JMATH 数学杂志 2314 - 4785 2314 - 4629 Hindawi 10.1155 / 2017/6507013 6507013 研究文章 非牛顿评论勒贝格测度的实数 http://orcid.org/0000 - 0002 - 6113 - 5158 Duyar Cenap 1 http://orcid.org/0000 - 0001 - 5954 - 2005 Sağır Birsen 1 高 霁 数学系 艺术和科学学院 Ondokuz马邑村大学 Kurupelit校园 萨姆松 土耳其 omu.edu.tr 2017年 28 02 2017年 2017年 01 07年 2016年 15 12 2016年 28 02 2017年 2017年 版权©2017 Cenap Duyar和Birsen Sağır。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

我们想推广到非牛顿实数通常的勒贝格测度在实数。为此,我们引入开放和封闭集的勒贝格测度非牛顿意义并检查它们的基本性质。

 1。介绍

发电机是一个一对一的函数<我nline-formula> α 的域名是<我nline-formula> R 所有实数的集合,其范围的一个子集<我nline-formula> R 。恒等函数和指数函数可以作为发电机的例子。我们表示<我nline-formula> R N 的范围,称为非牛顿实线,发电机<我nline-formula> α 。非牛顿算术操作<我nline-formula> R N 表示如下( 1- - - - - - 5]:

α 除了<我nline-formula> x + 。 y = α α - - - - - - 1 x + α - - - - - - 1 y

α 减法<我nline-formula> x - - - - - - 。 y = α α - - - - - - 1 x - - - - - - α - - - - - - 1 y

α 乘法<我nline-formula> x × 。 y = α α - - - - - - 1 x × α - - - - - - 1 y

α 部门<我nline-formula> x / 。 y = α α - - - - - - 1 x / α - - - - - - 1 y

α 订单<我nline-formula> x < 。 y x ≤ 。 y ⇔ α - - - - - - 1 x < α - - - - - - 1 y α - - - - - - 1 x ≤ α - - - - - - 1 y

一个闭区间<我nline-formula> R N 是由 (1) ( 。 一个 , b ] 。 = x ∈ R N : 一个 ≤ 。 x ≤ 。 b = x ∈ R N : α - - - - - - 1 一个 ≤ α - - - - - - 1 x ≤ 。 α - - - - - - 1 b = α α - - - - - - 1 一个 , α - - - - - - 1 b , 同样的一个开区间<我nline-formula> ( 。 一个 , b ) 。 可以表示( 2, 6]。让<我nline-formula> E 的一个子集<我nline-formula> R N 。一个点<我nline-formula> x 0 被称为一个内点的<我nline-formula> E 如果存在一个时间间隔<我nline-formula> ( 。 一个 , b ) 。 与<我nline-formula> x 0 ∈ ( 。 一个 , b ) 。 ⊂ E 。一组<我nline-formula> E 据说是开放<我nline-formula> R N 如果所有的点是内陆点。组件间隔<我nline-formula> ( 。 一个 , b ) 。 一个开放的组<我nline-formula> G 在<我nline-formula> R N 是一个开放的时间间隔提供条件<我nline-formula> ( 。 一个 , b ) 。 ⊂ G ,<我nline-formula> 一个 ∉ G ,<我nline-formula> b ∉ G 。众所周知,任何打开的<我nline-formula> R 写成任何组成组件的间隔,也一样,这将是一个简单的检测是有效的<我nline-formula> R N ( 6- - - - - - 8]。

在这部作品中,象征<我nline-formula> N ∑ 在<我nline-formula> R N 是用来代替通常的求和符号<我nline-formula> ∑ 。

这项工作是倾斜主要建立在勒贝格测度的感觉<我nline-formula> R N 。

这项措施<我nline-formula> 米 一个 , b 一个开放的时间间隔<我nline-formula> 一个 , b 在<我nline-formula> R 是长度<我nline-formula> b - - - - - - 一个 这个时间间隔。

