raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

JMATH

数学杂志

2314 - 4785 2314 - 4629

Hindawi

10.1155 / 2020/2169652

2169652

研究文章

近似Reich-Suzuki类型扩张映射的不动点双曲空间

Ullah

Kifayat

https://orcid.org/0000 - 0002 - 8119 - 9546

艾哈迈德

Junaid

https://orcid.org/0000 - 0001 - 9320 - 9433

De La森

曼努埃尔

² 汗

默罕默德Naveed

¹ Jaballah

阿里

^{1

数学系

科技大学

28100年本努

开伯尔-普赫图赫瓦省

巴基斯坦

ustb.edu.pk} ^{2

研究所的研究和开发的过程

巴斯克地区大学

校园Leioa (Bizkaia)

644 -毕尔巴鄂信箱

地方行政区域Sarriena

Leioa 48940

西班牙

ehu.eus}

2020年

22 7 2020年

2020年 25 05年 2020年 17 06 2020年 24 06 2020年 22 7 2020年

2020年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

在这项工作中,我们证明一些强大和Δ收敛结果Reich-Suzuki类型扩张映射的映射<我t一个l我c>米迭代的过程。一致凸双曲度量空间是用作基础设置我们的方法。我们还提供一个说明数值例子。我们的结果改进和扩展一些最近宣布的结果指标定点理论。

