使用块混合方法求解振荡延迟微分方程

抽象的

给出了一组可达五阶的块显式混合方法的阶条件，并在此基础上，推导了二阶特殊时滞微分方程的两点五阶块显式混合方法。然后对该方法进行三角拟合，并用于积分二阶时滞微分方程的振动解。绘制了基于最大误差对数的效率曲线与CPU积分时间的关系曲线，表明了三角拟合块混合方法的优越性。

1.介绍

具有时间延迟的微分方程用于建模不仅取决于系统的当前状态，还可以实现过去状态。这种类型的等式称为延迟微分方程（DDES），其中衍生物随时依赖于先前的解决方案。特殊的二阶DDE可以以形式写成 在哪里是延迟项，一阶导数不显式出现。它是一个更加现实的模型，它包含了系统的一些过去的历史，以确定未来的行为。DDEs已成为研究传染病、生物种群、神经元网络和种群动力学等现实世界问题的重要标准。

诸如Runge-Kutta（RK），Runge-KuttaNyström（RKN），混合和多步之类的方法广泛用于求解DDES。Ismail等。[1使用RK方法和Hermite插值来解决一阶DDES。Taiwo和Odetunde [2]将分解方法作为时滞微分方程的积分器。一些作者还推导了求解DDEs的块线性多步法(LMM);这样的工作可以在[3.- - - - - -6]．Hoo等人[7]构造了直接求解二阶DDEs的Adams-Moulton方法。Mechee等人[8]在他们的论文中采用RKN直接求解二阶DDEs。

然而，上述所有的研究都没有应用于求解具有振荡性质的DDE问题。因此，本文利用Gander和Gruntz [9]．推导块混合方法的原因是，由于该方法在每步不止一点逼近解，可以获得更快的数值解。从阶条件出发，构造了两点三阶五阶块显式混合方法，并对该方法进行了三角拟合，使其适用于求解具有振荡性质的二阶微分方程。最后，我们利用DDEs测试问题对新方法进行了验证，表明该方法对求解二阶振动DDEs具有更高的优越性和效率。

2.块明确混合方法的订单条件推导

给出了求解特殊二阶常微分方程的两步显式混合法的通式 在哪里 , ．方法系数 ， ，和可以在屠夫Tableau中表示： 在哪里 ， , ．

在本节中，我们推导了块显式混合方法(BEHM)的阶数条件。的泰勒级数展开和如下： 在哪里是步长是前进的步数。添加(5)和(6),我们得到 或 哪个可以表示为 增量函数是 然后，考虑块显式混合方法的通式 等式（11）可以简化为 使泰勒级数增量可以写成 前几个基本差异的地方 ， ， ．

通过减去解决方案的本地截断误差（12） 从 （9）.这给了我们 因此,从(14)，得到5阶以下的块显式混合方法的订货条件如下: 对于第一点( ，订单条件与Coleman中给出的明确混合方法的订单条件相同[10，而对于第二点( ，订货条件如下: 块显式混合方法（BEHM）的通用公式 可以写成

三角拟合砌块明确杂交方法的构建

为了得出双点Behm，我们在Franco中使用了原始三阶段显式混合方法的代数系数[11]作为第一点（ ）.块方法可以写如下： BEHM的第一和第二点份额相同和 ．通过解决（16)-（19的唯一解 通过检查第一个点的五阶条件，我们注意到第一个点的方法( 满足 ， ， ．

因此，佛朗哥[11]是五个。

通过检验第二点的五阶条件，我们注意到第二点的方法满足 因此，我们推导出的块显式混合方法为三阶五阶，记为BEHM3 ．

为了三角地适应方法，我们需要（23), (24)和(25)来精确积分函数的线性组合 为了 ．因此，获得以下等式： 在哪里 ，是步长，和是问题的拟合频率(取决于问题)。

通过解决（29), (30.), ， , ，我们得到的剩余值如下: 找到值，我们解决（31), (32)，以选择系数 ， , ，我们获得了以下内容： 然后，为了值，我们解决（33), (34)，以选择系数 和放手和 ，我们获得了而言,作为 因此，我们将新方法称为三阶段五阶三角拟合块显式混合方法(TF-BEHM3)）.方法如下: 系数可以用泰勒膨胀写入，以避免在该方法的实施中进行重消除。

4.测试问题和数值结果

在本节中，新方法，Behm3和TF-BEHM3 ，用于求解振动时滞微分方程问题。时滞项的计算采用不同的牛顿插值法。精度的测量是用绝对误差来检验的 在哪里确切的解是和吗是计算出来的解。

测试问题如下所示。

问题1(来源:Schmidt [12])。

问题2(来源:Schmidt [12])。

问题3(来源:Ladas和Stavroulakis [13])。

问题4（来源：Bhagat Singh [14])。

图中使用了下列符号1- - - - - -4：TF-BEHM3 (5）本文推导了一种三阶段五阶三角拟合块显式混合方法。BEHM3 (5）：本文派生的三级五阶新块明确的混合方法。SIHM4 (5）：AHMAD等人的四阶段五阶半隐式杂交方法。[15］MPAFRKN4 (4）: Papadopoulos等人提出的改进的四阶四阶相位拟合和放大拟合RKN方法[16]．PFRKN4 (4）: Papadopoulos等人提出的四阶四阶相位拟合RKN方法[17]．Dirkn4（4）：Senu等人的四阶段第四阶对角隐含RKN方法。[18]．EHM4 (5）: Franco提出的四阶段五阶相位拟合混合方法[11]．

5.讨论和结论

数据1- - - - - -4显示效率曲线:最大全局错误与CPU时间(以秒为单位)的对数。根据我们的观察，对于所有的问题，TF-BEHM3计算所需的时间更少。在问题1，3.,4, TF-BEHM3与所有方法相比具有更好的精度。然而,对于问题2，tf-behm3的效率与EHM4相似吗与其他方法相比，具有更好的性能。的问题2，3.,4太过分了与相比之下的其他现有方法相当。

现有的方法，MPAFRKN4和PFRKN4 ，使用特定的拟合技术。SIHM4 ，EHM4. ，和DIRKN4推导出了高阶色散和高阶耗散的振动问题求解方法。

本文推导了块混合方法的阶条件，在此基础上推导了两点三阶段五阶块显式混合方法(BEHM3))，然后对方法进行三角拟合。拟合方法和非拟合方法都在每个时间步的两个点上对问题的解进行评估;因此，计算所需的时间更少，使它们比其他方法更快更便宜。从数值结果可以得出BEHM3是直接解决二阶DDES的好方法;然而，三角地拟合块法粗略地提高了该方法的效率。可以说tf-behm3是一种有希望的工具，用于解决具有振荡解决方案的特殊二阶DDES。

数据可用性

支持本研究结果的数据可根据要求从通讯作者处获得。

的利益冲突

提交人声明有关本文的出版物没有利益冲突。

致谢

作者感谢马来西亚普特拉大学通过普特拉研究资助投票号为9543500资助该研究。

参考文献

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