raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

JMATH

数学杂志

2314 - 4785 2314 - 4629

Hindawi

10.1155 / 2020/1832589 1832589

研究文章

注意在Inner-Outer迭代法求解线性方程<我nline-formula> 一个<米米l:mi> x =<我nline-formula> b

https://orcid.org/0000 - 0002 - 6087 - 8611 张

李涛

¹ ² ³

左

Xian-Yu

⁴ 顾

佟湘玉

⁵ 王

严萍

¹ 张

Yi-Fan

¹ 李

Jian-Lei

⁶ 李

Sheng-Kun

⁷ 伤势严重

Kaleem R。

^{1

数学学院的

郑州大学航空

郑州

河南450015年

中国

zua.edu.cn} ^{2

数学与信息科学学院

河南师范大学

新乡

河南453007年

中国

henannu.edu.cn} ^{3

河南航空经济发展的协同创新中心

郑州

河南450015年

中国} ^{4

河南省重点实验室的大数据分析和处理

河南大学

开封475004

中国

henu.edu.cn} ^{5

计算物理实验室

应用物理与计算数学研究所

邮政信箱8009

北京100088年

中国

iapcm.ac.cn} ^{6

数学与信息科学学院

中国北方大学水资源和电力

郑州

河南450011年

中国

ncwu.edu.cn} ^{7

大学应用数学

成都大学信息技术

成都

四川610225

中国

cuit.edu.cn}

2020年

6 7 2020年

2020年 28 12 2019年 06 05年 2020年 6 7 2020年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