西班牙政府

rti2018 - 094336 b - i00

巴斯克政府

IT1207-19

1。介绍</t我tle> <p>一个self-map<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>在一个子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>一个度量空间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>如果存在一个常数称为收缩<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mi> θ</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>这样对所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>由此可见,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> θ</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>被称为扩张。一个点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>被称为定点的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>每当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。巴拿赫(<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>]定理(1922)指出,任何收缩映射<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>完备度量空间上有一个独特的定点序列的极限<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>皮卡德生成的迭代,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。1965年,柯克(<xref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xref>],布劳德[<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xref>],Gohde [<xref ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xref>独立地证明任何自我扩张映射<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>定义在有界闭凸子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>一致凸的巴拿赫空间总有一个固定的点。现在,记住的一个自然的问题是,是否序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>皮卡德的迭代收敛于一个自我扩张映射的不动点。这个问题的答案通常是负的。因此,有必要构建一些新的过程来克服这种情况下,为了获得一个更好的收敛速度,例如,曼(<xref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xref>],石川[<xref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xref>],努尔[<xref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xref>,年代<xref ref-type="bibr" rid="B8"> 8</xref>,阿巴斯和纳齐尔(<xref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>],Thakur et al。<xref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>)迭代过程通常被用来近似扩张映射的不动点。2008年,铃木<xref ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xref>]介绍了弱扩张映射的概念:self-map<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>在一个子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>度量空间是铃木类型的扩张,如果每两个元素<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>拥有时<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。很容易观察到,铃木类型扩张映射正确的类包括扩张映射的类。</p><p>铃木类型扩张映射的类被许多作者(cf广泛的研究。<xref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B21"> 21</xref>])。最近,裤子和Pandey<xref ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xref>]介绍了Reich-Suzuki类型扩张映射反过来包括铃木的类类型扩张映射的映射。</p><年代t在ement id="deff1"> <title>定义1。</t我tle> <p>(见[<xref ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xref>])。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的度量空间的子集。一幅地图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>据说Reich-Suzuki如果所有类型扩张<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,有一些常数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>这样<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟹</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>近似的扩张映射的不动点和广义扩张映射是一个活跃的研究领域的(<xref ref-type="bibr" rid="B23"> 23</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B27"> 27</xref>]。最近,裤子和Pandey [<xref ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xref>)使用Thakur et al。<xref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>)的近似不动点迭代过程Reich-Suzuki扩张映射的映射类型。本文的目的是证明强大<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>Reich-Suzuki类型扩张映射的映射下的收敛结果<我t一个l我c>米</我t一个l我c>迭代过程(<xref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>),这是众所周知的,收敛速度比Thakur et al。<xref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>迭代过程。通过这种方式,我们改进和扩展到许多当前文献的结果。</p><p>Kohlenbach [<xref ref-type="bibr" rid="B28"> 28</xref>提出广义度量空间的概念和所谓的双曲度量空间。这种类型的度量空间包括赋范空间、双曲线的希尔伯特球度规,笛卡尔希尔伯特球,产品指标树,阿达玛复写,猫的格罗莫夫(0)空间。给出的定义如下:</p><p>一个三联体<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ℍ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被称为双曲度量空间时<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个度量空间,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mi mathvariant="normal"> ℍ</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> ×</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个函数,这样对吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> ξ</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,下列条件。<l我年代t><l我年代t-item> <label>(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>)</l一个bel> </list-item> </list></p> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ℍ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula></p> <list-item> <label>(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>)</l一个bel> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℍ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ℍ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula></p> </list-item> <list-item> <label>(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>)</l一个bel> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mi mathvariant="normal"> ℍ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ℍ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula></p> </list-item> <list-item> <label>(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>)</l一个bel> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℍ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ℍ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula></p> </list-item> <p></p> <p>一组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mtext> 赛格</mml:mtext> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≔</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ℍ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被称为度量线段端点<我t一个l我c>一个</我t一个l我c>和<我t一个l我c>b</我t一个l我c>。在,我们会写<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mi mathvariant="normal"> ℍ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ⊕</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。一个子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>被称为凸提供吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ⊕</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,每<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。当没有歧义,我们将编写<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ℍ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t在ement> <statement id="deff2"> <title>定义2。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个双曲度量空间。对于任何<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> c</mml:mi> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mi> λ</mml:mi> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。集<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> σ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> c</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 正</mml:mi> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ⊕</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> c</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> c</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mi> c</mml:mi> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>我们说<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>均匀凸时<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mi> σ</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> c</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,每<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mi> c</mml:mi> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> λ</mml:mi> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t在ement> <statement id="deff3"> <title>定义3。