus Lie发现(见[gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba)和引用在)。谎言证明,linearisable,最多二阶歌唱必须体积半线性,和系数必须满足一个超定的系统条件(gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba]。大量的研究已经进行线性化的问题gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba)领导,特别是各种各样的方式描述linearisable二阶常微分方程(见,例如,定理8的gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba])。一个缩小版的定理的8gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba本文介绍了]。gydF4y2Ba

定理1。gydF4y2Ba

让我们考虑一个标量形式的二阶的颂歌gydF4y2Ba (1)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

下面的语句是等价的(gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba]:gydF4y2Ba

一个标量二阶方程(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba)是通过一个点linearisable转换。gydF4y2Ba

方程(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba)最大的八维对称李代数。gydF4y2Ba

方程(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba)导数形式的立方gydF4y2Ba (2)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ygydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba +gydF4y2Ba BgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ygydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba CgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ygydF4y2Ba ′gydF4y2Ba +gydF4y2Ba DgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba

的系数gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 来gydF4y2Ba DgydF4y2Ba 满足两个不变的条件gydF4y2Ba (3)gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba xgydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba xgydF4y2Ba CgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ygydF4y2Ba DgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba CgydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba CgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ygydF4y2Ba −gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba DgydF4y2Ba ygydF4y2Ba +gydF4y2Ba BgydF4y2Ba CgydF4y2Ba ygydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba BgydF4y2Ba BgydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba BgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba xgydF4y2Ba DgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba BgydF4y2Ba ygydF4y2Ba DgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba DgydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba BgydF4y2Ba xgydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba CgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba BgydF4y2Ba DgydF4y2Ba ygydF4y2Ba +gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba DgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ygydF4y2Ba +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba CgydF4y2Ba CgydF4y2Ba ygydF4y2Ba −gydF4y2Ba CgydF4y2Ba BgydF4y2Ba xgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0。gydF4y2Ba

方程(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba)有两个noncommuting对称性gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 在一个合适的基础gydF4y2Ba (4)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba ρgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba

对于任何一个非常数的函数gydF4y2Ba ρgydF4y2Ba 这样一个点变化的变量gydF4y2Ba XgydF4y2Ba =gydF4y2Ba XgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba =gydF4y2Ba YgydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 这让gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 他们的规范形式gydF4y2Ba (5)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba XgydF4y2Ba +gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba

减少方程(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba (6)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba YgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba =gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 27gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba YgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 是常数。gydF4y2Ba

在本文中,我们利用表示(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)构建一个代理所有linearisable二阶常微分方程的解决方案。我们开始通过使用扩展李群方法简化方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba显著)。然后构造两个点转换和使用它们来恢复方程的通解(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)解决方案的最简单的二阶歌唱,自由粒子的方程gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。任何给定的解决方案linearisable二阶颂歌现在可以从方程的解决方案(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)以常规的方式通过一个点转换由只有两个方程的对称性。我们通过三个例子说明解决常规。gydF4y2Ba

剩下的纸是组织如下。节gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba,我们使用了李群方法构造一个点转换减少方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)一个简单的方程。节gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba,我们执行进一步的减少和映射方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba自由粒子方程)。我们随后演绎所有linearisable二阶常微分方程的通用解决方案。节gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba,我们通过三个例子说明如何的通解linearisable二阶颂歌可以推断从构建通用的解决方案。我们在部分为结束语gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

 2。减少方程(< xref ref-type =“disp-formula”掉= " EEq6 " > < / xref > 6日)通过扩大李群方法gydF4y2Ba

谎言对称方法研究微分方程,由索菲斯躺在十九世纪后期,是基于连续的转换组给定的微分方程解映射到其他解决方案相同的方程。方法扩展和内各种专门方法求解常微分方程。谎言有大量文献对称方法,我们感兴趣的读者参考,例如,(gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 13gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

当我们考虑一组连续的转换代理变量的扩展空间,包括方程参数除了独立和相关的变量,我们获得一个扩大李群变换方程(gydF4y2Ba 14gydF4y2Ba]。这样一群变换等价组的代表一个特定的情况下,保留了该类方程的研究。gydF4y2Ba

