文摘

黎卡提微分方程是一个著名的非线性微分方程,不同的应用程序在工程和科学领域,如鲁棒镇定、随机理论,实现网络合成、和最优控制,在金融数学。在这项研究中,我们的目标是分数黎卡提微分方程的近似解 与Atangana-Baleanu导数(ABC)。我们的数值方案是基于拉普拉斯变换(LT)和正交法则。我们应用LT给定分数微分方程,从而降低一个代数方程。简化方程解决了LT的未知空间。检索到原始问题的解表示为布朗在复平面上沿着一条光滑的曲线积分。布罗姆维奇积分近似使用梯形法则。一些数值实验来验证我们的数值方案执行。

1。介绍

应用数学的分数微分方程(FDE)是一个包含任意阶导数方程。部分衍生品首次出现在1695年(1]。最近,研究团体在分数微积分更感兴趣,因为它应用在工程和其他科学2- - - - - -4]。很多物理系统显示分数阶可能随时间和空间变化的行为。部分衍生品有很多种类。三个重要的和最常用的部分衍生品Grnwald-Letnikov导数,Riemann-Liouville分数导数,导数和卡普托(5]。然而,这些古典部分衍生品有一个单一的内核,因此,他们可能面临的困难在描述真实的动力学的非定域性。为了更好地处理非局部系统,最近,新的定义与非奇异的内核部分衍生品如Caputo-Fabrizio (CF)导数和Atangana-Baleanu (ABC)导数6,7]。部分衍生品与非奇异的内核变得更有价值是因为许多现象不能正确地建模与奇异内核部分衍生品(8]。

在这项工作中,我们的目标是近似一个黎卡提微分方程(RDE)与ABC的导数。路有很多应用,如随机过程、最优控制和扩散过程9]。研究了分数阶的RDE许多作者;例如,在[10),作者开发了Adomain分解RDE分数阶的方法解决方案。在[11),一些分析技术提出了RDE的解决方案。作者(12)获得RDE使用微分变换方法的解决方案。在[13),作者开发了一种拉普拉斯变换解决RDE Adomain分解方法。其他作品的解析解RDE可以在找到14,15)和引用。

大多数时候,fd的确切/解析解无法找到,所以必须利用数值近似16- - - - - -19]。许多数值方法已经开发出来的数值近似fd切比雪夫等搭配方法(20.迭代法[],变异16),再生核希尔伯特空间方法(18,19),和同伦摄动方法([21)和引用)。数值解的分数阶RDE已经被大量的研究人员。例如,作者(20.]研究分数阶RDE ABC的衍生品,和他们建立了使用巴拿赫不动点的存在性和唯一性结果定理。再生核希尔伯特空间方法(19)近似rd和伯努利微分方程与ABC分数阶导数的算法。在[18),作者开发了一个迭代重构核希尔伯特空间部分RDE数值近似的方法。作者(22]研究了分数阶的数值解RDE使用修改后的同伦摄动方法。数值解的分数阶rd使用伯恩斯坦多项式是(23]。分切比雪夫有限差分法(24]RDE提出分数阶的数值调查。贾法里和Tajadodi25)提出了一个变分迭代法求解分数阶的RDE。作者在26)提出了一个基于quasilinearization技术的混合方法和复制内核RDE分数阶的方法。在[27),解决分数阶RDE使用分段多项式近似近似。作者在28)开发了一种基于有限差分方法和Pade-variational迭代法求解的RDE noninteger秩序。基于路径跟踪方法和数值方法给出了τ勒让德(29日为解决分数阶RDE。的作者(30.基于Adomain]提出了一种改进的变分迭代方法解决RDE多项式。Khashan et al。31日)利用分数阶的Haar小波的近似RDE。的作者(32)利用RDE近似的有限差分格式。其他作品的数值近似解决分数阶RDE可以在找到33- - - - - -42)和引用。在这项工作中,我们近似的解决分数阶RDE与ABC的导数以下形式: 在这里,表示Atangana-Baleanu分数导数的秩序 。

2。预赛

在本节中,我们提出和定义一些基本结果。关于分数微积分的细节,我们参考43- - - - - -49),关于建模的细节,我们参考(50,51)和引用。

定义1。米塔格-莱弗勒(ML)函数有一个参数是定义为(52,53]

定义2。两个参数米塔格-莱弗勒(ML)函数被定义为(53,54]

定义3。ABC分数导数的秩序 的 与基础点在 被定义为(7] 在哪里是一个一阶水列夫空间装备 - - - - - -对该地区规范 ,这是定义为 和这个词给药

定义4。(ABC)分数积分 的 与基础点在 被定义为(7]

定义5。一个分段连续函数的拉普拉斯变换被定义为

定义6。LT的函数有一个参数被定义为(4]

定义7。LT的两个参数函数被定义为(4]

定义8。如果 ,ABC的LT导数定义为(7]

