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JMATH

数学杂志

2314 - 4785 2314 - 4629

Hindawi出版公司

10.1155 / 2016/5093983

5093983

研究文章

一些Isologic和品种完美的团体之间的关系

http://orcid.org/0000 - 0002 - 1155 - 4899 Lotfi

Shokufeh

塔

美国Mostafa

1 在香港

Shaofang

数学教师

Golestan大学

Gorgan 伊朗 gu.ac.ir

2016年

12 12 2016年

2016年 26 07年 2016年 15 11 2016年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

1940年,大厅里介绍的概念<我nl在e- - - - - -for米ul一个> V -isologism,对于一个给定的各种组织<我nl在e- - - - - -for米ul一个> ϑ 。在本文中,我们研究的概念<我nl在e- - - - - -for米ul一个> V 完美的组织,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> V 子群,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> V 商不可约组,对一个给定的各种组织<我nl在e- - - - - -for米ul一个> ϑ 。我们也证明,获得一些结果。 1。介绍</t我tle> 大厅isoclinism的概念介绍,1940年,这是一个等价关系等类的所有组所有交换组落入一个等价类。这个概念是弱于同构,在有限的分类起着重要的作用<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>组(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B1"> 1</xrefgydF4y2Ba>]。后来他广义的概念isoclinism的概念<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>-isologism,对于一个给定的各种组织<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B2"> 2</xrefgydF4y2Ba>]。如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是所有琐碎的各种团体,阿贝耳组织,或幂零群类最多<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>isoclinism -isologism恰逢同构,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>-isoclinism分别;更多信息,请参见[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B1"> 1</xrefgydF4y2Ba>,<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B3"> 3</xrefgydF4y2Ba>]。本文的目的是展示的一些性质<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的组织,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>子群,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>商不可约组,对一个给定的各种组织<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> 在整个论文中,我们假设<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是定义的各种团体组词<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和符号取自[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B7"> 4</xrefgydF4y2Ba>]。<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>表示口头子群和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的边际子群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>关于<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>;参见[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B10"> 5</xrefgydF4y2Ba>有关各种组织的更多信息。</pgydF4y2Ba> 为一组<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与正规子群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(以下定义<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B5"> 6</xrefgydF4y2Ba>])的子群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>由以下设置:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced separators="" open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:mi> ν</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> n</米米l:米我> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ν</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∣</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> r</米米l:米我> <mml:mo> ;</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> ν</米米l:米我> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo> ;</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ;</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> n</米米l:米我> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> 你可以很容易证明<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是最小的正规子群吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>包含在<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,这样<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米我> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> T</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> 以下结果给语言的基本属性和边际子组的组<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>对品种<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,这是非常有用的在我们的调查;参见[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B4"> 7</xrefgydF4y2Ba>更多信息)。</pgydF4y2Ba> <statement id="prop1.1"> <title>命题1(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B4 " > < / xref >,命题< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M36 " > < mml: mrow > < mml: mn > 2.3 < / mml: mn > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >])。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个各种各样的组织和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一群的正规子群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然后下面的语句:<l是t> <list-item> <label>(我)</l一个bel> </list-item> </list> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> <list-item> <label>(2)</l一个bel> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ⇔</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ⇔</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </list-item> <list-item> <label>(3)</l一个bel> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ⇔</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </list-item> <list-item> <label>(iv)</l一个bel> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </list-item> <list-item> <label>(v)</l一个bel> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,特别是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </list-item> <list-item> <label>(vi)</l一个bel> 如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </list-item> <list-item> <label>(七)</l一个bel> 如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>,特别是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </list-item> </statement> <statement id="thm1.2"> <title>定理2(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B4 " > < / xref >,定理< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M54 " > < mml: mrow > < mml: mn > 2.4 < / mml: mn > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >])。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个各种各样的组织和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一组群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和正规子群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </statement> 下面的定义从[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B3"> 3</xrefgydF4y2Ba>在我们调查)是至关重要的。</pgydF4y2Ba> <statement id="deff1.3"> <title>定义3。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个各种组织的法律定义的<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是两组。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:米我> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> β</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>据说是一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> -isologism</我t一个l我c>之间的<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,如果<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq2"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (2)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> α</米米l:米我> <mml:mo> :</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ⟶</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> β</米米l:米我> <mml:mo> :</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟶</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>是同构,这样,所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mi> ν</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>,我们有<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> β</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> ν</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> ν</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,每当<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> α</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>为<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mi> 我</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> r</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。