非牛顿评论勒贝格测度的实数

文摘

我们想推广到非牛顿实数通常的勒贝格测度在实数。为此,我们引入开放和封闭集的勒贝格测度非牛顿意义并检查它们的基本性质。

1。介绍

发电机是一个一对一的函数的域名是所有实数的集合,其范围的一个子集。恒等函数和指数函数可以作为发电机的例子。我们表示的范围,称为非牛顿实线,发电机。非牛顿算术操作表示如下(1- - - - - -5]: 除了 减法 乘法 部门 订单

一个闭区间是由 同样的一个开区间可以表示(2,6]。让的一个子集。一个点被称为一个内点的如果存在一个时间间隔与。一组据说是开放如果所有的点是内陆点。组件间隔一个开放的组在是一个开放的时间间隔提供条件,,。众所周知,任何打开的写成任何组成组件的间隔,也一样,这将是一个简单的检测是有效的(6- - - - - -8]。

在这部作品中,象征在是用来代替通常的求和符号。

这项工作是倾斜主要建立在勒贝格测度的感觉。

这项措施一个开放的时间间隔在是长度这个时间间隔。

这里证明所有属性泛化的基本计量属性在实分析。读者可以参考教材(9为这些属性。

2。主要结果

定义1。这项措施一个开放的时间间隔在被定义为 你可以重申上述关系如下:

引理2。如果一个有限数目的两两不相交的开放的时间间隔,包含在开区间,然后

证明。我们可以假设。然后,通过发电机的属性和非牛顿和定义,我们有 这就完成了证明。

推论3。如果无限个两两不相交的间隔,,在包含在开区间,然后

定义4。这项措施一个非空有界开集在是其所有组件的措施的总和时间间隔:

这里应该注意的是, 在哪里。还应该注意的是, 由于发电机是一个一对一的函数,和这里的间隔 组件间隔吗。

定理5。让和两个有限开放。如果,然后。

证明。我们可以写和作为一个组件组成的间隔和。因为每一在一个且只有一个,我们有 这就完成了证明。

定理6。如果有界开集最多的成分是可计算的家庭组两两不相交是营业的吗,然后。

证明。如果每个写成一篇作文吗组件的间隔,然后 这就完成了证明。

引理7。让是一个闭区间。如果这个间隔是由一个有限的家庭开放的时间间隔在,即,然后。

证明。如果,然后,在那里开放时间间隔的家庭吗在。因此 根据这个,是由一个有限的家庭吗开放的时间间隔在。然后下面的不平等是适用的: 因此我们有 因此

引理8。如果一个开区间在最多的成分是可计算的家庭开集的吗,即,然后

证明。如果我们说,然后通过实际勒贝格测度的命题,我们可以写 这就完成了证明。

定理9。如果一个有界开集最多的成分是可计算的家庭开集的吗,即,然后

证明。我们可以很容易看到 这就完成了证明。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。

引用

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