在参数度量空间和定点定理类型的映射

文摘

我们引入一个参数的概念度量空间的泛化参数度量空间。使用一些广泛的映射,我们证明了定点定理参数度量空间。重要的是要获得新的参数定点定理因为存在一些参数度量空间指标不生成任何参数指标。我们预计,许多数学家将研究各种定点定理使用新的扩张映射参数(或收缩映射)度量空间。

1。介绍和背景

收缩条件已经开始通过研究巴拿赫的收缩原理。这些条件已在各定点定理用于一些广义度量空间。然后介绍了广阔的条件(1)和新定点结果使用的映射。

最近,一个的概念一些数学家的指标进行了研究。这一概念被引入Sedghi等人(2)如下。

定义1(见[2])。让是一个非空的设置,让是一个函数。被称为一个指标上如果, 当且仅当, ,为每一个。这一对被称为一个度量空间。

使用的概念度量空间,各种有意义的定点研究取得的一些研究人员(见[2- - - - - -6更多细节)。

一个度量和一个之间的关系度量是研究的一个例子指标不生成任何度量了在3,4]。

之后,介绍了参数度量空间的概念和一些基本概念,如收敛序列和柯西序列被定义在[7]。我们回忆起下面的定义。

定义2(见[7])。让是一个非空的设置,让是一个函数。被称为参数指标如果, 当且仅当, , ,为每一个和所有。这一对被称为参数度量空间。

定义3(见[7])。让是一个参数度量空间,让是一个序列:(1) 收敛于当且仅当存在这样 对所有和所有;也就是说, 它是用。(2) 被称为柯西序列,如果, (3) 被称为完整的如果每个柯西序列收敛。

在以下定义,参数的概念度量空间的泛化参数度量空间。

定义4(见[8])。让是一个非空的集合,让是一个实数,让是一个函数。被称为参数指标上如果, 当且仅当, , ,为每一个和所有。这一对被称为参数度量空间。

请注意,参数指标有时被称为一个参数根据一个实数度量在上面的定义(见[9])。

一些定点定理仍然调查使用参数度量空间的概念和参数度量空间各种收缩或膨胀映射(见[7- - - - - -10更多细节)。例如,侯赛因等人证明了一些定点定理完整参数度量空间和直觉模糊度量空间三角形7]。此外,侯赛因等人介绍了参数的概念度量空间和调查一些定点的结果(8]。贾殷等人建立了一些定点,常见的定点,重合点定理进行广泛的类型映射参数度量空间和参数度量空间(10]。Rao等人获得两个常见的定点定理参数度量空间(9]。

本文的目的是介绍参数的概念规,给一些基本事实。我们给两个参数的例子指标不生成任何参数指标。我们证明一些定点的结果在不同的参数映射度量空间。同时,我们用一些例子来验证我们的结果。