</t我tle> <p>(见[<xref ref-type="bibr" rid="B29"> 29日</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B30"> 30.</xref>])。双曲度量空间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>据说是严格凸提供每<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>这样<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> μ</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ⊕</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>遵循的条件<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。由(<xref ref-type="bibr" rid="B30"> 30.</xref>),每一个一致凸的双曲严格凸度量空间。</p><p>最近,Ullah和艾尔沙德(<xref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>]介绍了<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>迭代过程在巴拿赫空间中。双曲空间的版本<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>迭代过程读取如下:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⊕</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>是一个序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。Ullah和艾尔沙德<xref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>证明一些弱和强收敛的结果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mi> 米</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>迭代过程为铃木类型扩张映射的巴拿赫空间。Ullah et al。<xref ref-type="bibr" rid="B31"> 31日</xref>)扩展的结果Ullah和艾尔沙德<xref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>]猫(0)空间的设置。在本文中,我们研究<我t一个l我c>米</我t一个l我c>迭代过程Reich-Suzuki类型扩张映射双曲空间的设置。</p></年代t在ement> </sec> <sec id="sec2"> <title>2。预赛</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的双曲度量空间的子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个有界序列<我t一个l我c>X</我t一个l我c>。为每一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,定义<l我年代t><l我年代t-item> <label>(我)</l一个bel> </list-item> </list></p> <p>渐近的半径<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>在<我t一个l我c>一个</我t一个l我c>作为<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> r</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≔</mml:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <list-item> <label>(2)</l一个bel> <p>渐近的半径<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>相对于<我t一个l我c>B</我t一个l我c>作为<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> r</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≔</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 正</mml:mi> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ;</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </list-item> <list-item> <label>(3)</l一个bel> <p>渐近的中心<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>相对于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mi> K</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>通过<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≔</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> r</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> r</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </list-item> <p></p> <p>我们知道,在一个完整的双曲空间单调统一的凸性模量,每一个有界序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>有一个独特的渐近中心对每个非空的闭凸子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><年代t在ement id="deff4"> <title>定义4。</t我tle> <p>(见[<xref ref-type="bibr" rid="B32"> 32</xref>])。假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个有界序列在双曲空间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。然后,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>据说是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>收敛一点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,如果<我t一个l我c>年代</我t一个l我c>每个子序列是一个独特的渐近中心<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>下面的引理给出了许多数字帝国铃木类型扩张映射的映射。</p></年代t在ement> <statement id="lem1"> <title>引理1(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B22 " > < / xref > 22])。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的双曲空间的子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>铃木扩张映射,那么<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是Reich-Suzuki类型和不断扩张吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>定点设置Reich-Suzuki结构类型地图如下。</p></年代t在ement> <statement id="lem2"> <title>引理2(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B22 " > < / xref > 22])。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的双曲空间的子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是Reich-Suzuki类型扩张呢<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是关闭的。此外,如果空间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>严格凸,准备好了吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是凸的,那么<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>也是凸。</p></年代t在ement> <statement id="lem3"> <title>引理3(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B22 " > < / xref > 22])。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的双曲度量空间的子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一种Reich-Suzuki扩张。然后,对于每一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,它意味着<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t在ement> <statement id="lem4"> <title>引理4(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B22 " > < / xref > 22])。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的双曲度量空间的子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一种Reich-Suzuki扩张。然后,对所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,接下去<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="lem5"> <title>引理5(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B33 " > < / xref > 33])。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个完整的双曲空间单调统一的凸性和模量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mi> x</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>序列在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>这样<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⊕</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> ξ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>对于一些<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mi> ξ</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t在ement> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。在双曲空间收敛结果</t我tle> <p>在本节中,这封信<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>将代表一个双曲空间单调统一的凸性模量。</p><年代t在ement id="lem6"> <title>引理6。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的闭凸子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>Reich-Suzuki类型扩张映射图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mo> ∅</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>生成的序列(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xref>)。然后,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>存在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mo> ∀</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t在ement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。由引理<xref ref-type="statement" rid="lem3"> 3</xref>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd rowspan="6"> <mml:mtext> (8)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⊕</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此,序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>下面有界和减少。因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>存在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mo> ∀</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>下面的定理将用于即将到来的结果。</p></年代t在ement> <statement id="thm1"> <title>定理1。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的闭凸子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个Reich-Suzuki扩张映射类型。