这里证明所有属性泛化的基本计量属性在实分析。读者可以参考教材( 9为这些属性。

 2。主要结果 定义1。

这项措施<我nline-formula> 米 N ( 。 一个 , b ) 。 一个开放的时间间隔<我nline-formula> ( 。 一个 , b ) 。 在<我nline-formula> R N 被定义为 (2) 米 N ( 。 一个 , b ) 。 = α 米 α - - - - - - 1 一个 , α - - - - - - 1 b 。 你可以重申上述关系如下: (3) 米 N ( 。 一个 , b ) 。 = α 米 α - - - - - - 1 一个 , α - - - - - - 1 b = α α - - - - - - 1 b - - - - - - α - - - - - - 1 一个 = b - - - - - - 。 一个 。

引理2。

如果一个有限数目的两两不相交的开放的时间间隔<我nline-formula> ( 。 一个 k , b k ) 。 ,<我nline-formula> k = 1、2 , … , n 包含在开区间<我nline-formula> ( 。 一个 , B ) 。 ,然后 (4) N ∑ k = 1 n 米 N 。 一个 k , b k 。 ≤ 。 米 N 。 一个 , B 。 。

证明。

我们可以假设<我nline-formula> 一个 1 < 。 一个 2 < 。 ⋯ < 。 一个 n 。然后,通过发电机的属性<我nline-formula> α 和非牛顿和定义,我们有 (5) N ∑ k = 1 n 米 N 。 一个 k , b k 。 = N ∑ k = 1 n α 米 α - - - - - - 1 一个 k , α - - - - - - 1 b k = α ∑ k = 1 n 米 α - - - - - - 1 一个 k , α - - - - - - 1 b k ≤ α 米 α - - - - - - 1 一个 , α - - - - - - 1 B = α α - - - - - - 1 B - - - - - - α - - - - - - 1 一个 = 米 N 。 一个 , B 。 。 这就完成了证明。

 推论3。

如果无限个两两不相交的间隔<我nline-formula> ( 。 一个 k , b k ) 。 ,<我nline-formula> k = 1、2 , … ,在<我nline-formula> R N 包含在开区间<我nline-formula> ( 。 一个 , B ) 。 ,然后 (6) N ∑ k = 1 ∞ 米 N 。 一个 k , b k 。 ≤ 。 米 N 。 一个 , B 。 。

定义4。

这项措施<我nline-formula> 米 N G 一个非空有界开集<我nline-formula> G 在<我nline-formula> R N 是其所有组件的措施的总和时间间隔<我nline-formula> δ k : (7) 米 N G = N ∑ k 米 N δ k 。

这里应该注意的是, (8) 米 N G = N ∑ k 米 N 。 一个 k , b k 。 = N ∑ k α 米 α - - - - - - 1 一个 k , α - - - - - - 1 b k = α ∑ k 米 α - - - - - - 1 一个 k , α - - - - - - 1 b k = ∑ k b k - - - - - - 。 一个 k , 在哪里<我nline-formula> δ k = ( 。 一个 k , b k ) 。 。还应该注意的是, (9) G = ⋃ k δ k = ⋃ k 。 一个 k , b k 。 = ⋃ k α α - - - - - - 1 一个 k , α - - - - - - 1 b k = α ⋃ k α - - - - - - 1 一个 k , α - - - - - - 1 b k , 由于发电机<我nline-formula> α 是一个一对一的函数,和这里的间隔 (10) α - - - - - - 1 一个 k , α - - - - - - 1 b k , ⁡ k = 1、2 , … , 组件间隔吗<我nline-formula> α - - - - - - 1 G 。

定理5。

让<我nline-formula> G 1 和<我nline-formula> G 2 两个有限开放<我nline-formula> R N 。如果<我nline-formula> G 1 ⊂ G 2 ,然后<我nline-formula> 米 N G 1 ≤ 米 N G 2 。

 证明。

我们可以写<我nline-formula> G 1 = ∪ 我 δ 我 和<我nline-formula> G 2 = ∪ k θ k 作为一个组件组成的间隔<我nline-formula> δ 我 = ( 。 一个 我 , b 我 ) 。 和<我nline-formula> θ k = ( 。 c k , d k ) 。 。因为每一<我nline-formula> α - - - - - - 1 δ 我 在一个且只有一个<我nline-formula> α - - - - - - 1 θ k ,我们有 (11) 米 N G 1 = N ∑ 我 米 N δ 我 = N ∑ 我 α 米 α - - - - - - 1 一个 我 , α - - - - - - 1 b 我 = α ∑ 我 米 α - - - - - - 1 一个 我 , α - - - - - - 1 b 我 = α ∑ 我 米 α - - - - - - 1 δ 我 = α ∑ k ∑ α - - - - - - 1 δ 我 ⊂ α - - - - - - 1 θ k 米 α - - - - - - 1 δ 我 = α ∑ k ∑ α - - - - - - 1 δ 我 ⊂ α - - - - - - 1 θ k 米 α - - - - - - 1 一个 我 , α - - - - - - 1 b 我 ≤ α ∑ k 米 α - - - - - - 1 d k - - - - - - α - - - - - - 1 c k = N ∑ k 米 N θ k = 米 N G 2 。 这就完成了证明。

