JMATH 数学杂志 2314 - 4785<我年代年代npub-type="ppub"> 2314 - 4629 Hindawi出版公司 10.1155 / 2016/4746732 4746732 研究文章 在参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> 年代 度量空间和定点定理类型的映射 http://orcid.org/0000 - 0002 - 4535 - 4019 Taş 罗德里 1 http://orcid.org/0000 - 0002 - 8152 - 1830 Yılmaz Ozgur 罗德里 1 伤势严重 Kaleem R。 数学系 Balıkesir大学 10145年Balıkesir 土耳其 balikesir.edu.tr 2016年 7 112016年年 2016年 29日 07年2016年年 11 102016年年 16 102016年年 7 112016年年 2016年 版权©2016罗德里Taş和罗德里Yılmaz Ozgur。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

我们引入一个参数的概念<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> 年代 度量空间的泛化参数度量空间。使用一些广泛的映射,我们证明了定点定理参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> 年代 度量空间。重要的是要获得新的参数定点定理<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> 年代 因为存在一些参数度量空间<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> 年代 指标不生成任何参数指标。我们预计,许多数学家将研究各种定点定理使用新的扩张映射参数(或收缩映射)<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> 年代 度量空间。 1。介绍和背景</t我tle><p>收缩条件已经开始通过研究巴拿赫的收缩原理。这些条件已在各定点定理用于一些广义度量空间。然后介绍了广阔的条件(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B10"> 1</xref>)gydF4y2Ba和新定点结果使用的映射。</gydF4y2Bap> <p>最近,一个的概念<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>一些数学家的指标进行了研究。这一概念被引入Sedghi等人<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2012年</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B8"> 2</xref>)gydF4y2Ba如下。</gydF4y2Bap> <statement id="deff1.1"> <title>定义1(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B8 " > < / xref > 2])。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的设置,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米fenced open="[" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个函数。<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>被称为一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标上<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果,<l是t><l是t- - - - - -我te米><l一个bel></label> </list-item> </list></p> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>当且仅当<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,</gydF4y2Bap> <list-item> <label></label> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,</gydF4y2Bap> </list-item> <p></p> <p>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。这一对<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被称为一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。</gydF4y2Bap> </statement> <p>使用的概念<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间,各种有意义的定点研究取得的一些研究人员(见[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B8"> 2</xref>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - -<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B9"> 6</xref>gydF4y2Ba更多细节)。</gydF4y2Bap> <p>一个度量和一个之间的关系<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量是研究的一个例子<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标不生成任何度量了在<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B1"> 3</xref>,<xrefgygydF4y2BadF4y2Baref-type="bibr" rid="B5"> 4</xref>gydF4y2Ba]。</gydF4y2Bap> <p>之后,介绍了参数度量空间的概念和一些基本概念,如收敛序列和柯西序列被定义在[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B2"> 7</xref>gydF4y2Ba]。我们回忆起下面的定义。</gydF4y2Bap> <statement id="deff1.2"> <title>定义2(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B2 " > < / xref > 7])。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的设置,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米fenced open="[" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个函数。<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>被称为参数指标<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果,<l是t><l是t- - - - - -我te米><l一个bel></label> </list-item> </list></p> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>当且仅当<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,</gydF4y2Bap> <list-item> <label></label> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,</gydF4y2Bap> </list-item> <list-item> <label></label> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,</gydF4y2Bap> </list-item> <p></p> <p>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。这一对<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被称为参数度量空间。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="deff1.3"> <title>定义3(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B2 " > < / xref > 7])。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数度量空间,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个序列<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>:<l是t><l是t- - - - - -我te米><l一个bel>(1)</l一个bel></l是t- - - - - -我te米> </list></p> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛于<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>当且仅当存在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> ε</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>;也就是说,<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>它是用<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mi></mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <list-item> <label>(2)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被称为柯西序列,如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 米</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </list-item> <list-item> <label>(3)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被称为完整的如果每个柯西序列收敛。</gydF4y2Bap> </list-item> <p></p> </statement> <p>在以下定义,参数的概念<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间的泛化参数度量空间。</gydF4y2Bap> <statement id="deff1.4"> <title>定义4(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B3 " > < / xref > 8])。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的集合,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>是一个实数,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米fenced open="[" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个函数。<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>被称为参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标上<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果,<l是t><l是t- - - - - -我te米><l一个bel></label> </list-item> </list></p> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mi> b</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>当且仅当<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,</gydF4y2Bap> <list-item> <label></label> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mi> b</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,</gydF4y2Bap> </list-item> <list-item> <label></label> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mi> b</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≤</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> +</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,</gydF4y2Bap> </list-item> <p></p> <p>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。这一对<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>被称为参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。</gydF4y2Bap> </statement> <p>请注意,参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标有时被称为一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>根据一个实数度量<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>在上面的定义(见[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B7"> 9</xref>gydF4y2Ba])。</gydF4y2Bap> <p>一些定点定理仍然调查使用参数度量空间的概念和参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间各种收缩或膨胀映射(见[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B2"> 7</xref>- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - -<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B4"> 10</xref>gydF4y2Ba更多细节)。例如,侯赛因等人证明了一些定点定理完整参数度量空间和直觉模糊度量空间三角形<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B2"> 7</xref>gydF4y2Ba]。此外,侯赛因等人介绍了参数的概念<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间和调查一些定点的结果(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B3"> 8</xref>gydF4y2Ba]。贾殷等人建立了一些定点,常见的定点,重合点定理进行广泛的类型映射参数度量空间和参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B4"> 10</xref>gydF4y2Ba]。Rao等人获得两个常见的定点定理参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B7"> 9</xref>gydF4y2Ba]。</gydF4y2Bap> <p>本文的目的是介绍参数的概念<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>规,给一些基本事实。我们给两个参数的例子<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标不生成任何参数指标。我们证明一些定点的结果在不同的参数映射<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。同时,我们用一些例子来验证我们的结果。</gydF4y2Bap> </sec> <sec id="sec2"> <title>2。参数< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M74 " > < mml: mrow > < mml: mi > S < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >度量空间</t我tle><p>在本节中,我们引入了“参数的概念<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间”,让这个空间的一些基本性质。同时,我们研究一个参数指标和参数之间的关系<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量(分别地。,一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标和参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量)。</gydF4y2Bap> <statement id="deff2.1"> <title>定义5。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个非空的设置,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米fenced open="[" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个函数。<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被称为参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标上<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果,<l是t><l是t- - - - - -我te米><l一个bel></label> </list-item> </list></p> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>当且仅当<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,</gydF4y2Bap> <list-item> <label></label> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,</gydF4y2Bap> </list-item> <p></p> <p>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。