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被定义的序列(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xref>)。然后,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mo> ∅</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>当且仅当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是有界的,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t在ement> <statement id="proof2"> <title>证明。</t我tle> <p>我们假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是有界的,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。我们将证明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。由引理<xref ref-type="statement" rid="lem4"> 4</xref>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (9)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> r</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> r</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mi> r</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> r</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是单例集合。我们必须有吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mo> ∅</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>相反,我们假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mo> ∅</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。我们将证明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是有界的,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。由引理<xref ref-type="statement" rid="lem6"> 6</xref>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>存在,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是有界的。把<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> ξ</mml:mi> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>从引理的证明<xref ref-type="statement" rid="lem6"> 6</xref>,接下去<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⟹</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> ξ</mml:mi> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>由引理<xref ref-type="statement" rid="lem3"> 3</xref>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> ξ</mml:mi> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>从引理的证明<xref ref-type="statement" rid="lem6"> 6</xref>,接下去<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⟹</mml:mo> <mml:mi> ξ</mml:mi> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 正</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>从(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 12</xref>)和(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq15"> 15</xref>),我们得到<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> ξ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>从(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq16"> 16</xref>),我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq17"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (17)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> ξ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> ξ</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⊕</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>现在从(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</xref>),(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq13"> 13</xref>)和(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq17"> 17</xref>)一起引理<xref ref-type="statement" rid="lem5"> 5</xref>,我们获得<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0。</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>收敛结果如下。</p></年代t在ement> <statement id="thm2"> <title>定理2。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的闭凸子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一种Reich-Suzuki扩张映射<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mo> ∅</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被定义为(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xref>)。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>收敛于一个元素的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t在ement> <statement id="proof3"> <title>证明。</t我tle> <p>由定理<xref ref-type="statement" rid="thm1"> 1</xref>,序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是有界的。因此,人们可以找到一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>收敛的子序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。接下来,我们的目标是证明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>收敛的子序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>有一个独特的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>限制的设置<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。为了这个目的,我们假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>有两个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>收敛的子序列,即<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>限制<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,分别。针对定理<xref ref-type="statement" rid="thm1"> 1</xref>,序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是有界的,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。我们声称<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。现在,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> r</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>利用引理<xref ref-type="statement" rid="lem4"> 4</xref>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq20"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (20)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> r</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> r</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因为的渐近中心<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>有一个独特的元素,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。同样的,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。独特性的渐近一个序列的中心,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq21"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (21)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 吃晚饭</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> d</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这是一个矛盾。因此,达成的结论。</p><p>现在,我们建立一个强大的收敛定理Reich-Suzuki类型扩张映射地图使用迭代法(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xref>)。</p></年代t在ement> <statement id="thm3"> <title>定理3。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的紧凑的凸子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>Reich-Suzuki类型扩张映射图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mo> ∅</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是由(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xref>),然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是收敛的强烈的不动点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t在ement> <statement id="proof4"> <title>证明。</t我tle> <p>由定理<xref ref-type="statement" rid="thm1"> 1</xref>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。的紧性假设,存在一个子序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>这样<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>强烈收敛一些<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。由引理<xref ref-type="statement" rid="lem4"> 4</xref>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq22"> <mml:mtd> <mml:mtext> (22)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mn> 0。</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>通过限制在度量空间的独特性,我们必须<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:mi> z</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。由引理<xref ref-type="statement" rid="lem6"> 6</xref>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>存在,因此<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mi> z</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>的强极限吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t在ement> <statement id="ex1"> <title>例1。