 定理6。

如果有界开集<我nline-formula> G ⊂ R N 最多的成分是可计算的家庭组两两不相交是营业的吗<我nline-formula> G k ,然后<我nline-formula> 米 N G = N ∑ k 米 N G k 。

 证明。

如果每个<我nline-formula> G k 写成一篇作文吗<我nline-formula> G k = ∪ 我 δ 我 k 组件的间隔<我nline-formula> δ 我 k = ( 。 一个 我 k , b 我 k ) 。 ,然后 (12) 米 N G = 米 N ⋃ k G k = 米 N ⋃ k ⋃ 我 δ 我 k = 米 N ⋃ k ⋃ 我 ( 。 一个 我 k , b 我 k ) 。 = 米 N ⋃ k ⋃ 我 α α - - - - - - 1 一个 我 k , α - - - - - - 1 b 我 k = 米 N α ⋃ k ⋃ 我 α - - - - - - 1 一个 我 k , α - - - - - - 1 b 我 k = α 米 α - - - - - - 1 α ⋃ k ⋃ 我 α - - - - - - 1 一个 我 k , α - - - - - - 1 b 我 k = α 米 ⋃ k ⋃ 我 α - - - - - - 1 一个 我 k , α - - - - - - 1 b 我 k = α ∑ k 米 ⋃ 我 α α - - - - - - 1 一个 我 k , α - - - - - - 1 b 我 k = ∑ k α 米 ⋃ 我 α α - - - - - - 1 一个 我 k , α - - - - - - 1 b 我 k = ∑ k 米 N ⋃ 我 ( 。 一个 我 k , b 我 k ) 。 = ∑ k 米 N ⋃ 我 δ 我 k = ∑ k 米 N G k 。 这就完成了证明。

 引理7。

让<我nline-formula> ( 。 一个 , b ] 。 是一个闭区间<我nline-formula> R N 。如果这个间隔是由一个有限的家庭<我nline-formula> Λ 开放的时间间隔<我nline-formula> ( 。 λ , μ ) 。 在<我nline-formula> R N ,即<我nline-formula> ( 。 一个 , b ] 。 ⊂ N ∪ Λ ( 。 λ , μ ) 。 ,然后<我nline-formula> b - - - - - - 。 一个 < 。 N ∑ Λ 米 N ( 。 λ , μ ) 。 。

 证明。

如果<我nline-formula> ( 。 一个 , b ] 。 ⊂ ∪ Λ ( 。 λ , μ ) 。 ,然后<我nline-formula> α α - - - - - - 1 一个 , α - - - - - - 1 b ⊂ α ∪ Λ 1 α - - - - - - 1 λ , α - - - - - - 1 μ ,在那里<我nline-formula> Λ 1 开放时间间隔的家庭吗<我nline-formula> α - - - - - - 1 ( 。 λ , μ ) 。 = α - - - - - - 1 λ , α - - - - - - 1 μ 在<我nline-formula> R 。因此 (13) α - - - - - - 1 一个 , α - - - - - - 1 b ⊂ ⋃ Λ 1 α - - - - - - 1 λ , α - - - - - - 1 μ , 根据这个,<我nline-formula> α - - - - - - 1 一个 , α - - - - - - 1 b 是由一个有限的家庭吗<我nline-formula> Λ 1 开放的时间间隔<我nline-formula> α - - - - - - 1 λ , α - - - - - - 1 μ 在<我nline-formula> R 。然后下面的不平等是适用的: (14) α - - - - - - 1 b - - - - - - α - - - - - - 1 一个 < ∑ Λ 1 米 α - - - - - - 1 λ , α - - - - - - 1 μ = ∑ Λ 1 α - - - - - - 1 μ - - - - - - α - - - - - - 1 λ 。 因此我们有 (15) α α - - - - - - 1 b - - - - - - α - - - - - - 1 一个 < α ∑ Λ 1 α - - - - - - 1 μ - - - - - - α - - - - - - 1 λ 因此 (16) b - - - - - - 。 一个 < 。 α ∑ Λ 1 α - - - - - - 1 α α - - - - - - 1 μ - - - - - - α - - - - - - 1 λ = N ∑ Λ α α - - - - - - 1 μ - - - - - - α - - - - - - 1 λ = N ∑ Λ α 米 α - - - - - - 1 λ , α - - - - - - 1 μ = N ∑ Λ 米 N ( 。 λ , μ ) 。 。