让我们把参数gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 在方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)作为一个独立的变量。现在,考虑一个单参数(gydF4y2Ba εgydF4y2Ba 李群点转换gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (7)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba εgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ggydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba εgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba =gydF4y2Ba hgydF4y2Ba bgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba εgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 对于一些功能gydF4y2Ba fgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ggydF4y2Ba ,gydF4y2Ba hgydF4y2Ba ,一个无限小的发电机的形式gydF4y2Ba (8)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ξgydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba XgydF4y2Ba +gydF4y2Ba τgydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba YgydF4y2Ba +gydF4y2Ba βgydF4y2Ba bgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 使方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)不变。方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)承认(gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba)如果gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 满足不变性要求:gydF4y2Ba (9)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 27gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba YgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba −gydF4y2Ba XgydF4y2Ba YgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 的第二个扩展吗gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 。我们获得一个特定的解决方案(gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba),gydF4y2Ba (10)gydF4y2Ba ξgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba τgydF4y2Ba =gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba XgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 6gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba XgydF4y2Ba −gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba βgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1。gydF4y2Ba

相应的单参数(gydF4y2Ba εgydF4y2Ba 李群的转换gydF4y2Ba (11)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba =gydF4y2Ba egydF4y2Ba εgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (12)gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba =gydF4y2Ba egydF4y2Ba εgydF4y2Ba /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba XgydF4y2Ba −gydF4y2Ba bgydF4y2Ba +gydF4y2Ba εgydF4y2Ba egydF4y2Ba εgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (13)gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba =gydF4y2Ba bgydF4y2Ba +gydF4y2Ba εgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 所以,在这个变换,方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)必然成为gydF4y2Ba (14)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba =gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 27gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

如果我们现在设置gydF4y2Ba εgydF4y2Ba =gydF4y2Ba −gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 在转换(gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba 13gydF4y2Ba),gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba 等于零,方程(gydF4y2Ba 14gydF4y2Ba)减少gydF4y2Ba (15)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba =gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

显然,方程(gydF4y2Ba 15gydF4y2Ba)是映射回方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba通过转换(点)gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba 13gydF4y2Ba),gydF4y2Ba εgydF4y2Ba =gydF4y2Ba −gydF4y2Ba bgydF4y2Ba ,也就是说,gydF4y2Ba (16)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba =gydF4y2Ba egydF4y2Ba −gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba =gydF4y2Ba egydF4y2Ba −gydF4y2Ba bgydF4y2Ba /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba YgydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

这意味着一个方程解(gydF4y2Ba 15gydF4y2Ba)映射到一个方程解(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba通过转换()gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

 3所示。减少(< xref ref-type =“disp-formula”掉= " EEq15 " > < / xref > 15日)自由粒子的方程gydF4y2Ba

我们寻求一个可逆的点之间的转换方程(gydF4y2Ba 15gydF4y2Ba),我们在这里重申在原来的变量gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (17)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba YgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba =gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 和自由粒子的方程gydF4y2Ba (18)gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba WgydF4y2Ba =gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ZgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