在这种情况下,我们写<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>我们会说<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> -isologic</我t一个l我c>来<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </statement> 特别是,如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是我们获得的各种交换组的概念isoclinism由于大厅(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B1"> 1</xrefgydF4y2Ba>]。</pgydF4y2Ba> 下面的引理在我们的调查是必要的。更多信息见引理<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mrow> <mml:mn> 4所示。4</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B4"> 7</xrefgydF4y2Ba>]。</pgydF4y2Ba> <statement id="lem1.4"> <title>引理4。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个各种各样的组织和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一群和正规子群的群吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,分别。然后下面的语句:<l是t> <list-item> <label>(我)</l一个bel> </list-item> </list> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。特别是,如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。相反,如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>子组和满足降链条件<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> <list-item> <label>(2)</l一个bel> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。特别是,如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。相反,如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>在正常组和满足升链条件<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </list-item> </statement> 现在,通过引理<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="lem1.4"> 4</xrefgydF4y2Ba>,我们获得以下定理。</pgydF4y2Ba> <statement id="thm1.5"> <title>定理5。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个各种各样的组织和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一群的子群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个满射的<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>到<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>导致一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>-isologism之间<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>当且仅当<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="normal"> K</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> e</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> r</米米l:米我> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> β</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle> 指出一个引理<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="lem1.4"> 4</xrefgydF4y2Ba>(2)给出了“如果”部分。现在,假设<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>导致一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>-isologism之间<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>;然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mi> β</米米l:米我> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> :</米米l:米o> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一种同构。因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="normal"> K</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> e</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> r</米米l:米我> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> β</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </statement> </sec> <sec id="sec2"> <title>2。< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M114 " > < mml: mrow > < mml: mi > V < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >完美的组织</t我tle> 本节是致力于研究<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的组织,在我们的调查是至关重要的。</pgydF4y2Ba> 下面的定义是必不可少的在我们的进一步研究。</pgydF4y2Ba> <statement id="deff2.1"> <title>定义6。</t我tle> 一组<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>据说是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 完美的</我t一个l我c>对品种<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </statement> 特别是,如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是阿贝尔群的不同呢<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队配合完美的组织。</pgydF4y2Ba> 下面的定理之间的联系<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>-isologism组。</pgydF4y2Ba> <statement id="thm2.2"> <title>定理7。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个各种各样的组织和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个有限的<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的和琐碎的边际子群。那么任何<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>-isologic集团<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>来<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>同构的直接产品吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的边际子群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </statement> <statement id="proof2"> <title>证明。</t我tle> 的假设,<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq3"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (3)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ≅</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ≅</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≅</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>现在用引理<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="lem1.4"> 4</xrefgydF4y2Ba>,我们有<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mo> ≅</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ×</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </statement> <statement id="thm2.3"> <title>定理8。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个各种各样的组织和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个有限群。如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的子群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </statement> <statement id="proof3"> <title>证明。</t我tle> 由引理<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="lem1.4"> 4</xrefgydF4y2Ba>,我们有<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </statement> <statement id="thm2.4"> <title>定理9。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个各种各样的组织和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个有限的<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不能<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>-isologic任何适当的子群或因素群本身。</pgydF4y2Ba> </statement> <statement id="proof4"> <title>证明。</t我tle> 如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个群的<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>那么,由引理<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="lem1.4"> 4</xrefgydF4y2Ba>,接下去<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </statement> <statement id="thm2.5"> <title>定理10。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个有限群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一组相同的顺序和isologic<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,对于一个给定的品种<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的或<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ≅</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </statement> <statement id="proof5"> <title>证明。</t我tle> 通过isologism的定义,我们有以下同构:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq4"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (4)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> α</米米l:米我> <mml:mo> :</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ⟶</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> β</米米l:米我> <mml:mo> :</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟶</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>现在,很明显如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mo> |</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> |</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo> |</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> |</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。