2。参数度量空间

在本节中,我们引入了“参数的概念度量空间”,让这个空间的一些基本性质。同时,我们研究一个参数指标和参数之间的关系度量(分别地。,一个参数指标和参数度量)。

定义5。让是一个非空的设置,让是一个函数。被称为参数指标上如果, 当且仅当, ,为每一个和所有。这一对被称为参数度量空间。

现在我们给以下参数的例子度量空间。

例6。让和函数被定义为 为每一个和所有。然后是一个参数指标和对是一个参数度量空间。

例7。让和函数被定义为 为每一个和所有,在那里是一个连续函数。然后是一个参数指标和对是一个参数度量空间。

示例8。让和函数被定义为 为每一个和所有,在那里是一个连续函数。然后是一个参数指标和对是一个参数度量空间。

我们证明以下引理可视为对称条件参数度量空间。

引理9。让是一个参数度量空间。然后我们有 为每一个和所有。

证明。使用条件,我们获得 不平等(8),我们有

现在我们给一个参数指标和参数之间的关系指标在以下引理。

引理10。让是一个参数度量空间,让函数被定义为 为每一个和所有。然后是一个参数指标和对是一个参数度量空间。

证明。它可以很容易地从定义2和5。

我们所说的参数指标作为参数指标所产生的。请注意,存在参数指标令人满意的对所有参数指标。我们给一些例子。

例11。让和函数被定义为 为每一个和所有。然后是一个参数指标和对是一个参数度量空间。我们有;也就是说,不是生成的参数指标吗。

示例12。让和函数被定义为 为每一个和所有。然后是一个参数指标和对是一个参数度量空间。我们有;也就是说,不是生成的参数指标吗。

在以下引理,我们看到一个参数之间的关系指标和参数度规。

引理13。让是一个参数度量空间和函数被定义为 为每一个和所有。然后是一个参数指标和对是一个参数度量空间。

证明。使用条件,我们看到的条件和感到满意。现在我们显示状态是满意的。使用条件和引理9,我们有 这意味着 然后是一个参数指标与。

备注14。注意到的最小值是。所以它应该是;也就是说,在引理没有定义一个参数度量13。

定义15。让是一个参数度量空间,让是一个序列:(1) 收敛于当且仅当存在这样 对所有和所有;也就是说, 它是用。(2) 被称为柯西序列,如果, (3) 被称为完整的如果每个柯西序列收敛。

引理16。让是一个参数度量空间。如果收敛于,然后是独一无二的。

证明。让,让与。然后存在这样 为每一个,所有,。如果我们把那么,使用条件和引理9,我们得到 为每一个。因此和。

引理17。让是一个参数度量空间。如果收敛于,然后柯西。

证明。通过类似的参数用于引理的证明16,我们可以很容易看到是一个柯西序列。

由于引理10和定义15,我们获得以下推论。

推论18。让是一个参数度量空间,让是一个参数度量空间,是由参数指标。然后我们有以下:(1) 在当且仅当在。(2) 柯西在当且仅当柯西在。(3) 完成当且仅当吗就完成了。

定义19。让是一个参数度量空间,让的self-mapping。据说是一个连续映射在如果 对于任何序列在和所有这样

3所示。一些定点的结果

在本节中,我们给出一些定点结果的映射在一个完整的参数度量空间。

定义20。让是一个参数度量空间,让的self-mapping。
存在实数令人满意的和这样 为每一个和所有。

定理21。让是一个完整的参数度量空间,让是满射self-mapping。如果满足条件,然后有一个独特的定点在吗。

证明。使用假设,它可以很容易地看到是单射。事实上,如果我们把那么,使用条件,我们得到 对所有所以;也就是说,我们有自。
让我们表示的逆映射通过。让和定义的序列如下: 假设对所有。使用条件和引理9,我们有 这意味着 显然,我们有。因此,我们获得 如果我们把,然后我们得到,因为。重复这个过程的条件(28),我们发现 对所有。
让与。使用不平等(29日)和条件,我们有 如果我们采取限制,我们获得 因此柯西。然后存在这样 自是一个完整的参数度量空间。使用surjectivity假设,存在一个点这样。从条件,我们有 如果我们采取限制,我们获得 这意味着和。
现在我们的独特性。让是另一个固定的角度与。使用条件和引理9,我们得到 这意味着,因为。因此,有独特的定点。

我们给一些例子满足定理的条件21。

示例22。让是完整的度量空间的标准中定义的例子8。让我们定义self-mapping作为 对所有与和函数作为 对所有。然后满足条件的定理21与和。然后有独特的定点在。

示例23。让是完整的度量空间的标准中定义的例子8。让我们定义self-mapping作为 对所有与和函数作为 对所有。然后满足条件的定理21与和。然后有独特的定点在。

如果我们把在条件,然后我们得到下面的推论。

推论24。让是一个完整的参数度量空间,让是满射self-mapping。如果存在实数令人满意的和这样 为每一个和所有,然后有一个独特的定点在吗。

如果我们把和和和在定理21和推论24分别,我们获得以下推论。

推论25。让是一个完整的参数度量空间,让是满射self-mapping。如果存在一个实数这样 为每一个和所有,然后有一个独特的定点在吗。

推论26。让是一个完整的参数度量空间,让是满射self-mapping。如果存在一个正整数和一个实数这样 为每一个和所有,然后有一个独特的定点在吗。

证明。从推论25通过类似的方式使用的定理的证明21,它可以很容易地看到有独特的定点在。我们也 所以我们获得是一个固定的点。我们得到了,因为是唯一的不动点。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突有关的出版。