最近,田et al。(计算机和数学与应用,75(2018):2710 - 2722)提出了inner-outer迭代法解决线性方程<我nline-formula> 一个<米米l:mi> x<米米l:mo> = b 并研究了相应的收敛性的方法。在这篇文章中,我们改进inner-outer方法和得到的主要结果弱收敛的结果。此外,参数可以适当调整,还可以大大改善方法的收敛性。中国国家自然科学基金 11226337 11501525 11961082 11801528 61571104 41906003 河南省优秀青年科学技术创新的基础 184100510001 184100510004 航空科学基金 2016年zg55019 2017年zd55014 基础研究重点科研项目的项目计划在河南高等教育机构 20 zx003 河南省科学技术研究重点项目 182102210242 182102110065 项目的河南省高校青年骨干教师 2019年ggjs100 2019年ggjs176 四川科技项目 2019年yj0357 1。介绍</gydF4y2Batitle> <p>当谈到解决大型稀疏线性系统<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>是一个平方满秩矩阵和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>迭代方法是常用的。Multisplitting并行解决方案最初引入和采用奥利里和白色(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xrgydF4y2Baef>)求解线性方程,进一步研究了许多其他作者(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xrgydF4y2Baef>- - - - - -<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B35"> 35</xrgydF4y2Baef>]。其中,白教授(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xrgydF4y2Baef>- - - - - -<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xrgydF4y2Baef>]做了一个山的工作和构造并行非线性AOR方法矩阵multisplitting,并行混沌multisplitting法、两级multisplitting方法对两级multisplitting合适的约束下,一些新的杂交代数多级预处理算法,非平稳的multisplitting迭代算法,和非平稳的multisplitting两级迭代算法。除了这些方法以外,顾et al。<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xrgydF4y2Baef>),曹et al。<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xrgydF4y2Baef>- - - - - -<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xrgydF4y2Baef>王),et al。<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B15"> 15</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B24"> 24</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B26"> 26</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B27"> 27</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B29"> 29日</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B30"> 30.</xrgydF4y2Baef>张,et al。<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B28"> 28</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B29"> 29日</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B31"> 31日</xrgydF4y2Baef>]也放松不稳定两级multisplitting构造算法,嵌套固定迭代算法,轻松并行multisplitting AOR USAOR, SSOR算法上<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>矩阵,两个放松multisplitting算法不同的权重类型时<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个单调矩阵还是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>矩阵、平行multisplitting TOR算法和全球放松平行multisplitting USAOR (GUSAOR)算法。最近,田et al。<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xrgydF4y2Baef>]研究了inner-outer线性方程的迭代法<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>并推导出相应的inner-outer算法的收敛性。摘要inner-outer迭代方法,我们进行了进一步的分析,获得了一些收敛结果弱于田et al。</gydF4y2Bap> <p>在本文中,我们提出了inner-outer迭代法<xrgydF4y2Baef ref-type="sec" rid="sec2"> 2</xrgydF4y2Baef>本质上并显示程序演绎以及相应的主要结果<xrgydF4y2Baef ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xrgydF4y2Baef>。与先前的研究相比,我们的研究结果的收敛结果更适用。此外,我们的新参数的收敛域<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是更广泛的比<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xrgydF4y2Baef>]。因此,还可以大大改善方法的收敛性质由于合适的参数我们采用的适应性。</gydF4y2Bap> </sec> <sec id="sec2"> <title>2。Inner-Outer迭代方法</gydF4y2Batitle> <p>2018年,田et al。<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xrgydF4y2Baef>提出一个inner-outer线性系统的迭代算法<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个收敛的分裂;然后,作者可以获得以下线性系统相当于(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xrgydF4y2Baef>):<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <p>然后,inner-outer迭代方法(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xrgydF4y2Baef>)表示如下:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0、1、2</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。在这里,我们把(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xrgydF4y2Baef>)作为外层迭代。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,定义了内心的线性系统<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>然后,应用内迭代,我们可以得到<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0、1、2</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>我们把<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>作为初始值和分配<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>随着新<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。此外,参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mi> η</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>的公差是内外迭代,分别为:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (6)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="normal"> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> η</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>然后,inner-outer迭代算法在算法<xrgydF4y2Baef ref-type="other" rid="alg1"> 1</xrgydF4y2Baef>。</gydF4y2Bap> <p id="alg1"> <list list-content="algorithm"> <title><大胆>算法1:< /大胆>事实上inner-outer迭代算法(< xref ref-type =“bibr”掉= " B22 " > < / xref > 22)。</gydF4y2Batitle> <list-item> <label>(我)</lgydF4y2Baabel> </list-item> </list></p> <p>输入<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> η</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula></p> <list-item> <label></label> <p>输出:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p>步骤1:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ⟵</米米l:米o> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p>步骤2:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> ⟵</米米l:米o> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p>步骤3:当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:米o> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p>步骤4:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mo> ⟵</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p>第五步:重复</gydF4y2Bap> </list-item> <list-item> <label></label> <p>步骤6:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ⟵</米米l:米o> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> z</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p>第七步:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> ⟵</米米l:米o> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p>第八步:直到<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> η</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula></p> </list-item> <list-item> <label></label> <p>步骤9:而结束</gydF4y2Bap> </list-item> <list-item> <label></label> <p>第十步:<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ⟵</米米l:米o> <mml:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula></p> </list-item> <p></p> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。