自<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mo> |</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> |</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo> |</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mo> |</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,它意味着<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ≅</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>立即,然后结果如下。</pgydF4y2Ba> </statement> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。产品的品种</t我tle> 1976年,Leedham-Green和麦凯(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B5"> 6</xrefgydF4y2Ba>]介绍了概念产品的品种如下。</pgydF4y2Ba> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mrow> <mml:mi> υ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>品种的组织定义的组词<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,分别。该产品<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mi> ω</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> ∗</米米l:米我> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>各种各样的所有组吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mi> U</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。他们还表明,语言产品的子群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mi> ω</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> ∗</米米l:米我> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mi> W</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> U</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> 在本节中,使用的概念产品的品种我们目前的一些结果。也进一步的信息关于产品的品种和品种isologism可能被发现在<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B6"> 8</xrefgydF4y2Ba>- - - - - -<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B12"> 12</xrefgydF4y2Ba>]。</pgydF4y2Ba> 下面的定理给出了一组定义词语,对该产品的多样性。它可以用于计算的话。更多信息见([<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B5"> 6</xrefgydF4y2Ba>,命题<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mrow> <mml:mn> 1.5</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>])。</pgydF4y2Ba> <statement id="thm3.1"> <title>定理11。</t我tle> 使用上面的符号和定义,假设<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mi> u</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mi> v</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>话说,和为每一个吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mi> 我</米米l:米我> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> 年代</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq5"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (5)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> u</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> v</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> u</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> r</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> u</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> v</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> u</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> r</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> ∗</米米l:米我> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>被定义为以下设置:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq6"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (6)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> W</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced separators="" open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> u</米米l:米我> <mml:mrow> <mml:mo> ∣</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> u</米米l:米我> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> U</米米l:米我> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> 年代</米米l:米我> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ;</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced separators="" open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> u</米米l:米我> <mml:mrow> <mml:mo> ∣</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> u</米米l:米我> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> U</米米l:米我> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mi> 年代</米米l:米我> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mi> ∞</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> 对边际一群的子群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>对应于不同<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> ∗</米米l:米我> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>,我们有下面的定理。</pgydF4y2Ba> <statement id="thm3.2"> <title>定理12(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B4 " > < / xref >,定理< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M189 " > < mml: mrow > < mml: mn > 3.2 < / mml: mn > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >])。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mrow> <mml:mi> υ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>两个品种,把<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mi> ω</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> ∗</米米l:米我> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。然后对任何组<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>以下语句保存:<l是t> <list-item> <label>(我)</l一个bel> </list-item> </list> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> <list-item> <label>(2)</l一个bel> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </list-item> </statement> Leedham-Green和麦凯证明这种产品<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>以在<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> ∗</米米l:米我> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>不是交换(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B5"> 6</xrefgydF4y2Ba>]。同时,Hekster证明这个产品不是联想在<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B4"> 7</xrefgydF4y2Ba>]。</pgydF4y2Ba> 现在,考虑的产品品种,诺伊曼定义的概念<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mo> ∨</米米l:米o> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>是不同的法律是谁的<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mi> U</米米l:米我> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>包含的所有组<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>子集中<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>子组。</pgydF4y2Ba> 下面的引理给出了连接上面的产品品种,这已经证明了Hekster (<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B4"> 7</xrefgydF4y2Ba>]。</pgydF4y2Ba> <statement id="lem3.3"> <title>引理13。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mrow> <mml:mi> υ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>两个品种的群体。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mo> ∨</米米l:米o> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> ∗</米米l:米我> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> ∗</米米l:米我> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </statement> 现在,我们可以得到下面的定理。</pgydF4y2Ba> <statement id="thm3.4"> <title>定理14。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mrow> <mml:mi> υ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>组和两个品种<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mi> ω</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> ∗</米米l:米我> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。然后一群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mi> </mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美当且仅当<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队。</pgydF4y2Ba> </statement> <statement id="proof6"> <title>证明。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队。然后通过命题<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="prop1.1"> 1</xrefgydF4y2Ba>,我们有<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> W</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:mi> U</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队。