3所示。拉普拉斯变换方法部分黎卡提微分方程与ABC的导数

在本节中,我们给出一个详细的描述我们提出的数值方案近似拉普拉斯逆变换。首先,我们将拉普拉斯变换应用到给定的部分问题,这将改变一个代数方程。解决简化方程后,原问题的解可以通过代表的围道积分左半复平面。然后利用梯形法则近似围线积分。应用拉普拉斯变换方程(1),我们得到 可以用简化形式 在哪里

在我们的方法中,首先,我们代表的解决方案最初的问题(1)围道积分: 在那里, , 适当地大,最初是一个适当的选择在复平面垂直于实轴 。积分(15)的逆变换 ,条件是它必须解析的右边 。以确保集成的轮廓依然在域的解析性 ,我们选择的变形轮廓 ,表现为一条渐近线在左半平面, 当 ,这力量向两端的衰变 。在我们的工作中,我们选择作为 在哪里

通过编写 ,我们注意到(16)以下双曲线的是左分支: 的渐近线(18) 和x拦截在 。条件(17)确认在于部门 长在左边半平面和。从(16)和(15),我们得到

的梯形法则用于近似方程(19)与步骤如下: 在哪里 。

4所示。误差分析

在这个过程中获得方程的解问题(1)- (13),第一个分数阶积分微分的方程转化为一个代数方程使用拉普拉斯变换,这导致没有错误。然后转换方程解出未知在拉普拉斯空间。最后,使用拉普拉斯逆变换获得的解决方案是通过积分表示(19)。然后积分近似用正交法则。在近似积分的过程(19),以不同的速率收敛达到根据路径 。在近似积分(19),收敛秩序依赖于一步正交规则和时间域 。证明给出了正交误差的顺序在接下来的定理。

定理1 ([54]定理2.1)。让的解决方案(1),在分析 。让 ,和定义 通过 ,在哪里 , ,和 ,让 。然后,对于方程(20.), ,我们有 ,为 , , , , ,和 。因此,该方案的误差估计

5。结果与讨论

大部分时间分析方法不能应用于解决实际问题。所以我们需要数值方法来近似问题的解决方案。在本节中,我们考虑分数阶黎卡提微分方程来验证我们的方法。

问题1。在这里,我们考虑到部分黎卡提微分方程如下: 与 。
问题的精确解 。在这个实验中,利用最优参数 。使用MATLAB命令生成的求积节点 。近似解的值为不同的部分订单和 描述在表1。各种求积节点的绝对错误和分数阶描述在表2。产生的方法几乎确切值不同的分数阶值 。绝对误差的情节部分订单 显示在图1(一),图1 (b)显示了比较分数阶的绝对误差和误差估计 。数据2(一个)和2 (b)显示误差函数部分订单 和 ,分别。可以看出,该方法能有效地解决部分与ABC黎卡提微分方程导数。

问题2。在这里,我们考虑到部分黎卡提微分方程如下: 与 。
问题的精确解 。在这个实验中,利用最优参数 。使用MATLAB命令生成的求积节点 。近似解的值为不同的部分订单和 描述在表3。确切的值产生的方法 。数值数值解的情节不同部分订单显示在图中3,图4(一)显示了分数阶的绝对误差 和图4 (b)显示的误差函数 。

问题3。在这里,我们考虑到部分黎卡提微分方程如下: 与 在那里, 问题的精确解 。在这个实验中,利用相同的一组最优参数。近似解的值为不同的部分订单和 描述在表4。不同值的绝对误差和分数阶如表所示5。图5显示了绝对误差和error_est之间的比较,观察它们之间和一个好的协议。数值的情节和精确解为不同部分订单显示在数字6- - - - - -9。可以看出,该方法产生良好效果和准确的数字解决方案有很好的一致性。这表明,该方法能有效地解决部分与ABC黎卡提微分方程导数。

问题4。在这里,我们考虑到部分黎卡提微分方程如下: 与
问题的精确解 。在这个实验中,利用相同的一组最优参数。近似解的值为不同的部分订单和 描述在表6。图10 ()显示之间的比较绝对误差和误差估计。图10 (b)显示的误差函数 。

问题5。在这里,我们考虑到部分黎卡提微分方程如下: 与
问题的精确解 。在这个实验中,利用相同的一组最优参数。近似解的值为不同的部分订单和 显示在表7。绝对误差和误差估计的比较如图(11日),图11 (b)显示了分数阶的误差函数 。

6。结论

在这项工作中,我们开发了一个数值方案基于LT和逆LT的近似部分黎卡提微分方程的解决方案与ABC的导数。逆LT是使用正交法则近似。该方法近似分数与ABC黎卡提微分方程导数准确、高效。从结果可以看出,该方法是一个很好的替代方案近似等类型的方程。

数据可用性

数据包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

作者的贡献

刘新改进的文献综述,给数值结果和现在的应用例子。Kamran写了篇论文,霞山姚明给了误差分析和绘制误差函数。

确认

本研究区分的HEC巴基斯坦支持的基金。