我们利用等效对称的两个方程的代数构造转换。gydF4y2Ba

谎言点对称承认由方程(gydF4y2Ba 17gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 18gydF4y2Ba)gydF4y2Ba (19)gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba XgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba XgydF4y2Ba +gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 4gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba XgydF4y2Ba −gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 5gydF4y2Ba =gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 4gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba XgydF4y2Ba +gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 6gydF4y2Ba =gydF4y2Ba YgydF4y2Ba XgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 7gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba XgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba XgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 8gydF4y2Ba =gydF4y2Ba YXgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba XgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (20)gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba 4gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba 5gydF4y2Ba =gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba 6gydF4y2Ba =gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba 7gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba WgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba +gydF4y2Ba WgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba 8gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba WgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba WgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 分别。李代数起源于(gydF4y2Ba 19gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 20.gydF4y2Ba)是等价的,这意味着一个同构导致相同的换向器表两个可以找到李代数。我们可以重新安排操作符(gydF4y2Ba 19gydF4y2Ba)形成一个新的基础gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 8gydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba (21)gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba jgydF4y2Ba =gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba kgydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba kgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba jgydF4y2Ba =gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba kgydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba kgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 与相同的结构常数gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba kgydF4y2Ba 。下面的重组提供所需的新的对称性引起的李代数的基础(gydF4y2Ba 19gydF4y2Ba):gydF4y2Ba (22)gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba γgydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 6gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba γgydF4y2Ba λgydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 8gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 4gydF4y2Ba =gydF4y2Ba λgydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 4gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 5gydF4y2Ba =gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 4gydF4y2Ba +gydF4y2Ba γgydF4y2Ba δgydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 8gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 6gydF4y2Ba =gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba λgydF4y2Ba +gydF4y2Ba δgydF4y2Ba γgydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 6gydF4y2Ba λgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 7gydF4y2Ba =gydF4y2Ba −gydF4y2Ba δgydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba λgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba δgydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 4gydF4y2Ba λgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 6gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba γgydF4y2Ba λgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba γgydF4y2Ba λgydF4y2Ba +gydF4y2Ba γgydF4y2Ba δgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 8gydF4y2Ba λgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 8gydF4y2Ba =gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba γgydF4y2Ba +gydF4y2Ba δgydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 5gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba ΦgydF4y2Ba 8gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba γgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba γgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba λgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba δgydF4y2Ba 有任意常数gydF4y2Ba λgydF4y2Ba γgydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。我们现在寻找一个点转换映射方程(gydF4y2Ba 17gydF4y2Ba)方程(gydF4y2Ba 18gydF4y2Ba)的形式gydF4y2Ba (23)gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba =gydF4y2Ba αgydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba WgydF4y2Ba =gydF4y2Ba βgydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 函数的gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba βgydF4y2Ba 。根据第六章的gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba),功能gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba βgydF4y2Ba 必须的条件吗gydF4y2Ba (24)gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba αgydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ΩgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba WgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ΓgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba βgydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 感到满意。方程(gydF4y2Ba 24gydF4y2Ba16)转化为一个超定的系统基本线性pd定义函数gydF4y2Ba αgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba βgydF4y2Ba 。方程很容易解决,我们获得gydF4y2Ba (25)gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba =gydF4y2Ba αgydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba γgydF4y2Ba YgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba WgydF4y2Ba =gydF4y2Ba βgydF4y2Ba XgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba =gydF4y2Ba δgydF4y2Ba λgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba γgydF4y2Ba λgydF4y2Ba YgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

解决方案(gydF4y2Ba 17gydF4y2Ba)现在恢复的解决方案(gydF4y2Ba 18gydF4y2Ba),gydF4y2Ba (26)gydF4y2Ba WgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba +gydF4y2Ba cgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 通过点变换(gydF4y2Ba 25gydF4y2Ba)。我们获得gydF4y2Ba (27)gydF4y2Ba δgydF4y2Ba λgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba γgydF4y2Ba λgydF4y2Ba YgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba γgydF4y2Ba YgydF4y2Ba +gydF4y2Ba cgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 或者,同样,gydF4y2Ba (28)gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba +gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba BgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba (29)gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba γgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba cgydF4y2Ba −gydF4y2Ba δgydF4y2Ba λgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba BgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba λgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

通用方程的解决方案(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)现在遵循从点转换(gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba)和方程(gydF4y2Ba 28gydF4y2Ba),所述的变量gydF4y2Ba XgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba YgydF4y2Ba ˜gydF4y2Ba 方程(gydF4y2Ba 15gydF4y2Ba)。它是gydF4y2Ba (30)gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba YgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba XgydF4y2Ba YgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba YgydF4y2Ba +gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba XgydF4y2Ba +gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba (31)gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba egydF4y2Ba bgydF4y2Ba BgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba egydF4y2Ba bgydF4y2Ba /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

方程(gydF4y2Ba 30.gydF4y2Ba)代表一个方便每个linearisable二阶常微分方程的解决方案;在这一点上,每一个这类方程的通解是可实现的,从方程(gydF4y2Ba 30.gydF4y2Ba)通过一个点变换构造仅使用两个适当选择方程的对称性定理gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