</pgydF4y2Ba> 相反,如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> U</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,然后<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> W</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> </statement> 以下推论所带来的一个直接结果上面的定理。</pgydF4y2Ba> <statement id="coro3.5"> <title>推论15。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>两个品种的群体,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mi> ω</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> ∗</米米l:米我> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>当且仅当<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi> ω</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </statement> 现在的上述产品的品种我们有下面的定理。</pgydF4y2Ba> <statement id="thm3.6"> <title>定理16。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:mrow> <mml:mi> υ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>组和两个品种<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个任意的集团。然后我们有以下:<l是t> <list-item> <label>(我)</l一个bel> </list-item> </list> 如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mi> ω</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> ∗</米米l:米我> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>要么是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的或<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队。</pgydF4y2Ba> <list-item> <label>(2)</l一个bel> 如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mi> ω</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队。</pgydF4y2Ba> </list-item> 相反,如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mi> </mml:mi> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:mi> W</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,所以<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mi> </mml:mi> </mml:math> </inline-formula>并不一定是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队。<l是t> <list-item> <label>(3)</l一个bel> </list-item> </list> 如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:mi> ω</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mo> ∨</米米l:米o> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>或<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:mi> ω</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>当且仅当完美的团体<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>既<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队。</pgydF4y2Ba> </statement> <statement id="proof7"> <title>证明。</t我tle> (i)和(ii)可以很容易地通过上述符号和推论<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="coro3.5"> 15</xrefgydF4y2Ba>。</pgydF4y2Ba> (3)让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mi> ω</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mo> ∨</米米l:米o> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mi> W</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> U</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。现在,假设<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队。所以<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mi> U</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>,这意味着<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>既<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队。“只有”是微不足道的。</pgydF4y2Ba> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mi> ω</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:mi> W</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> U</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。现在,如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M269"> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的组织,由引理<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="lem3.3"> 13</xrefgydF4y2Ba>,我们有<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M270"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> W</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> U</米米l:米我> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M271"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> U</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,所以<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M272"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>既<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M273"> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M274"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队。“只有”是微不足道的。</pgydF4y2Ba> </statement> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M275 " > < mml: mrow > < mml: mi > V < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >子群和< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M276 " > < mml: mrow > < mml: mi > V < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >商不可约组</t我tle> Hekster Stroud[的工作<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B13"> 13</xrefgydF4y2Ba>]介绍了子群不可约的概念组和商不可约组织(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B4"> 7</xrefgydF4y2Ba>]。</pgydF4y2Ba> 在最后一节中,通过使用子群不可约的概念组和商不可约组和前面的讨论给出并证明我们的主要结果,在某种程度上类似于给定的(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B4"> 7</xrefgydF4y2Ba>]。</pgydF4y2Ba> 下面的定义是由Hekster引入(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B4"> 7</xrefgydF4y2Ba>]。</pgydF4y2Ba> <statement id="deff4.1"> <title>定义17。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M277"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个各种各样的团体。一组<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M278"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被称为<我t一个l我c> 子群不可约</我t一个l我c>关于<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M279"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>-isologism如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M280"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不包含适当的子群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M281"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>令人满意的<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M282"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。一组<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M283"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被称为<我t一个l我c> 商不可约</我t一个l我c>关于<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M284"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>-isologism如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M285"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不包含重要的正规子群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M286"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>令人满意的<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M287"> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </statement> 在本文中,我们提出的概念<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M288"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 子群不可约组</我t一个l我c>,即子群不可约组对<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M289"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>-isologism,<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M290"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 商不可约组</我t一个l我c>,即商不可约组对<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M291"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>-isologism。</pgydF4y2Ba> 下面的引理的证明是简单;看到命题<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M292"> <mml:mrow> <mml:mn> 7.2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B4"> 7</xrefgydF4y2Ba>更多信息)。</pgydF4y2Ba> <statement id="lem4.2"> <title>引理18。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M293"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个各种假设<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M294"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M295"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>既<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M296"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>子群和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M297"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>商不可约组。