主要结果</gydF4y2Batitle> <p>在算法<xrgydF4y2Baef ref-type="other" rid="alg1"> 1</xrgydF4y2Baef>,作者讨论了inner-outer迭代算法的收敛性,研究了迭代的收敛(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xrgydF4y2Baef>)和(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq5"> 5</xrgydF4y2Baef>),分别。</gydF4y2Bap> <statement id="lem1"> <title>引理1(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B12 " > < / xref > 12])。</gydF4y2Batitle> <p>迭代序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>收敛于相应的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>开始对所有向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>当且仅当(iff)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="thm1"> <title>定理1(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B22 " > < / xref > 22])。</gydF4y2Batitle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mn> 0</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>;然后,外层迭代(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xrgydF4y2Baef>)是收敛的,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>表示矩阵的谱半径<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="thm2"> <title>定理2(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B22 " > < / xref > 22])。</gydF4y2Batitle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mn> 0</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>;然后,内部迭代(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq5"> 5</xrgydF4y2Baef>)是收敛的,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>表示矩阵的谱半径<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="rem1"> <title>备注1。</gydF4y2Batitle> <p>通过仔细分析定理的证明过程<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm1"> 1</xrgydF4y2Baef>和<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm2"> 2</xrgydF4y2Baef>,我们发现收敛参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>可能会越来越弱。此外,参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>您可以适当调整,该方法的收敛可以明显改善。因此,我们可以得到下面的收敛结果。</gydF4y2Bap> <p>通过进一步分析,外层迭代(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xrgydF4y2Baef>)与矩阵分裂相关联:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (7)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和相应的外迭代矩阵<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msubsup> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mn> 1</米米l:米n> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>内部迭代(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq4"> 4</xrgydF4y2Baef>)以下分裂:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (9)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和内部迭代矩阵<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="thm3"> <title>定理3。</gydF4y2Batitle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mn> 0</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>;然后,外层迭代(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xrgydF4y2Baef>)是收敛的,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>表示矩阵的谱半径<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</gydF4y2Batitle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。然后,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>的假设。假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xrgydF4y2Baef>);然后,<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="casee1"> <title>案例1。</gydF4y2Batitle> <p>当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mn> 0</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1。</米米l:米n> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="casee2"> <title>例2。</gydF4y2Batitle> <p>当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,我们可以获得<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq14"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (14)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 2</米米l:米n> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> ⟹</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> </mml:mfrac> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> ⟹</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 2</米米l:米n> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> ⟹</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> ⟹</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1。</米米l:米n> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>所以,我们可以立即获得<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> μ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1。</米米l:米n> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>从引理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="lem1"> 1</xrgydF4y2Baef>与方程(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 12</xrgydF4y2Baef>)和(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq15"> 15</xrgydF4y2Baef>),外层迭代(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xrgydF4y2Baef>)是收敛的。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="rem2"> <title>备注2。</gydF4y2Batitle> <p>自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>,然后<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ></米米l:米o> <mml:mn> 1。</米米l:米n> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>所以,我们对参数的新的收敛域<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>在定理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm3"> 3</xrgydF4y2Baef>比这更广泛的定理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm1"> 1</xrgydF4y2Baef>(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xrgydF4y2Baef>]。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="thm4"> <title>定理4。</gydF4y2Batitle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mn> 0</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>;然后,内部迭代(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq5"> 5</xrgydF4y2Baef>)是收敛的,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>表示矩阵的谱半径<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="proof2"> <title>证明。</gydF4y2Batitle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq10"> 10</xrgydF4y2Baef>);然后,<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。然后,从(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq17"> 17</xrgydF4y2Baef>),我们可以得到<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1。</米米l:米n> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>从引理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="lem1"> 1</xrgydF4y2Baef>与方程(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq18"> 18</xrgydF4y2Baef>),我们完成证明。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="rem3"> <title>备注3。</gydF4y2Batitle> <p>自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>,然后<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mfrac> <mml:mo> ></米米l:米o> <mml:mn> 1。