这一对<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>被称为参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。</gydF4y2Bap> </statement> <p>现在我们给以下参数的例子<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。</gydF4y2Bap> <statement id="ex2.1"> <title>例6。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> ∣</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext> 是一个函数</米米l:米text></米ml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和函数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米fenced open="[" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被定义为<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> g</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米fenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> g</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标和对<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="ex2.2"> <title>例7。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和函数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米fenced open="[" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被定义为<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> g</米米l:米我><米米l:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米fenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米fenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,在那里<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> →</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是一个连续函数。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标和对<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="ex2.3"> <title>示例8。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∪</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> {</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> }</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和函数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> →</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>被定义为<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ;</米米l:米o></米米l:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mtext> 如果</米米l:米text><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ;</米米l:米o></米米l:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi mathvariant="normal"> o</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> t</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> h</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> e</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> r</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> w</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 年代</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> e</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,在那里<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> →</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是一个连续函数。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标和对<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。</gydF4y2Bap> </statement> <p>我们证明以下引理可视为对称条件参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。</gydF4y2Bap> <statement id="lem2.1"> <title>引理9。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。然后我们有<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle><p>使用条件<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,我们获得<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.1"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (8)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>不平等(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 8</xref>),gydF4y2Ba我们有<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <p>现在我们给一个参数指标和参数之间的关系<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标在以下引理。</gydF4y2Bap> <statement id="lem2.2"> <title>引理10。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数度量空间,让函数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米fenced open="[" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被定义为<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标和对<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="proof2"> <title>证明。</t我tle><p>它可以很容易地从定义<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="deff1.2"> 2</xref>gydF4y2Ba和<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="deff2.1"> 5</xref>gydF4y2Ba。</gydF4y2Bap> </statement> <p>我们所说的参数指标<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>作为参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标所产生的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。请注意,存在参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>令人满意的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≠</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>对所有参数指标。我们给一些例子。</gydF4y2Bap> <statement id="ex2.4"> <title>例11。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和函数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米fenced open="[" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被定义为<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米fenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> c</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标和对<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。我们有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≠</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>;也就是说,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不是生成的参数指标吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="ex2.5"> <title>示例12。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> ∣</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我><米米l:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> b</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> e</米米l:米我><米米l:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:米我><米米l:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> f</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> u</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> n</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> c</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> t</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> o</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和函数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米fenced open="[" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被定义为<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> g</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米fenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> g</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> h</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标和对<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。我们有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≠</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>;也就是说,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不是生成的参数指标吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <p>在以下引理,我们看到一个参数之间的关系<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标和参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度规。</gydF4y2Bap> <statement id="lem2.3"> <title>引理13。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间和函数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米fenced open="[" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被定义为<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标和对<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="proof3"> <title>证明。</t我tle><p>使用条件<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,我们看到的条件<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mi> b</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mi> b</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>感到满意。现在我们显示状态<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mi> b</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是满意的。使用条件<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和引理<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="lem2.1"> 9</xref>,gydF4y2Ba我们有<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq14"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (14)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>指标与<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="rem2.1"> <title>备注14。</t我tle><p>注意到的最小值<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。所以它应该是<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> ≠</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>;也就是说,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在引理没有定义一个参数度量<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="lem2.3"> 13</xref>gydF4y2Ba。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="deff2.2"> <title>定义15。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个序列<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>:<l是t><l是t- - - - - -我te米><l一个bel>(1)</l一个bel></l是t- - - - - -我te米> </list></p> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛于<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>当且仅当存在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> ε</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>;也就是说,<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>它是用<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <list-item> <label>(2)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被称为柯西序列,如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 米</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </list-item> <list-item> <label>(3)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>被称为完整的如果每个柯西序列收敛。