</pgydF4y2Ba> </statement> 佐恩引理的一个简单的应用程序表明,给定一组和一个品种<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M298"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,人们总是可以找到一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M299"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>商不可约组。因此,建立以下定理。</pgydF4y2Ba> <statement id="thm4.3"> <title>定理19。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M300"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个各种各样的团体。如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M301"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个任意组,那么存在一个正规子群吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M302"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M303"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M304"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M305"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M306"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>商不可约组。</pgydF4y2Ba> </statement> <statement id="proof8"> <title>证明。</t我tle> 考虑<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M307"> <mml:mi mathvariant="script"> 一个</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mrow> <mml:mo> ∣</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> 年代</米米l:米我> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:米我> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> o</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> r</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 年代</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> u</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> b</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> g</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> r</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> o</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> u</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> p</米米l:米我> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> o</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> f</米米l:米我> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> w</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> t</米米l:米我> <mml:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。一组<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M308"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> 一个</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>非空,因为它包含了简单的子群。我们定义了一个偏序<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M309"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> 一个</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>包容和显然,佐恩引理,我们可以找到一个极大正规子群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M310"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M311"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> 一个</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。自<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M312"> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>,接下去<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M313"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>由引理<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="lem1.4"> 4</xrefgydF4y2Ba>。现在,假设<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M314"> <mml:mi> 米</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>是一个正规子群的<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M315"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>这样<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M316"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。因此,使用绰金的模块化的法律和命题<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="prop1.1"> 1</xrefgydF4y2Ba>,我们有<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M317"> <mml:mi> 米</米米l:米我> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。自<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M318"> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>,我们得出这样的结论:<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M319"> <mml:mi> 米</米米l:米我> <mml:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="script"> 一个</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。另一方面,我们有<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M320"> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>因此,极大性的<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M321"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,接下去<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M322"> <mml:mi> 米</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M323"> <mml:mi> 米</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>是微不足道的,因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M324"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M325"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>商不可约组。</pgydF4y2Ba> </statement> <statement id="rem4.4"> <title>的话20。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M326"> <mml:mi> ω</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> υ</米米l:米我> <mml:mi> ∗</米米l:米我> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>产品的品种<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M327"> <mml:mrow> <mml:mi> υ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M328"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M329"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M330"> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>子群和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M331"> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>商不可约,然后指出<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M332"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M333"> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>子群和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M334"> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>商不可约也<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M335"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>子群和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M336"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>商不可约组。</pgydF4y2Ba> </statement> 下面的定理给出了一个完美的团体和子群之间的联系和商不可约组。</pgydF4y2Ba> <statement id="thm4.5"> <title>定理21。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M337"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个各种各样的团体。如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M338"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M339"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的团队,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M340"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>既<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M341"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>子群和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M342"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>商不可约组。</pgydF4y2Ba> </statement> <statement id="proof9"> <title>证明。</t我tle> 假设<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M343"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M344"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完美的组群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M345"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M346"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。