</米米l:米n> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>所以,新的收敛域参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>在定理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm4"> 4</xrgydF4y2Baef>比这更广泛的定理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm2"> 2</xrgydF4y2Baef>(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xrgydF4y2Baef>]。</gydF4y2Bap> <p>接下来,作者给的总体收敛inner-outer迭代算法没有考虑参数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mi> η</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,这表明inner-outer线性迭代算法收敛到精确解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>线性系统(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xrgydF4y2Baef>)。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="lem2"> <title>引理2(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B12 " > < / xref > 12])。</gydF4y2Batitle> <p>对所有操作规范,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。对所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mi> ϵ</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>,有一个操作规范<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。一种常态<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> •</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>取决于两个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mi> ϵ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>表示矩阵的谱半径<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="lem3"> <title>引理3(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B12 " > < / xref > 12])。</gydF4y2Batitle> <p>假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> •</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>满足<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⋅</米米l:米o> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> B</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。然后,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>意味着<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是可逆的,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mfenced open="‖" close="‖" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <p>现在,我们重写inner-outer迭代算法作为一个两阶段的迭代框架(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B21"> 21</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xrgydF4y2Baef>]:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq20"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr columnalign="left"> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> R</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0、1、2</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0、1、2</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1。</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <statement id="thm5"> <title>定理5(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B22 " > < / xref > 22])。</gydF4y2Batitle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个融合分裂,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mn> 0</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在k内迭代步骤的数目外迭代。然后,迭代序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:msubsup> </mml:math> </inline-formula>由(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq20"> 20.</xrgydF4y2Baef>)收敛于精确解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xrgydF4y2Baef>),速度比迭代序列来自(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xrgydF4y2Baef>)相同的初始值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <p>通过仔细分析,我们发现迭代序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:msubsup> </mml:math> </inline-formula>由(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq20"> 20.</xrgydF4y2Baef>)仍收敛于精确解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xrgydF4y2Baef>)当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。通过类似的证明过程,我们可以得到下面的收敛定理。</gydF4y2Bap> <statement id="thm6"> <title>定理6。</gydF4y2Batitle> <p>假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个融合分裂,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mn> 0</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>内迭代步骤的数目在k外迭代。然后,迭代序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:msubsup> </mml:math> </inline-formula>由(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq20"> 20.</xrgydF4y2Baef>)收敛于精确解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xrgydF4y2Baef>),速度比迭代序列来自(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xrgydF4y2Baef>)相同的初始值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="proof3"> <title>证明。</gydF4y2Batitle> <p>从方程(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq20"> 20.</xrgydF4y2Baef>),我们可以获得<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq21"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>然后,我们可以得到<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq22"> <mml:mtd> <mml:mtext> (22)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0、1、2</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:math> </inline-formula>。自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>的精确解(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xrgydF4y2Baef>),然后从(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq22"> 22</xrgydF4y2Baef>),我们有<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq23"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> E</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0、1、2</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>减去方程(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq23"> 23</xrgydF4y2Baef>从方程()<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq22"> 22</xrgydF4y2Baef>),我们可以得到<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq24"> <mml:mtd> <mml:mtext> (24)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0、1、2</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq25"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (25)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:munderover> <mml:mo stretchy="true"> ∑</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>;然后,从方程(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq25"> 25</xrgydF4y2Baef>),我们可以得到<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq26"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mi> ϕ</米米l:米我><米米l:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我></米米l:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq27"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (27)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> ϕ</米米l:米我><米米l:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我></米米l:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mi> λ</米米l:米我><米米l:mi> 我</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>作为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⟶</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="casee3"> <title>例3。