</gydF4y2Bap> </list-item> <p></p> </statement> <statement id="lem2.4"> <title>引理16。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛于<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是独一无二的。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="proof4"> <title>证明。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>与<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ≠</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。然后存在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq19"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (19)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> ε</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> ε</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mi> ε</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。如果我们把<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="normal"> 米</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> x</米米l:米我><米米l:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>那么,使用条件<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和引理<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="lem2.1"> 9</xref>,gydF4y2Ba我们得到<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq20"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> ε</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> ε</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> ε</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="lem2.5"> <title>引理17。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>收敛于<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>柯西。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="proof5"> <title>证明。</t我tle><p>通过类似的参数用于引理的证明<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="lem2.4"> 16</xref>,gydF4y2Ba我们可以很容易看到<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个柯西序列。</gydF4y2Bap> </statement> <p>由于引理<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="lem2.2"> 10</xref>gydF4y2Ba和定义<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="deff2.2"> 15</xref>,gydF4y2Ba我们获得以下推论。</gydF4y2Bap> <statement id="coro2.1"> <title>推论18。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数度量空间,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是由参数指标<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然后我们有以下:<l是t><l是t- - - - - -我te米><l一个bel>(1)</l一个bel></l是t- - - - - -我te米> </list></p> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>当且仅当<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <list-item> <label>(2)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>柯西在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>当且仅当<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>柯西在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </list-item> <list-item> <label>(3)</l一个bel><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>完成当且仅当吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>就完成了。</gydF4y2Bap> </list-item> <p></p> </statement> <statement id="deff2.3"> <title>定义19。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>的self-mapping<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>据说是一个连续映射<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>如果<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq21"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对于任何序列<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq22"> <mml:mtd> <mml:mtext> (22)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。一些定点的结果</t我tle><p>在本节中,我们给出一些定点结果的映射在一个完整的参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。</gydF4y2Bap> <statement id="deff3.1"> <title>定义20。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是一个参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>的self-mapping<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M269"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mi> P</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>存在实数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M270"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>令人满意的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M271"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2、3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M272"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M273"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq23"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M274"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M275"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="thm3.1"> <title>定理21。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M276"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个完整的参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M277"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M278"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是满射self-mapping<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M279"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M280"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足条件<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M281"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mi> P</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M282"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>有一个独特的定点在吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M283"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="proof6"> <title>证明。</t我tle><p>使用假设,它可以很容易地看到<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M284"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是单射。事实上,如果我们把<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M285"> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> b</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>那么,使用条件<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M286"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mi> P</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,我们得到<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M287"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq24"> <mml:mtd> <mml:mtext> (24)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M288"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>所以<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M289"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>;也就是说,我们有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M290"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>自<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M291"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <p>让我们表示的逆映射<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M292"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>通过<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M293"> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M294"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和定义的序列<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M295"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>如下:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M296"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq25"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (25)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>假设<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M297"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≠</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M298"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。使用条件<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M299"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mi> P</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和引理<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="lem2.1"> 9</xref>,gydF4y2Ba我们有<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M300"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq26"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M301"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq27"> <mml:mtd> <mml:mtext> (27)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>显然,我们有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M302"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≠</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。因此,我们获得<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M303"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (28)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>如果我们把<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M304"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后我们得到<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M305"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,因为<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M306"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。