 4所示。说明性的例子gydF4y2Ba 例1。gydF4y2Ba

ODEgydF4y2Ba (32)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ygydF4y2Ba ′gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 3gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 叫做修改Emdem方程,它出现在各种语境下的(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba),承认最大8对称性。在承认对称两个noncommuting对称发电机gydF4y2Ba (33)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 满足条件(gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba)的定理gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba。对称(gydF4y2Ba 33gydF4y2Ba)减少他们的规范形式(gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba通过点转换)gydF4y2Ba (34)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba =gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba /gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba =gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba /gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 任意常数(也参见[gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba])。这下,点转换方程(gydF4y2Ba 32gydF4y2Ba)降低方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba),gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba =gydF4y2Ba −gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 和解决方案(gydF4y2Ba 30.gydF4y2Ba)转换成gydF4y2Ba (35)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba =gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 所需的通解(gydF4y2Ba 32gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

 例2。gydF4y2Ba

考虑颂歌6.180号Kamke [gydF4y2Ba 15gydF4y2Ba]:gydF4y2Ba (36)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ygydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ygydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ygydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0。gydF4y2Ba

这个方程满足定理3项条件gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba因此承认最大8点对称,两个的gydF4y2Ba (37)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ygydF4y2Ba −gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 。gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

这些无穷小对称性满足条件(gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba从定理)gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba并reduceable规范化形式(gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba通过点转换)gydF4y2Ba (38)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba =gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba =gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ygydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ygydF4y2Ba xgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ≠gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 任意常数。这下,转换方程(gydF4y2Ba 36gydF4y2Ba)降低方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba),gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba =gydF4y2Ba −gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。的通解(gydF4y2Ba 36gydF4y2Ba)现在是很容易从方程(gydF4y2Ba 30.gydF4y2Ba)写的gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 通过点变换(gydF4y2Ba 38gydF4y2Ba),gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 设置为gydF4y2Ba −gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,分别。我们获得gydF4y2Ba (39)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba =gydF4y2Ba xgydF4y2Ba kgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba kgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba −gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

例3。gydF4y2Ba

考虑在p linearisable方程。100 (gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba]:gydF4y2Ba (40)gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ′gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ′gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

的对称性gydF4y2Ba (41)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba xgydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba XgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ∂gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 承认了(gydF4y2Ba 40gydF4y2Ba)和满足条件(gydF4y2Ba 14gydF4y2Ba)。点转换映射对称性(gydF4y2Ba 41gydF4y2Ba)到他们的规范形式(gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba)是gydF4y2Ba (42)gydF4y2Ba XgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 2gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba YgydF4y2Ba =gydF4y2Ba xgydF4y2Ba ygydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

这种转变也会降低方程(gydF4y2Ba 40gydF4y2Ba)方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba),gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。编写解决方案(gydF4y2Ba 31日gydF4y2Ba)的gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba ygydF4y2Ba 通过点变换(gydF4y2Ba 42gydF4y2Ba)和设置gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba bgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,我们获得的解决方案(gydF4y2Ba 40gydF4y2Ba):gydF4y2Ba (43)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba =gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba +gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba JgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

5。结束语gydF4y2Ba

有许多linearisable二阶常微分方程的特征。一个重要的描述是,每一个这样的方程是reduceable通用二阶的颂歌,方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba),通过一个点变换由两个适当选择对称。我们使用了扩展李群方法简化方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)明显通过点变换构造设置参数gydF4y2Ba bgydF4y2Ba 在方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)为零。简化方程随后被映射到自由粒子的方程,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ′gydF4y2Ba ′gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 通过另一个可逆的点变换由“调整”各自的两个方程的对称性。连续使用点构造转换获得方程的通解(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba),这是所需的代理解决方案所有linearisable二阶微分方程。这允许建设解决方案的所有方程在这类算法只使用两个适当选择方程的对称性。我们有常规与三个例子说明了解决方案。gydF4y2Ba