</gydF4y2Batitle> <p>当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mn> 0</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>:从方程(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq27"> 27</xrgydF4y2Baef>),我们有<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq28"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (28)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> ϕ</米米l:米我><米米l:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我></米米l:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1。</米米l:米n> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="casee4"> <title>例4。</gydF4y2Batitle> <p>当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>:自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,我们可以获得<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq29"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (29)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mn> 2</米米l:米n> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ⟹</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mn> 2</米米l:米n> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mfrac> <mml:mo> ⟹</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mn> 2</米米l:米n> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ⟹</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n> <mml:mo> ⟹</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mo> ⟹</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1。</米米l:米n> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此,从方程(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq27"> 27</xrgydF4y2Baef>),我们就可以立即获得<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq30"> <mml:mtd rowspan="3"> <mml:mtext> (30)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi> ϕ</米米l:米我><米米l:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> k</米米l:米我></米米l:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mo> −</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> −</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我><米米l:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1。</米米l:米n> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>然后,我们可以获得<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。接下来,从定理的证明过程<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm5"> 5</xrgydF4y2Baef>,我们可以得到<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0、1、2</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="rem4"> <title>备注4。</gydF4y2Batitle> <p>自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mi> ρ</米米l:米我><米米l:mfenced open="(" close=")" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>,然后<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq31"> <mml:mtd> <mml:mtext> (31)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mn> 2</米米l:米n> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> ρ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ></米米l:米o> <mml:mn> 1。</米米l:米n> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此,我们的新参数的收敛域<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>在定理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm6"> 6</xrgydF4y2Baef>是更广泛的比收敛域定理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="thm5"> 5</xrgydF4y2Baef>(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xrgydF4y2Baef>]。</gydF4y2Bap> </statement> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。结论</gydF4y2Batitle> <p>本文基于inner-outer迭代的收敛性,我们获得更多适用的收敛结果。此外,我们的新参数的收敛域<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mi> α</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是更广泛的比<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B22"> 22</xrgydF4y2Baef>]。因此,还可以大大改善方法的收敛性质由于参数我们采用的合适的适应性<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B34"> 34</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B35"> 35</xrgydF4y2Baef>]。</gydF4y2Bap> </sec> <back> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</gydF4y2Batitle> <p>使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。</gydF4y2Bap> </sec> <sec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</gydF4y2Batitle> <p>作者宣称没有利益冲突。</gydF4y2Bap> </sec> <ack> <title>确认</gydF4y2Batitle> <p>这项研究得到了国家自然科学基金(11226337,11226337,11226337,11801528,61571104,41906003),优秀的青年河南省科学技术创新的基础(184100510001和184100510001),中国的航空科学基金(2016 zg55019和2017 zd55014),基础研究重点科研项目的项目计划在河南高等教育机构(20 zx003),河南省科学技术研究重点项目(182102210242和182102210242),项目的河南省高校青年骨干教师(2019年ggjs100和2019 ggjs176),和四川科技项目(2019 yj0357)。</gydF4y2Bap> </ack> <ref-list> <ref id="B1" content-type="article"> <label>1</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 奥利里</年代urname> <given-names> d . P。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 白色的</年代urname> <given-names> r·E。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> Multi-splittings矩阵的线性系统和并行解决方案</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 暹罗在代数和离散数学》杂志上</我talic> <year> 1985年</gydF4y2Bayear> <volume> 6</gydF4y2Bavolume> <fpage> 630年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 640年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1137 / 0606062</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 白</年代urname> <given-names> Z.-Z。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 在平行的非平稳multisplitting迭代方法的收敛性</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 计算和应用数学杂志》上</我talic> <year> 2003年</gydF4y2Bayear> <volume> 159年</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 1</gydF4y2Bafpage> <lpage> 11</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0377 - 0427 (03) 00555 - 7</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0141559017</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 白</年代urname> <given-names> Z.-Z。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 王</年代urname> <given-names> C.-L。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 的非平稳multisplitting两阶段迭代收敛的埃尔米特正定线性系统的方法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 计算和应用数学杂志》上</我talic> <year> 2002年</gydF4y2Bayear> <volume> 138年</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 287年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 296年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0377 - 0427 (01) 00376 - 4</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0037081088</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 白</年代urname> <given-names> Z.