重复这个过程的条件(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq3.1"> 28</xref>),gydF4y2Ba我们发现<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M307"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (29)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M308"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M309"> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> N</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>与<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M310"> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。使用不平等(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq3.2"> 29日</xref>)gydF4y2Ba和条件<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M311"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> P</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,我们有<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M312"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq30"> <mml:mtd> <mml:mtext> (30)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>如果我们采取限制<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M313"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 米</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,我们获得<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M314"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq31"> <mml:mtd> <mml:mtext> (31)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 米</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M315"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>柯西。然后存在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M316"> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M317"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq32"> <mml:mtd> <mml:mtext> (32)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>自<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M318"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是一个完整的参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M319"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间。使用surjectivity假设,存在一个点<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M320"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>这样<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M321"> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。从条件<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M322"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mi> P</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,我们有<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M323"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq33"> <mml:mtd> <mml:mtext> (33)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>如果我们采取限制<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M324"> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,我们获得<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M325"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq34"> <mml:mtd> <mml:mtext> (34)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ≥</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M326"> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M327"> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <p>现在我们的独特性<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M328"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M329"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是另一个固定的角度<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M330"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>与<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M331"> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> ≠</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。使用条件<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M332"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mi> P</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和引理<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="lem2.1"> 9</xref>,gydF4y2Ba我们得到<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M333"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq35"> <mml:mtd> <mml:mtext> (35)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M334"> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> z</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,因为<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M335"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。因此,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M336"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>有独特的定点<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M337"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <p>我们给一些例子满足定理的条件<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="thm3.1"> 21</xref>gydF4y2Ba。</gydF4y2Bap> <statement id="ex3.1"> <title>示例22。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M338"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∪</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是完整的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M339"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M340"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>标准中定义的例子<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="ex2.3"> 8</xref>gydF4y2Ba。让我们定义self-mapping<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M341"> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∪</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∪</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>作为<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M342"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq36"> <mml:mtd> <mml:mtext> (36)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> β</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M343"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>与<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M344"> <mml:mi> β</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>和函数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M345"> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>作为<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M346"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq37"> <mml:mtd> <mml:mtext> (37)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M347"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M348"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足条件的定理<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="thm3.1"> 21</xref>gydF4y2Ba与<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M349"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> β</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M350"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M351"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>有独特的定点<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M352"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M353"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="ex3.2"> <title>示例23。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M354"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∪</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是完整的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M355"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M356"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>标准中定义的例子<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="ex2.3"> 8</xref>gydF4y2Ba。让我们定义self-mapping<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M357"> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∪</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∪</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>作为<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M358"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq38"> <mml:mtd> <mml:mtext> (38)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> n</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M359"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>与<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M360"> <mml:mi> β</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>和函数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M361"> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>作为<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M362"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq39"> <mml:mtd> <mml:mtext> (39)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> g</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M363"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> ∞</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M364"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>满足条件的定理<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="thm3.1"> 21</xref>gydF4y2Ba与<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M365"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> l</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ≠</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M366"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M367"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>有独特的定点<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M368"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M369"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <p>如果我们把<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M370"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在条件<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M371"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> 年代</米米l:米我><米米l:mi> P</米米l:米我><米米l:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,然后我们得到下面的推论。