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2、2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是的一个子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:mi> ℝ</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>具有一般的度量,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。定义<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>通过<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq23"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext> 如果</mml:mtext> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2、0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> \</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext> 如果</mml:mtext> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext> 如果</mml:mtext> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0,2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>这里,首先我们应当显示映射<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>不是铃木扩张映射类型。为此,我们选择<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。简单的计算给<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq24"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (24)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>接下来,我们将显示映射<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是扩张Reich-Suzuki类型。为此,我们选择<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。我们考虑不同情况下如下考虑。</p></年代t在ement> <statement id="casee1"> <title>案例1。</t我tle> <p>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2、0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> \</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq25"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (25)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="casee2"> <title>例2。</t我tle> <p>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0,2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq26"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (26)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 5</mml:mn> <mml:mn> 8</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 5</mml:mn> <mml:mn> 8</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="casee3"> <title>例3。</t我tle> <p>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2、0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> \</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0,2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq27"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (27)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 5</mml:mn> <mml:mn> 8</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="casee4"> <title>例4。</t我tle> <p>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2、0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> \</mml:mo> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq28"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (28)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 3</mml:mn> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 8</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="casee5"> <title>例5。</t我tle> <p>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2、0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq29"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (29)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 4</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 5</mml:mn> <mml:mn> 8</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 5</mml:mn> <mml:mn> 8</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 8</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mn> 2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mi> t</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> −</mml:mo> <mml:mn> 2</mml:mn> <mml:mi> t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是Reich-Suzuki类型扩张映射<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mo> ∅</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>。集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</mml:mn> <mml:mo> /</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>。因此,定理的要求<xref ref-type="statement" rid="thm2"> 2</xref>是能够实现的。现在,定理的结论<xref ref-type="statement" rid="thm2"> 2</xref>和<xref ref-type="statement" rid="thm3"> 3</xref>是达到了。然而,我们不能直接应用任何导致(<xref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B17"> 17</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B19"> 19</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B34"> 34</xref>)和引用引用其中,因为在这种情况下,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>不是铃木类型扩张映射的映射。</p><p>为下一个强烈的收敛效果,紧性假设是没有必要的;然而,下面的条件将被添加。</p></年代t在ement> <statement id="deff5"> <title>定义5。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。一个序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>被称为Fejer单调对吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,如果<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq30"> <mml:mtd> <mml:mtext> (30)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> +</mml:mo> <mml:mn> 1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</mml:mo> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> w</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mtext> 对于每一个</mml:mtext> <mml:mi> w</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mtext> 和</mml:mtext> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mn> 1。</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>一个映射<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>据说满足条件<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>(<xref ref-type="bibr" rid="B35"> 35</xref>如果一个可以构造一个不减少的功能<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mfenced open="[" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>与属性<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> c</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>对于每一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:mi> c</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</mml:mn> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>这样<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mi> 一个</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω</mml:mi> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>为每一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:mi> 一个</mml:mi> <mml:mo> ∈</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>以下事实可以在[<xref ref-type="bibr" rid="B34"> 34</xref>]。</p></年代t在ement> <statement id="prop1"> <title>命题1。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的封闭的子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个Fejer单调序列有关<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。然后,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>强烈收敛一些的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>当且仅当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0</mml:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t在ement> <statement id="thm4"> <title>定理4。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的闭凸子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mi> X</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:mo> :</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> B</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>一种广义Reich-Suzuki扩张映射<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≠</mml:mo> <mml:mo> ∅</mml:mo> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M269"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>满足条件(I)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M270"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>由(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xref>)收敛强烈的不动点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M271"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t在ement> <statement id="proof5"> <title>证明。