-Z。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 并行混沌multisplitting迭代方法为大型稀疏线性互补问题</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 计算数学学报</我talic> <year> 2001年</gydF4y2Bayear> <volume> 19</gydF4y2Bavolume> <fpage> 281年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 292年</lgydF4y2Bapage> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 白</年代urname> <given-names> Z.-Z。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 一种新的并行混合多级迭代代数</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 计算数学学报</我talic> <year> 2001年</gydF4y2Bayear> <volume> 19</gydF4y2Bavolume> <fpage> 651年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 672年</lgydF4y2Bapage> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 白</年代urname> <given-names> Z.-Z。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 收敛性分析的两级¶multisplitting方法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> Calcolo</我talic> <year> 1999年</gydF4y2Bayear> <volume> 36</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 63年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 74年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s100920050023</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 2042450232</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 白</年代urname> <given-names> Z.-Z。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 的收敛域为线性系统矩阵multisplitting放松方法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 中国大学的应用数学》杂志上</我talic> <year> 1998年</gydF4y2Bayear> <volume> 13</gydF4y2Bavolume> <fpage> 45</gydF4y2Bafpage> <lpage> 52</lgydF4y2Bapage> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 白</年代urname> <given-names> Z.-Z。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 比较收敛和发散率的并行矩阵multisplitting迭代方法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 中国工程数学杂志》上</我talic> <year> 1994年</gydF4y2Bayear> <volume> 1</gydF4y2Bavolume> <fpage> 99年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 102年</lgydF4y2Bapage> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 白</年代urname> <given-names> Z。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 并行非线性AOR方法及其收敛性</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 计算机和数学与应用程序</我talic> <year> 1996年</gydF4y2Bayear> <volume> 31日</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 21</gydF4y2Bafpage> <lpage> 31日</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0898 - 1221 (95)00190 - 5</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0029753188</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 常</年代urname> <given-names> D.-W。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 并行multisplitting TOR方法的收敛性分析</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 计算和应用数学杂志》上</我talic> <year> 1996年</gydF4y2Bayear> <volume> 72年</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 169年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 177年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0377 - 0427 (95)00270 - 7</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0030196372</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 常</年代urname> <given-names> D.-W。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 并行multisplitting TOR (MTOR)方法为线性系统</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 计算机和数学与应用程序</我talic> <year> 2001年</gydF4y2Bayear> <volume> 41</gydF4y2Bavolume> <issue> 1 - 2</我年代年代ue> <fpage> 215年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 227年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0898 - 1221 (01) 85017 - 3</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0035121176</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="book"> <label>12</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Demmel</年代urname> <given-names> j·W。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 应用数值线性代数</我talic> <year> 1997年</gydF4y2Bayear> <publisher-loc> 美国费城,宾夕法尼亚州</gydF4y2Bapublisher-loc> <publisher-name> 工业与应用数学学会的</gydF4y2Bapublisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 顾</年代urname> <given-names> T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 刘</年代urname> <given-names> X。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 沈</年代urname> <given-names> l</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> ∗放松平行两级multisplitting方法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 国际计算机数学杂志》上</我talic> <year> 2000年</gydF4y2Bayear> <volume> 75年</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 351年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 367年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 00207160008804990</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0034501398</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 顾</年代urname> <given-names> T.-X。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 刘</年代urname> <given-names> X.-P。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 平行两级multisplitting迭代方法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 国际计算机数学杂志》上</我talic> <year> 1998年</gydF4y2Bayear> <volume> 20.</gydF4y2Bavolume> <fpage> 153年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 166年</lgydF4y2Bapage> </element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 王</年代urname> <given-names> D.-R。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 在并行multisplitting AOR的融合算法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我talic> <year> 1991年</gydF4y2Bayear> <volume> 154 - 156</gydF4y2Bavolume> <fpage> 473年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 486年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0024 - 3795 (91)90390 - i</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0001345523</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 曹</年代urname> <given-names> Z.-H。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 在嵌套固定迭代方法的收敛</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我talic> <year> 1995年</gydF4y2Bayear> <volume> 221年</gydF4y2Bavolume> <fpage> 159年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 170年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0024 - 3795 (93)00239 - v</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 21844483470</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>17</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 曹</年代urname> <given-names> Z.-H。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 林</年代urname> <given-names> z Y。