因此,我们得出这样的结论:<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M347"> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M348"> <mml:mi> G</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。它很容易验证<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M349"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M350"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>商不可约组。</pgydF4y2Ba> </statement> 在下面的定理我们表明,子群的性质和商不可约集团对isologism关闭。</pgydF4y2Ba> <statement id="thm4.6"> <title>定理22。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M351"> <mml:mrow> <mml:mi> ϑ</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个各种各样的组织和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M352"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M353"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是两个<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M354"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>-isologic组。如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M355"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M356"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>子群和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M357"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>商不可约组,那么<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M358"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</pgydF4y2Ba> </statement> <statement id="proof10"> <title>证明。</t我tle> 让<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M359"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个正规子群<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M360"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这样<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M361"> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ∩</米米l:米o> <mml:mi> V</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:math> </inline-formula>。然后我们有<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M362"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≅</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>由定理<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M363"> <mml:mrow> <mml:mn> 5.1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B4"> 7</xrefgydF4y2Ba>]。因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M364"> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> ⊆</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M365"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。现在,假设<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M366"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:米text> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≅</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>所以<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M367"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,这意味着<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M368"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M369"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≅</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> H</米米l:米我> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我> </mml:math> </inline-formula>。一个可以很容易地检查结果时<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M370"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被假定为<我nl在e- - - - - -for米ul一个> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M371"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>商不可约组。</pgydF4y2Ba> </statement> </sec> <back> <sec> <title>相互竞争的利益</t我tle> 作者宣称没有利益冲突。</pgydF4y2Ba> </sec> <ref-list> <ref id="B1" content-type="article"> <label>1</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 大厅</年代urn一个米e> <given-names> P。</g我ven- - - - - -n一个米e年代> </name> </person-group> <article-title> 素数幂的分类组</一个rt我cle-title> <source> <italic> 毛死Reine和Angewandte Mathematik》杂志上</我t一个l我c> <year> 1940年</gydF4y2Bayear> <volume> 152年</volu米e> <fpage> 130年</fp一个ge> <lpage> 141年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 大厅</年代urn一个米e> <given-names> P。</g我ven- - - - - -n一个米e年代> </name> </person-group> <article-title> 语言和边际子组</一个rt我cle-title> <source> <italic> 毛死Reine和Angewandte Mathematik》杂志上</我t一个l我c> <year> 1940年</gydF4y2Bayear> <volume> 182年</volu米e> <fpage> 130年</fp一个ge> <lpage> 141年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Hekster</年代urn一个米e> <given-names> n S。</g我ven- - - - - -n一个米e年代> </name> </person-group> <article-title> 的结构<我t一个l我c> n</我t一个l我c>-isoclinism类组</一个rt我cle-title> <source> <italic> 纯粹与应用代数杂志》上</我t一个l我c> <year> 1986年</gydF4y2Bayear> <volume> 40</volu米e> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 63年</fp一个ge> <lpage> 85年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0022 - 4049 (86)90030 - 7</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d> <pub-id pub-id-type="other"> MR825181</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 38249042537</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>4</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 穆贾达姆</年代urn一个米e> <given-names> m·R·R。</g我ven- - - - - -n一个米e年代> </name> <name> <surname> Salemkar</年代urn一个米e> <given-names> a。R。</g我ven- - - - - -n一个米e年代> </name> <name> <surname> 塔</年代urn一个米e> <given-names> s M。</g我ven- - - - - -n一个米e年代> </name> </person-group> <article-title> Baer-invariants对两个品种的群体</一个rt我cle-title> <source> <italic> 代数讨论会</我t一个l我c> <year> 2001年</gydF4y2Bayear> <volume> 8</volu米e> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 145年</fp一个ge> <lpage> 151年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="other"> MR1838514</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 28144445448</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="book"> <label>5</l一个bel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 诺伊曼</年代urn一个米e> <given-names> H。</g我ven- - - - - -n一个米e年代> </name> </person-group> <source> <italic> 品种的群体</我t一个l我c> <year> 1967年</gydF4y2Bayear> <publisher-loc> 柏林,德国</publ是her- - - - - -loc> <publisher-name> 施普林格</publ是her- - - - - -n一个米e> <pub-id pub-id-type="other"> MR0215899</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>6</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Leedham-Green</年代urn一个米e> <given-names> c·R。</g我ven- - - - - -n一个米e年代> </name> <name> <surname> 麦凯</年代urn一个米e> <given-names> 年代。</g我ven- - - - - -n一个米e年代> </name> </person-group> <article-title> Baer-invariants isologism,品种法律和同源性</一个rt我cle-title> <source> <italic> 数学学报</我t一个l我c> <year> 1976年</gydF4y2Bayear> <volume> 137年</volu米e> <issue> 1 - 2</我年代年代ue> <fpage> 99年</fp一个ge> <lpage> 150年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / BF02392415</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d> <pub-id pub-id-type="other"> MR0435250</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0002856924</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>7</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Hekster</年代urn一个米e> <given-names> n S。</g我ven- - - - - -n一个米e年代> </name> </person-group> <article-title> 各种团体和isologisms</一个rt我cle-title> <source> <italic> 澳大利亚数学学会杂志》上</我t一个l我c> <year> 1989年</gydF4y2Bayear> <volume> 46</volu米e> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 22</fp一个ge> <lpage> 60</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1017 / s1446788700030366</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d> <pub-id pub-id-type="other"> MR966283</pub- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -我d> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>8</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 穆贾达姆</年代urn一个米e> <given-names> m·R·R。</g我ven- - 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