注意在Inner-Outer迭代法求解线性方程=

文摘

最近,田et al。(计算机和数学与应用,75(2018):2710 - 2722)提出了inner-outer迭代法解决线性方程 并研究了相应的收敛性的方法。在这篇文章中,我们改进inner-outer方法和得到的主要结果弱收敛的结果。此外,参数可以适当调整,还可以大大改善方法的收敛性。

1。介绍

当谈到解决大型稀疏线性系统 在哪里 是一个平方满秩矩阵和 ,迭代方法是常用的。Multisplitting并行解决方案最初引入和采用奥利里和白色(1)求解线性方程,进一步研究了许多其他作者(2- - - - - -35]。其中,白教授(2- - - - - -9]做了一个山的工作和构造并行非线性AOR方法矩阵multisplitting,并行混沌multisplitting法、两级multisplitting方法对两级multisplitting合适的约束下,一些新的杂交代数多级预处理算法,非平稳的multisplitting迭代算法,和非平稳的multisplitting两级迭代算法。除了这些方法以外,顾et al。13,14),曹et al。16- - - - - -18王),et al。15,24,26,27,29日,30.张,et al。28,29日,31日]也放松不稳定两级multisplitting构造算法,嵌套固定迭代算法,轻松并行multisplitting AOR USAOR, SSOR算法上 - - - - - -矩阵,两个放松multisplitting算法不同的权重类型时是一个单调矩阵还是 - - - - - -矩阵,并行multisplitting TOR算法,和全球放松平行multisplitting USAOR (GUSAOR)算法。最近,田et al。22]研究了inner-outer线性方程的迭代法 并推导出相应的inner-outer算法的收敛性。摘要inner-outer迭代方法,我们进行了进一步的分析,获得了一些收敛结果弱于田et al。

在本文中,我们提出了inner-outer迭代法2本质上并显示程序演绎以及相应的主要结果3。与先前的研究相比,我们的研究结果的收敛结果更适用。此外,我们的新参数的收敛域是更广泛的比22]。因此,还可以大大改善方法的收敛性质由于合适的参数我们采用的适应性。

2。Inner-Outer迭代方法

2018年,田et al。22提出一个inner-outer线性系统的迭代算法 。让 是一个收敛的分裂;然后,作者可以获得以下线性系统相当于(1): 在哪里 和 。

然后,inner-outer迭代方法(2)表示如下: 与 。在这里,我们把(3)作为外层迭代。让 ,并定义内线性系统

然后,应用内迭代,我们可以得到 我们把 作为初始值和分配随着新 。此外,参数和的公差是内外迭代,分别为:

然后,inner-outer迭代算法在算法1。

3所示。主要结果

在算法1,作者讨论了inner-outer迭代算法的收敛性,研究了迭代的收敛(3)和(5),分别。

引理1(见[12])。迭代序列 收敛于相应的解决方案 开始对所有向量和所有当且仅当(iff) 。

定理1(见[22])。让 和 ;然后,外层迭代(3)是收敛的,表示矩阵的谱半径 。

定理2(见[22])。让 和 ;然后,内部迭代(5)是收敛的,表示矩阵的谱半径 。

备注1。通过仔细分析定理的证明过程1和2,我们发现收敛参数可能会越来越弱。此外,参数您可以适当调整,该方法的收敛可以明显改善。因此,我们可以得到下面的收敛结果。
通过进一步分析,外层迭代(3)与矩阵分裂相关联: 和相应的外迭代矩阵 内部迭代(4)以下分裂: 和内部迭代矩阵

定理3。让 和 ;然后,外层迭代(3)是收敛的, 表示矩阵的谱半径 。

证明。让的特征值 。然后, 的假设。假设的特征值在(8);然后,

案例1。当 和 :

例2。当 和 : 自 ,我们可以获得 所以,我们可以立即获得 从引理1与方程(12)和(15),外层迭代(3)是收敛的。

备注2。自 ,然后 所以,我们对参数的新的收敛域在定理3比这更广泛的定理1(22]。

定理4。让 和 ;然后,内部迭代(5)是收敛的, 表示矩阵的谱半径 。

证明。让的特征值在(10);然后, 在哪里的特征值 。然后,从(17),我们可以得到 从引理1与方程(18),我们完成证明。

备注3。自 ,然后 所以,新的收敛域参数在定理4比这更广泛的定理2(22]。
接下来,作者给的总体收敛inner-outer迭代算法没有考虑参数和 ,这表明inner-outer线性迭代算法收敛到精确解线性系统(2)。

引理2(见[12])。对所有操作规范, 。对所有和所有 ,有一个算子范数 。一种常态取决于两个和 ,在哪里表示矩阵的谱半径 。

引理3(见[12])。假设满足 。然后, 意味着是可逆的, ,和 。

现在,我们重写inner-outer迭代算法作为一个两阶段的迭代框架(21,22]:

定理5(见[22])。让 是一个融合分裂, ,和在k内迭代步骤的数目外迭代。然后,迭代序列由(20.)收敛于精确解(2),速度比迭代序列来自(2)相同的初始值 。

通过仔细分析,我们发现迭代序列由(20.)仍收敛于精确解(2)当 。通过类似的证明过程,我们可以得到下面的收敛定理。

定理6。假设 是一个融合分裂, ,和内迭代步骤的数目在k外迭代。然后,迭代序列由(20.)收敛于精确解(2),速度比迭代序列来自(2)相同的初始值 。

证明。从方程(20.),我们可以获得 然后,我们可以得到 在哪里 和 。自的精确解(1),然后从(22),我们有 减去方程(23从方程()22),我们可以得到 让的特征值 ;然后,从方程(25),我们可以得到 的特征值 。 作为 。

例3。当 和 :从方程(27),我们有

例4。当 和 :自 ,我们可以获得 因此,从方程(27),我们就可以立即获得 然后,我们可以获得 。接下来,从定理的证明过程5,我们可以得到 为 。

备注4。自 ,然后 因此,我们的新参数的收敛域在定理6是更广泛的比收敛域定理5(22]。

4所示。结论

本文基于inner-outer迭代的收敛性,我们获得更多适用的收敛结果。此外,我们的新参数的收敛域是更广泛的比22]。因此,还可以大大改善方法的收敛性质由于参数我们采用的合适的适应性34,35]。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究得到了国家自然科学基金(11226337,11226337,11226337,11801528,61571104,41906003),优秀的青年河南省科学技术创新的基础(184100510001和184100510001),中国的航空科学基金(2016 zg55019和2017 zd55014),基础研究重点科研项目的项目计划在河南高等教育机构(20 zx003),河南省科学技术研究重点项目(182102210242和182102210242),项目的河南省高校青年骨干教师(2019年ggjs100和2019 ggjs176),和四川科技项目(2019 yj0357)。

引用

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