近似Reich-Suzuki类型扩张映射的不动点双曲空间

文摘

在这项工作中,我们证明一些强大和Δ收敛结果Reich-Suzuki类型扩张映射的映射米迭代的过程。一致凸双曲度量空间是用作基础设置我们的方法。我们还提供一个说明数值例子。我们的结果改进和扩展一些最近宣布的结果指标定点理论。

1。介绍

一个self-map在一个子集一个度量空间 如果存在一个常数称为收缩 这样对所有 由此可见, 。如果 对所有 ,然后被称为扩张。一个点 被称为定点的每当 。巴拿赫(1]定理(1922)指出,任何收缩映射完备度量空间上有一个独特的定点序列的极限皮卡德生成的迭代, 。1965年,柯克(2],布劳德[3],Gohde [4独立地证明任何自我扩张映射定义在有界闭凸子集一致凸的巴拿赫空间总有一个固定的点。现在,记住的一个自然的问题是,是否序列皮卡德的迭代收敛于一个自我扩张映射的不动点。这个问题的答案通常是负的。因此,有必要构建一些新的过程来克服这种情况下,为了获得一个更好的收敛速度,例如,曼(5],石川[6],努尔[7,年代8,阿巴斯和纳齐尔(9],Thakur et al。10)迭代过程通常被用来近似扩张映射的不动点。2008年,铃木11]介绍了弱扩张映射的概念:self-map在一个子集度量空间是铃木类型的扩张,如果每两个元素 在 , 拥有时 。很容易观察到,铃木类型扩张映射正确的类包括扩张映射的类。

铃木类型扩张映射的类被许多作者(cf广泛的研究。10,12- - - - - -21])。最近,裤子和Pandey22]介绍了Reich-Suzuki类型扩张映射反过来包括铃木的类类型扩张映射的映射。

定义1。(见[22])。让是一个非空的度量空间的子集。一幅地图 据说Reich-Suzuki如果所有类型扩张 ,有一个常数 这样 近似的扩张映射的不动点和广义扩张映射是一个活跃的研究领域的(23- - - - - -27]。最近,裤子和Pandey [22)使用Thakur et al。10)的近似不动点迭代过程Reich-Suzuki扩张映射的映射类型。本文的目的是证明强大Reich-Suzuki类型扩张映射的映射下的收敛结果米迭代过程(12),这是众所周知的,收敛速度比Thakur et al。10迭代过程。通过这种方式,我们改进和扩展到许多当前文献的结果。
Kohlenbach [28提出广义度量空间的概念和所谓的双曲度量空间。这种类型的度量空间包括赋范空间、双曲线的希尔伯特球度规,笛卡尔希尔伯特球,产品指标树,阿达玛复写,猫的格罗莫夫(0)空间。给出的定义如下:
一个三联体 被称为双曲度量空间时 是一个度量空间, 是一个函数,这样对吗 和 ,下列条件。( ) ( ) ( ) ( ) 一组 被称为度量线段端点一个和b。在,我们会写 。一个子集的被称为凸提供吗 ,对于每一个 和 。当没有歧义,我们将编写 为 。

定义2。让 是一个双曲度量空间。对于任何 和 。集 我们说均匀凸时 ,对于每一个 和 。

定义3。(见[29日,30.])。双曲度量空间 据说是严格凸提供每 和 这样 遵循的条件 。由(30.),每一个一致凸的双曲严格凸度量空间。
最近,Ullah和艾尔沙德(12]介绍了 - - - - - -迭代过程在巴拿赫空间中。双曲空间的版本迭代过程读取如下: 在哪里是一个序列 。Ullah和艾尔沙德12证明一些弱和强收敛的结果迭代过程为铃木类型扩张映射的巴拿赫空间。Ullah et al。31日)扩展的结果Ullah和艾尔沙德12]猫(0)空间的设置。在本文中,我们研究米迭代过程Reich-Suzuki类型扩张映射双曲空间的设置。

2。预赛

让是一个非空的双曲度量空间的子集 和是一个有界序列X。为每一个 ,定义(我)渐近的半径在一个作为 (2)渐近的半径相对于B作为 (3)渐近的中心相对于通过

我们知道,在一个完整的双曲空间单调统一的凸性模量,每一个有界序列有一个独特的渐近中心对每个非空的闭凸子集的 。

定义4。(见[32])。假设是一个有界序列在双曲空间 。然后,据说是 - - - - - -收敛一点 ,如果年代每个子序列是一个独特的渐近中心的 。
下面的引理给出了许多数字帝国铃木类型扩张映射的映射。

引理1(见[22])。让是一个非空的双曲空间的子集 。如果铃木扩张映射,那么是Reich-Suzuki类型和不断扩张吗 。
定点设置Reich-Suzuki结构类型地图如下。