</t我tle> <p>从定理<xref ref-type="statement" rid="thm1"> 1</xref>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M272"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq31"> <mml:mtd> <mml:mtext> (31)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</mml:mo> <mml:mn> 0。</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>自映射<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M273"> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>满足条件<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M274"> <mml:mi> 我</mml:mi> </mml:math> </inline-formula>,接下去<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M275"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq32"> <mml:mtd> <mml:mtext> (32)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> <mml:mo> ⟶</mml:mo> <mml:mi> ∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> p</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</mml:mo> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>由引理<xref ref-type="statement" rid="lem2"> 2</xref>,一组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M276"> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是关闭的。它遵循从引理<xref ref-type="statement" rid="lem6"> 6</xref>那<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M277"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>Fejer单调序列对设置<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M278"> <mml:mi> F</mml:mi> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。这个结论是基于命题<xref ref-type="statement" rid="prop1"> 1</xref>。</p></年代t在ement> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。结论</t我tle> <p> <list> <list-item> <label>(1)</l一个bel> </list-item> </list></p> <p>我们的结果扩展的相应结果Ullah和艾尔沙德<xref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>)在两个方面:(1)从铃木类型扩张映射的类映射到类的Reich-Suzuki类型扩张映射地图和(2)从巴拿赫空间一般双曲空间的设置。</p><l我年代t-item> <label>(2)</l一个bel> <p>我们的研究结果扩展Ullah等的相应结果。<xref ref-type="bibr" rid="B31"> 31日</xref>)在两个方面:(1)从铃木类型扩张映射的类映射到类的Reich-Suzuki类型扩张映射地图和(2)从猫(0)空间一般双曲空间的设置。</p></l我年代t-item> <list-item> <label>(3)</l一个bel> <p>我们的结果还扩展和改善中相应的结果证明(<xref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B17"> 17</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B19"> 19</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B34"> 34</xref>)和引用引用。</p></l我年代t-item> <p></p> </sec> <back> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</t我tle> <p>没有数据被用来支持本研究。</p></年代ec> <sec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</t我tle> <p>作者宣称没有利益冲突。</p></年代ec> <sec> <title>作者的贡献</t我tle> <p>所有作者的贡献同样显著,在写这篇文章。所有作者阅读和批准最终的手稿。</p></年代ec> <ack> <title>确认</t我tle> <p>作者感谢西班牙政府授予rti2018 - 094336 b - i00 (MCIU / AEI /菲德尔,问题)和格兰特IT1207-19巴斯克政府。</p></一个ck><ref-list> <ref id="B1" content-type="article"> <label>1</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 巴拿赫</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 操作中找到他们在乐团abstraits等应用辅助方程积分</一个rt我cle-title> <source> <italic> Fundamenta Mathematicae</我t一个l我c><year> 1922年</year> <volume> 3</volume> <fpage> 133年</fpage> <lpage> 181年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.4064 / fm - 3 - 1 - 133 - 181</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 柯克</年代urname> <given-names> w·A。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 映射的不动点定理不增加距离</一个rt我cle-title> <source> <italic> 美国数学月刊</我t一个l我c><year> 1965年</year> <volume> 72年</volume> <issue> 9</我年代年代ue> <fpage> 1004年</fpage> <lpage> 1006年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2307 / 2313345</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 布劳德</年代urname> <given-names> f·E。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 巴拿赫空间扩张映射非线性算子</一个rt我cle-title> <source> <italic> 美国国家科学院院刊》上</我t一个l我c><year> 1965年</year> <volume> 54</volume> <issue> 4</我年代年代ue> <fpage> 1041年</fpage> <lpage> 1044年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1073 / pnas.54.4.1041</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Gohde</年代urname> <given-names> D。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Zum《der kontraktiven abbildung</一个rt我cle-title> <source> <italic> Mathematische后</我t一个l我c><year> 1965年</year> <volume> 30.</volume> <issue> 3 - 4</我年代年代ue> <fpage> 251年</fpage> <lpage> 258年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / mana.19650300312</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84979309102</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 曼恩</年代urname> <given-names> w·R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 平均值方法迭代</一个rt我cle-title> <source> <italic> 美国数学学会学报》上</我t一个l我c><year> 1953年</year> <volume> 4</volume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 506年</fpage> <lpage> 510年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1090 / s0002 - 9939 - 1953 - 0054846 - 3</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84968518052</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 石川</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 固定的点由一个新的迭代方法</一个rt我cle-title> <source> <italic> 美国数学学会学报》上</我t一个l我c><year> 1974年</year> <volume> 44</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 147年</fpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1090 / s0002 - 9939 - 1974 - 0336469 - 5</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84968476637</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 努尔</年代urname> <given-names> m·A。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 新的近似方案一般变分不等式</一个rt我cle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</我t一个l我c><year> 2000年</year> <volume> 251年</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 217年</fpage> <lpage> 229年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1006 / jmaa.2000.7042</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0034311124</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 阿加瓦尔</年代urname> <given-names> r P。</given-names> </name> <name> <surname> O 'Regon</年代urname> <given-names> D。</given-names> </name> <name> <surname> Sahu</年代urname> <given-names> d·R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 不动点的迭代构造近asymtotically扩张映射的映射</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性和凸分析杂志》上</我t一个l我c><year> 2007年</year> <volume> 8</volume> <fpage> 61年</fpage> <lpage> 79年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 阿巴斯</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> 纳齐尔</年代urname> <given-names> T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个新的更快的迭代过程应用于约束最小化和可行性问题</一个rt我cle-title> <source> <italic> Matematicki Vesnik</我t一个l我c><year> 2014年</year> <volume> 66年</volume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 223年</fpage> <lpage> 234年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Thakur</年代urname> <given-names> b S。</given-names> </name> <name> <surname> Thakur</年代urname> <given-names> D。