 数据可用性gydF4y2Ba

没有数据被用来支持本研究。gydF4y2Ba

 的利益冲突gydF4y2Ba

作者宣称没有利益冲突有关的出版。gydF4y2Ba

 确认gydF4y2Ba

作者要感谢理事会瓦尔特·西苏卢大学研究开发和创新持续的金融支持。gydF4y2Ba

 SenthilvelangydF4y2Ba M。gydF4y2Ba ChandrasekargydF4y2Ba 诉K。gydF4y2Ba MohanasubhagydF4y2Ba R。gydF4y2Ba 非线性常微分方程的对称性:修改大白鹅方程作为一个案例研究gydF4y2Ba Pramana-Journal物理gydF4y2Ba 2015年gydF4y2Ba 85年gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 755年gydF4y2Ba 787年gydF4y2Ba SafdargydF4y2Ba M。gydF4y2Ba 阿里gydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba MahomedgydF4y2Ba f·M。gydF4y2Ba 四个二阶常微分方程组的线性化gydF4y2Ba Pramana-Journal物理gydF4y2Ba 2011年gydF4y2Ba 73年gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 581年gydF4y2Ba 594年gydF4y2Ba MahomedgydF4y2Ba f·M。gydF4y2Ba 常微分方程的对称群分类:调查的一些结果gydF4y2Ba 应用科学的数学方法gydF4y2Ba 2007年gydF4y2Ba 30.gydF4y2Ba 1995年gydF4y2Ba 2012年gydF4y2Ba 施瓦兹gydF4y2Ba F。gydF4y2Ba 算法是求解常微分方程的理论gydF4y2Ba 2008年gydF4y2Ba 美国佛罗里达州波卡拉顿的gydF4y2Ba 查普曼&大厅/ CRCgydF4y2Ba 穆斯塔法gydF4y2Ba m . T。gydF4y2Ba Al-DweikgydF4y2Ba a . Y。gydF4y2Ba 马拉'beh二阶常微分方程的线性化通过广义拉盖尔形式sundman转换gydF4y2Ba 可积性和几何对称性:σ方法和应用gydF4y2Ba 2013年gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba NakpimgydF4y2Ba W。gydF4y2Ba MeleshkogydF4y2Ba s V。gydF4y2Ba 二阶常微分方程的线性化广义sundman转换gydF4y2Ba σgydF4y2Ba 2010年gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba 51gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba NakpimgydF4y2Ba W。gydF4y2Ba 三阶常微分方程等价于线性二阶常微分方程通过正切变换gydF4y2Ba 杂志的符号计算gydF4y2Ba 2016年gydF4y2Ba 77年gydF4y2Ba 63年gydF4y2Ba 77年gydF4y2Ba 鲍曼gydF4y2Ba G。gydF4y2Ba 对称微分方程与数学分析gydF4y2Ba 2000年gydF4y2Ba 柏林,德国gydF4y2Ba 施普林格gydF4y2Ba BlumangydF4y2Ba g·W。gydF4y2Ba KumeigydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba 对称性和微分方程gydF4y2Ba 1989年gydF4y2Ba 柏林,德国gydF4y2Ba 斯普林格出版社gydF4y2Ba Cantwell教授gydF4y2Ba b . J。gydF4y2Ba 介绍对称分析gydF4y2Ba 2002年gydF4y2Ba 英国剑桥gydF4y2Ba 剑桥大学出版社gydF4y2Ba HydongydF4y2Ba p E。gydF4y2Ba 对称微分方程的方法:一个初学者的指南gydF4y2Ba 2000年gydF4y2Ba 英国剑桥gydF4y2Ba 剑桥大学出版社gydF4y2Ba OvsiannikovgydF4y2Ba l . V。gydF4y2Ba 组分析的微分方程gydF4y2Ba 1982年gydF4y2Ba 美国剑桥,马gydF4y2Ba 学术出版社gydF4y2Ba OlvergydF4y2Ba p . J。gydF4y2Ba 李群的应用微分方程gydF4y2Ba 1993年gydF4y2Ba 柏林,德国gydF4y2Ba 斯普林格出版社gydF4y2Ba ·gydF4y2Ba g . I。gydF4y2Ba 扩大了李群变换和相似度降低的微分方程gydF4y2Ba 数学学院院刊的NAS乌克兰gydF4y2Ba 2002年gydF4y2Ba 43gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 93年gydF4y2Ba 101年gydF4y2Ba KamkegydF4y2Ba E。gydF4y2Ba Differentialgleichungen: Losungsmethoden和Losungen, Gewohnliche Differential-GleichungengydF4y2Ba 1977年gydF4y2Ba 德国莱比锡gydF4y2Ba b . g . TeubnergydF4y2Ba