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 收敛放松平行multisplitting方法与不同的加权方案</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我talic> <year> 1996年</gydF4y2Bayear> <volume> 106年</gydF4y2Bavolume> <fpage> 181年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 196年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0096 - 3003 (98) 10120 - 0</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0040951187</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>18</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 首歌</年代urname> <given-names> Y。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 收敛的平行multisplitting h矩阵的方法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 国际计算机数学杂志》上</我talic> <year> 1994年</gydF4y2Bayear> <volume> 50</gydF4y2Bavolume> <issue> 3 - 4</我年代年代ue> <fpage> 213年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 232年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 00207169408804257</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0027962139</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>19</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Frommer</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 迈耶</年代urname> <given-names> G。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 放松平行multisplitting方法的收敛</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我talic> <year> 1989年</gydF4y2Bayear> <volume> 119年</gydF4y2Bavolume> <fpage> 141年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 152年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0024 - 3795 (89)90074 - 8</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0000735411</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="article"> <label>20.</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Frommer</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 迈耶</年代urname> <given-names> G。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 在multisplitting方法的理论与实践并行计算</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 计算</我talic> <year> 1992年</gydF4y2Bayear> <volume> 49</gydF4y2Bavolume> <fpage> 62年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 74年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / bf02238650</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0040443554</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>21</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 马斯</年代urname> <given-names> J。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 非稳定的平行放松multisplitting方法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我talic> <year> 1992年</gydF4y2Bayear> <volume> 241 - 243</gydF4y2Bavolume> <fpage> 733年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 747年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0024 - 3795 (95)00583 - 8</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 3142665336</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="article"> <label>22</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 田</年代urname> <given-names> Z。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 田</年代urname> <given-names> M。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> Y。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 温</年代urname> <given-names> P。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 迭代方法求解线性系统<我talic> 斧头</我talic>=<我talic> b</我talic> </article-title> <source> <italic> 计算机和数学与应用程序</我talic> <year> 2018年</gydF4y2Bayear> <volume> 75年</gydF4y2Bavolume> <issue> 8</我年代年代ue> <fpage> 2710年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 2722年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.camwa.2018.01.003</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85041591158</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="article"> <label>23</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 云</年代urname> <given-names> j . H。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 基于multisplittings ILU分解的性能预调节器</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> Numerische Mathematik</我talic> <year> 2003年</gydF4y2Bayear> <volume> 95年</gydF4y2Bavolume> <issue> 4</我年代年代ue> <fpage> 761年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 779年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s00211 - 003 - 0453 - 1</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0242276151</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B24" content-type="article"> <label>24</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 云</年代urname> <given-names> j . H。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 一个收敛的SSOR multisplitting方法<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>矩阵</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 计算和应用数学杂志》上</我talic> <year> 2008年</gydF4y2Bayear> <volume> 217年</gydF4y2Bavolume> <fpage> 252年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 258年</lgydF4y2Bapage> </element-citation> </ref> <ref id="B25" content-type="article"> <label>25</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 黄</年代urname> <given-names> T.-Z。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> L.-T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 顾</年代urname> <given-names> T.-X。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 郭</年代urname> <given-names> X.-L。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> GRPM-style方法和收敛和发散率的比较</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 计算机和数学与应用程序</我talic> <year> 2009年</gydF4y2Bayear> <volume> 57</gydF4y2Bavolume> <issue> 4</我年代年代ue> <fpage> 550年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 559年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.camwa.2008.08.001</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 58349084897</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B26" content-type="article"> <label>26</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 徐</年代urname> <given-names> S.-X。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 收敛的非稳定的平行multisplitting SOR方法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 数学理论与应用</我talic> <year> 2000年</gydF4y2Bayear> <volume> 20.</gydF4y2Bavolume> <fpage> 116年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 118年</lgydF4y2Bapage> </element-citation> </ref> <ref id="B27" content-type="article"> <label>27</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> Y。