</given-names> </name> <name> <surname> Postolache博士</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一个新的迭代方案数值计算固定的铃木的广义扩张映射的映射</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我t一个l我c><year> 2016年</year> <volume> 275年</volume> <fpage> 147年</fpage> <lpage> 155年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.amc.2015.11.065</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84960861998</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 铃木</年代urname> <given-names> T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 不动点定理和收敛定理对一些广义扩张映射的映射</一个rt我cle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</我t一个l我c><year> 2008年</year> <volume> 340年</volume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 1088年</fpage> <lpage> 1095年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jmaa.2007.09.023</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 38049041447</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>12</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ullah</年代urname> <given-names> K。</given-names> </name> <name> <surname> 艾尔沙德</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 数值计算为铃木的广义扩张映射不动点通过新的迭代过程</一个rt我cle-title> <source> <italic> Filomat</我t一个l我c><year> 2018年</year> <volume> 32</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 187年</fpage> <lpage> 196年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2298 / fil1801187u</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85041711185</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Dhomphongsa</年代urname> <given-names> 年代。</given-names> </name> <name> <surname> Inthakon</年代urname> <given-names> W。</given-names> </name> <name> <surname> Kaewkhao</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Edelstein的方法和一些广义扩张映射不动点定理</一个rt我cle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</我t一个l我c><year> 2009年</year> <volume> 350年</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 12</fpage> <lpage> 17</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jmaa.2008.08.045</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 54149110520</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Phuengrattana</年代urname> <given-names> W。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 近似不动点的Suzuki-generalized扩张映射的映射</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性分析:混合动力系统</我t一个l我c><year> 2011年</year> <volume> 5</volume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 583年</fpage> <lpage> 590年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.nahs.2010.12.006</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 79959877735</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Abkar</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> Eslamian</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 广义扩张映射多值映射的不动点定理</一个rt我cle-title> <source> <italic> 不动点理论</我t一个l我c><year> 2011年</year> <volume> 12</volume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 241年</fpage> <lpage> 246年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Basarir</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> 领域</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 的强大和Δ-convergence S-iteration过程广义扩张映射在猫(0)空间</一个rt我cle-title> <source> <italic> 泰国《数学</我t一个l我c><year> 2014年</year> <volume> 12</volume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 549年</fpage> <lpage> 559年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>17</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Nanjaras</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> Panyanak</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> Phuengrattana</年代urname> <given-names> W。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 不动点定理和收敛定理Suzuki-generalized扩张映射在猫(0)空间中</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性分析:混合动力系统</我t一个l我c><year> 2010年</year> <volume> 4</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 25</fpage> <lpage> 31日</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.nahs.2009.07.003</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 70350571117</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>18</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ullah</年代urname> <given-names> K。</given-names> </name> <name> <surname> 艾尔沙德</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 新的迭代过程和数值计算定点在巴拿赫空间中</一个rt我cle-title> <source> <italic> U.P.B.科学公报(系列)。</我t一个l我c><year> 2017年</year> <volume> 79年</volume> <issue> 4</我年代年代ue> <fpage> 113年</fpage> <lpage> 122年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>19</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Uddin</年代urname> <given-names> 我。</given-names> </name> <name> <surname> Imdad</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在某些收敛S-iteration计划在猫(0)空间中</一个rt我cle-title> <source> <italic> 科威特科学杂志》</我t一个l我c><year> 2015年</year> <volume> 42</volume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 93年</fpage> <lpage> 106年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="article"> <label>20.</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Uddin</年代urname> <given-names> 我。</given-names> </name> <name> <surname> Imdad</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 收敛的SP-iteration广义扩张映射在阿达玛空间</一个rt我cle-title> <source> <italic> Hacettepe《数学和统计数据</我t一个l我c><year> 2018年</year> <volume> 48</volume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 1595年</fpage> <lpage> 1604年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.15672 / hjms.2017.509</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85073879876</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>21</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Uddin</年代urname> <given-names> 我。</given-names> </name> <name> <surname> Imdad</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一些收敛定理一双混合广义扩张映射的猫(0)空间</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性和凸分析杂志》上</我t一个l我c><year> 2015年</year> <volume> 16</volume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 447年</fpage> <lpage> 457年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="article"> <label>22</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 裤子</年代urname> <given-names> R。</given-names> </name> <name> <surname> Pandey</年代urname> <given-names> R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 存在和收敛结果扩张映射的类类型映射在双曲空间中</一个rt我cle-title> <source> <italic> 应用通用拓扑结构</我t一个l我c><year> 2019年</year> <volume> 20.</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 281年</fpage> <lpage> 295年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.4995 / agt.2019.11057</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85067614263</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="article"> <label>23</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Abdeljawad</年代urname> <given-names> T。</given-names> </name> <name> <surname> Ullah</年代urname> <given-names> K。</given-names> </name> <name> <surname> 艾哈迈德</年代urname> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 迭代算法映射满足(B<年代ub> <italic> γ,</我t一个l我c></年代ub> <sub> <italic> μ</我t一个l我c></年代ub>)条件</一个rt我cle-title> <source> <italic> 杂志的功能空间</我t一个l我c><year> 2020年</year> <volume> 2020年</volume> <lpage> 7</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 3492549</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2020/3492549</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B24" content-type="article"> <label>24</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Abdeljawad</年代urname> <given-names> T。</given-names> </name> <name> <surname> Ullah</年代urname> <given-names> K。