引理2(见[22])。让是一个非空的双曲空间的子集 。如果是Reich-Suzuki类型扩张呢是关闭的。此外,如果空间严格凸,准备好了吗是凸的,那么也是凸。

引理3(见[22])。让是一个非空的双曲度量空间的子集 是一种Reich-Suzuki扩张。然后,对于每一个 和 ,这意味着 。

引理4(见[22])。让是一个非空的双曲度量空间的子集 是一种Reich-Suzuki扩张。然后,对所有 ,由此可见,

引理5(见[33])。让 是一个完整的双曲空间单调统一的凸性和模量 。如果 和 , 序列在这样 , ,和 对于一些 ,然后 。

3所示。在双曲空间收敛结果

在本节中,这封信将代表一个双曲空间单调统一的凸性模量。

引理6。让是一个非空的闭凸子集 。让 Reich-Suzuki类型扩张映射图 。让生成的序列(3)。然后, 存在 。

证明。让 。由引理3,我们有 因此,序列 下面有界和减少。因此, 存在 。
下面的定理将用于即将到来的结果。

定理1。让是一个非空的闭凸子集,让 是一个Reich-Suzuki扩张映射类型。让被定义的序列(3)。然后, 当且仅当是有界的, 。

证明。我们假设是有界的, 。让 。我们将证明 。由引理4,我们有 因此, 和 是单例集合。我们必须有吗 。因此, 。
相反,我们假设 和 。我们将证明是有界的, 。由引理6, 存在,是有界的。把 从引理的证明6,接下去 由引理3,我们有 从引理的证明6,接下去 从(12)和(15),我们得到 从(16),我们有 现在从(10),(13)和(17)一起引理5,我们获得 的收敛结果如下。

定理2。让是一个非空的闭凸子集 。如果 是一种Reich-Suzuki扩张映射 ,然后被定义为(3)。收敛于一个元素的 。

证明。由定理1,序列是有界的。因此,人们可以找到一个 - - - - - -收敛的子序列 。接下来,我们的目标是证明 - - - - - -收敛的子序列有一个独特的限制的设置 。为了这个目的,我们假设有两个 - - - - - -收敛的子序列,即和 ,与限制和 ,分别。针对定理1,序列是有界的, 。我们声称 。现在, 利用引理4,我们有 因为的渐近中心有一个独特的元素, 。同样的, 。独特性的渐近一个序列的中心,我们有 这是一个矛盾。因此,达成的结论。
现在,我们建立一个强大的收敛定理Reich-Suzuki类型扩张映射地图使用迭代法(3)。

定理3。让是一个非空的紧凑的凸子集和 Reich-Suzuki类型扩张映射图 。如果是由(3),然后是收敛的强烈的不动点 。

证明。由定理1, 。的紧性假设,存在一个子序列的这样强烈收敛一些在 。由引理4,我们有 通过限制在度量空间的独特性,我们必须 。由引理6, 存在,因此的强极限吗 。

例1。让 是的一个子集具有一般的度量, 。定义 通过 这里,首先我们应当显示映射不是铃木扩张映射类型。为此,我们选择 和 。简单的计算给 接下来,我们将显示映射是扩张Reich-Suzuki类型。为此,我们选择 。我们考虑不同情况下如下考虑。

案例1。为 ,我们有

例2。为 ,我们有

例3。为 和 ,我们有

例4。为 和 ,我们有

例5。为 和 ,我们有 因此,是Reich-Suzuki类型扩张映射 。集 。因此,定理的要求2是能够实现的。现在,定理的结论2和3是达到了。然而,我们不能直接应用任何导致(9,10,14,16,17,19- - - - - -22,34)和引用引用其中,因为在这种情况下,不是铃木类型扩张映射的映射。
为下一个强烈的收敛效果,紧性假设是没有必要的;然而,下面的条件将被添加。

定义5。让是一个非空的子集 。一个序列在被称为Fejer单调对吗 ,如果 一个映射 据说满足条件(35如果一个可以构造一个不减少的功能 与属性 和 对于每一个 这样 为每一个 。
以下事实可以在[34]。

命题1。让是一个非空的封闭的子集 。让是一个Fejer单调序列有关 。然后,强烈收敛一些的当且仅当 。

定理4。让是一个非空的闭凸子集和 一种广义Reich-Suzuki扩张映射 。如果满足条件(I)由(3)收敛强烈的不动点 。

证明。从定理1,我们有 自映射满足条件 ,由此可见, 由引理2,一组是关闭的。它遵循从引理6那Fejer单调序列对设置 。这个结论是基于命题1。

4所示。结论

(1)我们的结果扩展的相应结果Ullah和艾尔沙德12)在两个方面:(1)从铃木类型扩张映射的类映射到类的Reich-Suzuki类型扩张映射地图和(2)从巴拿赫空间一般双曲空间的设置。(2)我们的研究结果扩展Ullah等的相应结果。31日)在两个方面:(1)从铃木类型扩张映射的类映射到类的Reich-Suzuki类型扩张映射地图和(2)从猫(0)空间一般双曲空间的设置。(3)我们的结果还扩展和改善中相应的结果证明(9,10,14,16,17,19- - - - - -22,34)和引用引用。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

作者的贡献

所有作者的贡献同样显著,在写这篇文章。所有作者阅读和批准最终的手稿。

确认

作者感谢西班牙政府授予rti2018 - 094336 b - i00 (MCIU / AEI /菲德尔,问题)和格兰特IT1207-19巴斯克政府。