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 线性系统的USAOR迭代法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 数值数学</我talic> <year> 1987年</gydF4y2Bayear> <volume> 9</gydF4y2Bavolume> <fpage> 354年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 365年</lgydF4y2Bapage> <comment> 在中国</cgydF4y2Baomment> </element-citation> </ref> <ref id="B28" content-type="article"> <label>28</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> L.-T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 黄</年代urname> <given-names> T.-Z。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 顾</年代urname> <given-names> T.-X。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 全球宽松的非平稳multisplitting多参数的方法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 国际计算机数学杂志》上</我talic> <year> 2008年</gydF4y2Bayear> <volume> 85年</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 211年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 224年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 00207160701405451</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 42949148091</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B29" content-type="article"> <label>29日</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> L.-T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 黄</年代urname> <given-names> T.-Z。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 顾</年代urname> <given-names> T.-X。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 郭</年代urname> <given-names> X.-L。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 收敛的放松multisplitting USAOR方法<我talic> H</我talic>矩阵线性系统</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 应用数学和计算</我talic> <year> 2008年</gydF4y2Bayear> <volume> 202年</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 121年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 132年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.amc.2008.01.034</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 46749103206</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B30" content-type="article"> <label>30.</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> L.-T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 黄</年代urname> <given-names> T.-Z。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 顾</年代urname> <given-names> T.-X。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 郭</年代urname> <given-names> X.-L。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 悦</年代urname> <given-names> 黄永发。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 一个收敛的改进SSOR multisplitting方法<我talic> H</我talic>矩阵</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 计算和应用数学杂志》上</我talic> <year> 2009年</gydF4y2Bayear> <volume> 225年</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 393年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 397年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.cam.2008.07.051</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 58849142910</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B31" content-type="article"> <label>31日</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> L.-T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 黄</年代urname> <given-names> T.-Z。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 程</年代urname> <given-names> 工程学系。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 顾</年代urname> <given-names> T.-X。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 王</年代urname> <given-names> Y.-P。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 注意平行multisplitting TOR方法<我talic> H</我talic>矩阵</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 国际计算机数学杂志》上</我talic> <year> 2011年</gydF4y2Bayear> <volume> 88年</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 501年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 507年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 00207160903501917</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 79251512653</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B32" content-type="article"> <label>32</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> L.-T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 黄</年代urname> <given-names> T.-Z。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 程</年代urname> <given-names> 工程学系。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 顾</年代urname> <given-names> T.-X。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 不稳定的矩阵的弱收敛multisplitting几乎线性系统的方法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 台湾《数学</我talic> <year> 2011年</gydF4y2Bayear> <volume> 15</gydF4y2Bavolume> <issue> 4</我年代年代ue> <fpage> 1423年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 1436年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.11650 / twjm / 1500406354</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 80051616099</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B33" content-type="article"> <label>33</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 张</年代urname> <given-names> L.-T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 李</年代urname> <given-names> J.-L。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 的弱收敛modulus-based同步multisplitting多参数线性互补问题的方法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 计算机和数学与应用程序</我talic> <year> 2014年</gydF4y2Bayear> <volume> 67年</gydF4y2Bavolume> <issue> 10</我年代年代ue> <fpage> 1954年</gydF4y2Bafpage> <lpage> 1959年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.camwa.2014.04.018</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84901240053</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B34" content-type="article"> <label>34</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 无条件转移</年代urname> <given-names> R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Migallon</年代urname> <given-names> V。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Penades</年代urname> <given-names> J。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Szyld</年代urname> <given-names> d·B。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 并行、同步和异步两级multisplitting方法</gydF4y2Baarticle-title> <source> <italic> 电子交易在数值分析</我talic> <year> 1995年</gydF4y2Bayear> <volume> 3</gydF4y2Bavolume> <fpage> 24</gydF4y2Bafpage> <lpage> 38</lgydF4y2Bapage> </element-citation> </ref> <ref id="B35" content-type="book"> <label>35</lgydF4y2Baabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 巴尔加</年代urname> <given-names> r S。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 矩阵迭代分析</我talic> <year> 2000年</gydF4y2Bayear> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</gydF4y2Bapublisher-loc> <publisher-name> 斯普林格出版社</gydF4y2Bapublisher-name> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>