一些Isologic和品种完美的团体之间的关系

文摘

1940年,大厅里介绍的概念-isologism,对于一个给定的各种组织。在本文中,我们研究的概念完美的组织,子群,商不可约组,对一个给定的各种组织。我们也证明,获得一些结果。

1。介绍

大厅isoclinism的概念介绍,1940年,这是一个等价关系等类的所有组所有交换组落入一个等价类。这个概念是弱于同构,在有限的分类起着重要的作用组(1]。后来他广义的概念isoclinism的概念-isologism,对于一个给定的各种组织在[2]。如果是所有琐碎的各种团体,阿贝耳组织,或幂零群类最多,然后isoclinism -isologism恰逢同构,-isoclinism分别;更多信息,请参见[1,3]。本文的目的是展示的一些性质完美的组织,子群,商不可约组,对一个给定的各种组织。

在整个论文中,我们假设是定义的各种团体组词和符号取自[4]。表示口头子群和的边际子群关于;参见[5有关各种组织的更多信息。

为一组与正规子群,(以下定义6])的子群由以下设置:

你可以很容易证明是最小的正规子群吗的包含在,这样。

以下结果给语言的基本属性和边际子组的组对品种,这是非常有用的在我们的调查;参见[7更多信息)。

命题1(见[7,命题])。让是一个各种各样的组织和是一群的正规子群。然后下面的语句:(我) ,。(2) 。(3) 。(iv) ,。(v) ,特别是。(vi)如果,然后和。(七)如果,然后,特别是。

定理2(见[7,定理])。让是一个各种各样的组织和是一组群和正规子群。如果,然后。

下面的定义从[3在我们调查)是至关重要的。

定义3。让是一个各种组织的法律定义的,让和是两组。然后据说是一个-isologism之间的和,如果 是同构,这样,所有和所有,我们有,每当为。在这种情况下,我们写我们会说是-isologic来。

特别是,如果是我们获得的各种交换组的概念isoclinism由于大厅(1]。

下面的引理在我们的调查是必要的。更多信息见引理(7]。

引理4。让是一个各种各样的组织和,是一群和正规子群的群吗,分别。然后下面的语句:(我) 。特别是,如果,然后。相反,如果子组和满足降链条件,然后。(2) 。特别是,如果,然后。相反,如果在正常组和满足升链条件,然后。

现在,通过引理4,我们获得以下定理。

定理5。让是一个各种各样的组织和是一群的子群。如果是一个满射的到,然后导致一个-isologism之间和当且仅当。

证明。指出一个引理4(2)给出了“如果”部分。现在,假设导致一个-isologism之间和;然后是一种同构。因此。

2。完美的组织

本节是致力于研究完美的组织,在我们的调查是至关重要的。

下面的定义是必不可少的在我们的进一步研究。

定义6。一组据说是完美的对品种,如果。

特别是,如果是阿贝尔群的不同呢完美的团队配合完美的组织。

下面的定理之间的联系完美的,-isologism组。

定理7。让是一个各种各样的组织和是一个有限的完美的和琐碎的边际子群。那么任何-isologic集团来同构的直接产品吗的边际子群。

证明。的假设, 现在用引理4,我们有和。因此。

定理8。让是一个各种各样的组织和是一个有限群。如果是一个完美的子群这样,然后。

证明。由引理4,我们有和。因此。

定理9。让是一个各种各样的组织和是一个有限的完美的团队。然后不能-isologic任何适当的子群或因素群本身。

证明。如果是一个群的这样那么,由引理4,接下去。因此。

定理10。让是一个有限群是一组相同的顺序和isologic,对于一个给定的品种。如果是完美的或,然后。

证明。通过isologism的定义,我们有以下同构: 现在,很明显如果,然后。自,它意味着因此。如果立即,然后结果如下。

3所示。产品的品种

1976年,Leedham-Green和麦凯(6]介绍了概念产品的品种如下。

让和品种的组织定义的组词和,分别。该产品各种各样的所有组吗这样。他们还表明,语言产品的子群是。

在本节中,使用的概念产品的品种我们目前的一些结果。也进一步的信息关于产品的品种和品种isologism可能被发现在8- - - - - -12]。

下面的定理给出了一组定义词语,对该产品的多样性。它可以用于计算的话。更多信息见([6,命题])。

定理11。使用上面的符号和定义,假设和话说,和为每一个吗 然后被定义为以下设置:

对边际一群的子群对应于不同,我们有下面的定理。

定理(见[127,定理])。让和两个品种,把。然后对任何组以下语句保存:(我) 。(2) 。

Leedham-Green和麦凯证明这种产品以在不是交换(6]。同时,Hekster证明这个产品不是联想在7]。

现在,考虑的产品品种,诺伊曼定义的概念是不同的法律是谁的,包含的所有组子集中子组。

下面的引理给出了连接上面的产品品种,这已经证明了Hekster (7]。

引理13。让和两个品种的群体。然后和。

现在,我们可以得到下面的定理。

定理14。让和组和两个品种。然后一群是完美当且仅当是完美的,完美的团队。

证明。让是一个完美的团队。然后通过命题1,我们有 因此,是完美的,完美的团队。
相反,如果,然后

以下推论所带来的一个直接结果上面的定理。

推论15。让和两个品种的群体,,是一个完美的团队。然后当且仅当。

现在的上述产品的品种我们有下面的定理。

定理16。让和组和两个品种是一个任意的集团。然后我们有以下:(我)如果和要么是完美的或完美的团队,然后不是完美的团队。(2)如果和是完美的团队,然后是完美的,完美的团队。相反,如果是完美的,完美的团队,然后,所以并不一定是完美的团队。(3)如果或,然后是当且仅当完美的团体既完美的,完美的团队。

证明。(i)和(ii)可以很容易地通过上述符号和推论15。
(3)让。然后。现在,假设是完美的团队。所以,这意味着既完美的,完美的团队。“只有”是微不足道的。
让。然后。现在,如果是完美的组织,由引理13,我们有 因此,所以既完美的,完美的团队。“只有”是微不足道的。

4所示。子群和商不可约组

Hekster Stroud[的工作13]介绍了子群不可约的概念组和商不可约组织(7]。

在最后一节中,通过使用子群不可约的概念组和商不可约组和前面的讨论给出并证明我们的主要结果,在某种程度上类似于给定的(7]。

下面的定义是由Hekster引入(7]。

定义17。让是一个各种各样的团体。一组被称为子群不可约关于-isologism如果不包含适当的子群令人满意的。一组被称为商不可约关于-isologism如果不包含重要的正规子群令人满意的。

在本文中,我们提出的概念子群不可约组,即子群不可约组对-isologism,商不可约组,即商不可约组对-isologism。

下面的引理的证明是简单;看到命题(7更多信息)。

引理18。让是一个各种假设。然后既子群和商不可约组。

佐恩引理的一个简单的应用程序表明,给定一组和一个品种,人们总是可以找到一个商不可约组。因此,建立以下定理。

定理19。让是一个各种各样的团体。如果是一个任意组,那么存在一个正规子群吗的这样和是一个商不可约组。

证明。考虑。一组非空,因为它包含了简单的子群。我们定义了一个偏序包容和显然,佐恩引理,我们可以找到一个极大正规子群在。自,接下去由引理4。现在,假设是一个正规子群的这样。因此,使用绰金的模块化的法律和命题1,我们有。自,我们得出这样的结论:。另一方面,我们有因此,极大性的,接下去。因此是微不足道的,因此是商不可约组。

的话20。让产品的品种和。如果是一个子群和商不可约,然后指出是子群和商不可约也子群和商不可约组。

下面的定理给出了一个完美的团体和子群之间的联系和商不可约组。

定理21。让是一个各种各样的团体。如果是一个完美的团队,然后既子群和商不可约组。

证明。假设是一个完美的组群这样。因此,我们得出这样的结论:因此。它很容易验证是商不可约组。

在下面的定理我们表明,子群的性质和商不可约集团对isologism关闭。

定理22。让是一个各种各样的组织和和是两个-isologic组。如果是子群和商不可约组,那么。

证明。让是一个正规子群这样。然后我们有由定理(7]。因此和。现在,假设 所以,这意味着因此。一个可以很容易地检查结果时被假定为商不可约组。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。

引用

1. p .大厅,“素数幂的分类组织,”毛死Reine和Angewandte Mathematik》杂志上卷,152年,第141 - 130页,1940年。视图:谷歌学术搜索
2. p .大厅,“口头和边际子组”,毛死Reine和Angewandte Mathematik》杂志上卷,182年,第141 - 130页,1940年。视图:谷歌学术搜索
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