</given-names> </name> <name> <surname> 艾哈迈德</年代urname> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> Mlaiki</年代urname> <given-names> N。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 迭代近似的端点在巴拿赫空间多值映射</一个rt我cle-title> <source> <italic> 杂志的功能空间</我t一个l我c><year> 2020年</year> <volume> 2020年</volume> <lpage> 5</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 2179059</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2020/2179059</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B25" content-type="article"> <label>25</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Okeke</年代urname> <given-names> g。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 收缩映射的不动点的迭代逼近复杂的巴拿赫空间</一个rt我cle-title> <source> <italic> 阿拉伯数学科学杂志》上</我t一个l我c><year> 2018年</year> <volume> 25</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 83年</fpage> <lpage> 105年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.ajmsc.2018.11.001</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85070205978</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B26" content-type="article"> <label>26</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ullah</年代urname> <given-names> K。</given-names> </name> <name> <surname> 阿亚兹</年代urname> <given-names> F。</given-names> </name> <name> <surname> 艾哈迈德</年代urname> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一些M在巴拿赫空间迭代过程的收敛性结果</一个rt我cle-title> <source> <italic> 大陆桥数学杂志</我t一个l我c><year> 2019年</year> <volume> 2019年</volume> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 2150017</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1142 / s1793557121500170</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B27" content-type="article"> <label>27</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ullah</年代urname> <given-names> K。</given-names> </name> <name> <surname> 汗</年代urname> <given-names> m . s . U。</given-names> </name> <name> <surname> 默罕默德</年代urname> <given-names> N。</given-names> </name> <name> <surname> 艾哈迈德</年代urname> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 近似的端点多值的测地线空间扩张映射</一个rt我cle-title> <source> <italic> 大陆桥数学杂志</我t一个l我c><year> 2019年</year> <volume> 2019年</volume> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 2050141</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1142 / s1793557120501417</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85072194906</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B28" content-type="article"> <label>28</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kohlenbach</年代urname> <given-names> U。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 一些逻辑元定理在功能分析与应用</一个rt我cle-title> <source> <italic> 事务的美国数学学会</我t一个l我c><year> 2005年</year> <volume> 357年</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 89年</fpage> <lpage> 129年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1090 / s0002 - 9947 - 04 - 03515 - 9</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 12744263577</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B29" content-type="article"> <label>29日</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 高桥</年代urname> <given-names> W。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 度量空间的凸性和扩张映射的映射。我</一个rt我cle-title> <source> <italic> 恒大数学研讨会报告</我t一个l我c><year> 1970年</year> <volume> 22</volume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 142年</fpage> <lpage> 149年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2996 / kmj / 1138846111</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84972573660</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B30" content-type="article"> <label>30.</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Fukhar-ud-din</年代urname> <given-names> H。</given-names> </name> <name> <surname> Khamsi</年代urname> <given-names> m·A。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 近似不动点在双曲空间中</一个rt我cle-title> <source> <italic> 不动点理论和应用程序</我t一个l我c><year> 2014年</year> <volume> 2014年</volume> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 113年</pub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1186 / 1687-1812-2014-113</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84901794919</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B31" content-type="article"> <label>31日</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ullah</年代urname> <given-names> K。</given-names> </name> <name> <surname> 汗</年代urname> <given-names> h . N。</given-names> </name> <name> <surname> 艾尔沙德</年代urname> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 数值计算固定点猫(0)空间</一个rt我cle-title> <source> <italic> Sahand通信在数学分析(SCMA)</我t一个l我c><year> 2018年</year> <volume> 12</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 97年</fpage> <lpage> 111年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B32" content-type="article"> <label>32</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 柯克</年代urname> <given-names> w·A。</given-names> </name> <name> <surname> Panyanak</年代urname> <given-names> B。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 测地线的空间收敛的概念</一个rt我cle-title> <source> <italic> 非线性分析:理论、方法及应用</我t一个l我c><year> 2008年</year> <volume> 68年</volume> <issue> 12</我年代年代ue> <fpage> 3689年</fpage> <lpage> 3696年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.na.2007.04.011</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 42949122454</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B33" content-type="article"> <label>33</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 汗</年代urname> <given-names> a。R。</given-names> </name> <name> <surname> Fukhar-ud-din</年代urname> <given-names> H。</given-names> </name> <name> <surname> 艾哈迈德汗</年代urname> <given-names> m·A。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 隐式算法两个有限的家庭扩张映射地图在双曲空间中</一个rt我cle-title> <source> <italic> 不动点理论和应用程序</我t一个l我c><year> 2012年</year> <volume> 2012年</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 54</fpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1186 / 1687-1812-2012-54</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84873855948</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B34" content-type="article"> <label>34</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Chuadchawna</年代urname> <given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> Farajzadeh</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> <name> <surname> Kaewcharoen</年代urname> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 收敛定理和近似端点的铃木多值映射双曲空间</一个rt我cle-title> <source> <italic> 计算分析及应用》杂志上</我t一个l我c><year> 2020年</year> <volume> 28</volume> <fpage> 903年</fpage> <lpage> 916年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B35" content-type="article"> <label>35</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 发送</年代urname> <given-names> h·F。</given-names> </name> <name> <surname> Dotson</年代urname> <given-names> w·G。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 近似扩张映射的不动点</一个rt我cle-title> <source> <italic> 美国数学学会学报》上</我t一个l我c><year> 1974年</year> <volume> 44</volume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 375年</fpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1090 / s0002 - 9939 - 1974 - 0346608 - 8</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84968519140</pub-id> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>