引理8。

如果一个开区间<我nline-formula> Δ 在<我nline-formula> R N 最多的成分是可计算的家庭开集的吗<我nline-formula> R N ,即<我nline-formula> Δ = ∪ k G k ,然后 (17) 米 N Δ ≤ ∑ k 米 N G k 。

证明。

如果我们说<我nline-formula> Δ = ( 。 一个 , B ) 。 ,然后<我nline-formula> 米 N Δ = α α - - - - - - 1 B - - - - - - α - - - - - - 1 一个 。 通过实际勒贝格测度的命题,我们可以写 (18) α 米 α - - - - - - 1 一个 , α - - - - - - 1 B = α α - - - - - - 1 B - - - - - - α - - - - - - 1 一个 ≤ α ∑ k 米 α - - - - - - 1 G k = α ∑ k α - - - - - - 1 α 米 α - - - - - - 1 G k = N ∑ k α 米 α - - - - - - 1 G k = N ∑ k 米 N G k 。 这就完成了证明。

 定理9。

如果一个有界开集<我nline-formula> G 最多的成分是可计算的家庭开集的吗<我nline-formula> R N ,即<我nline-formula> G = ∪ k G k ,然后 (19) 米 N G ≤ N ∑ k 米 N G k 。

证明。

我们可以很容易看到 (20) 米 N G = α 米 α - - - - - - 1 G = α 米 α - - - - - - 1 ⋃ k G k = α 米 ⋃ k α - - - - - - 1 G k ≤ α ∑ k α - - - - - - 1 α 米 α - - - - - - 1 G k = N ∑ k α 米 α - - - - - - 1 G k = N ∑ k 米 N G k 。 这就完成了证明。

 相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。

 Bashirov 答:E。 Kurp{\我}nar e . M。 Ozyapıcı 一个。 乘法微积分及其应用 《数学分析和应用程序 2008年 337年 1 36 48 10.1016 / j.jmaa.2007.03.081 MR2356052 Cakmak 答:F。 Başar F。 一些新的结果序列空间对非牛顿的微积分 杂志上的不平等和应用程序 2012年 2012年,第228条 17 10.1186 / 1029 - 242 x - 2012 - 228 MR3016664 2 - s2.0 - 84873400272 Cakmak 答:F。 Başar F。 某些功能的空间领域的非牛顿复数 抽象和应用分析 2014年 2014年 12 236124年 10.1155 / 2014/236124 MR3198166 Cakmak 答:F。 Başar F。 线和非牛顿意义上的二重积分 航会议论文集 2014年 1611年 1 415年 423年 Cakmak 答:F。 Başar F。 一些序列空间和矩阵乘法意义上的转换 TWMS纯粹和应用数学杂志》上 2015年 6 1 27 37 Duyar C。 SagIr B。 Ogur O。 一些基本的拓扑属性非牛顿实线 英国的数学和计算机科学杂志》上 2015年 9 4 300年 307年 10.9734 / bjmcs / 2015/17941 格罗斯曼 M。 卡茨 R。 非牛顿的微积分 1972年 美国大规模李出版社,鸽子湾;洛厄尔技术学院 是乌斯 一个。 乘法类型复杂的微积分代替古典微积分 计算机和数学与应用程序。一个国际期刊 2010年 60 10 2725年 2737年 10.1016 / j.camwa.2010.08.089 MR2734313 2 - s2.0 - 78049303981 Natanson i . P。 实变函数论 1964年 1 纽约,纽约,美国 弗雷德里克·安格出版有限公司