</gydF4y2Bap> <statement id="coro3.1"> <title>推论24。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M372"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是一个完整的参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M373"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M374"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是满射self-mapping<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M375"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。如果存在实数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M376"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>令人满意的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M377"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M378"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M379"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq40"> <mml:mtd> <mml:mtext> (40)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> x</米米l:米我><米米l:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M380"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M381"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M382"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>有一个独特的定点在吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M383"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <p>如果我们把<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M384"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M385"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M386"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M387"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>在定理<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="thm3.1"> 21</xref>gydF4y2Ba和推论<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="coro3.1"> 24</xref>gydF4y2Ba分别,我们获得以下推论。</gydF4y2Bap> <statement id="coro3.2"> <title>推论25。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M388"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个完整的参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M389"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M390"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是满射self-mapping<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M391"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。如果存在一个实数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M392"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M393"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq41"> <mml:mtd> <mml:mtext> (41)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M394"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M395"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M396"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>有一个独特的定点在吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M397"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="coro3.3"> <title>推论26。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M398"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个完整的参数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M399"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>度量空间,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M400"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是满射self-mapping<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M401"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。如果存在一个正整数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M402"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和一个实数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M403"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>这样<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M404"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq42"> <mml:mtd> <mml:mtext> (42)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为每一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M405"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> b</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M406"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M407"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>有一个独特的定点在吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M408"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="proof7"> <title>证明。</t我tle><p>从推论<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="coro3.2"> 25</xref>gydF4y2Ba通过类似的方式使用的定理的证明<xrefgydF4y2Baref-type="statement" rid="thm3.1"> 21</xref>,gydF4y2Ba它可以很容易地看到<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M409"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>有独特的定点<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M410"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M411"> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。我们也<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M412"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq43"> <mml:mtd> <mml:mtext> (43)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> T</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>所以我们获得<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M413"> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是一个固定的点<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M414"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。我们得到了<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M415"> <mml:mi> T</米米l:米我><米米l:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,因为<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M416"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是唯一的不动点。</gydF4y2Bap> </statement> </sec> <back> <sec> <title>相互竞争的利益</t我tle><p>作者宣称没有利益冲突有关的出版。</gydF4y2Bap> </sec> <ref-list> <ref id="B10" content-type="article"> <label>1</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 王</年代urn一个米e><g我ven-names> 美国Z。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 李</年代urn一个米e><g我ven-names> b . Y。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 高</年代urn一个米e><g我ven-names> z . M。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Iseki</年代urn一个米e><g我ven-names> K。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 一些不动点定理的映射</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> Mathematica粳稻</我t一个l我c><ye一个r> 1984年</ye一个r><volume> 29日</gydF4y2Bavolume> <fpage> 631年</fgydF4y2Bapage> <lpage> 636年</lgydF4y2Bapage> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>2</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Sedghi</年代urn一个米e><g我ven-names> 年代。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Shobe</年代urn一个米e><g我ven-names> N。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Aliouche</年代urn一个米e><g我ven-names> 一个。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 一个泛化S-metric空间的不动点定理</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> Matematički Vesnik</我t一个l我c><ye一个r> 2012年</ye一个r><volume> 64年</gydF4y2Bavolume> <issue> 3</我年代年代ue><fpage> 258年</fgydF4y2Bapage> <lpage> 266年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="other"> Zbl1289.54158</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B1" content-type="article"> <label>3</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Hieu</年代urn一个米e><g我ven-names> n . T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Thanh Ly</年代urn一个米e><g我ven-names> n . T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 粪</年代urn一个米e><g我ven-names> n V。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 对地图的泛化ciric quasi-contractions S-metric空间</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 泰国《数学</我t一个l我c><ye一个r> 2015年</ye一个r><volume> 13</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</我年代年代ue><fpage> 369年</fgydF4y2Bapage> <lpage> 380年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="other"> MR3399899</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="incollection"> <label>4</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ozgur</年代urn一个米e><g我ven-names> n Y。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Taş</年代urn一个米e><g我ven-names> N。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 一些不动点定理的推广<我t一个l我c>年代</我t一个l我c>度量空间</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 论文在数学及其应用:弗拉基米尔·阿诺德的荣誉</我t一个l我c><ye一个r> 2016年</ye一个r><publisher-loc> 纽约,纽约,美国</gydF4y2Bapublisher-loc> <publisher-name> 施普林格</gydF4y2Bapublisher-name> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / 978 - 3 - 319 - 31338 - 2 _11</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="unpublished"> <label>5</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Ozgur</年代urn一个米e><g我ven-names> n Y。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Taş</年代urn一个米e><g我ven-names> N。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 一些不动点定理S-metric空间</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> Matematički Vesnik</我t一个l我c><co米米ent> 在新闻</co米米ent></ele米ent-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>6</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Sedghi</年代urn一个米e><g我ven-names> 年代。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 粪</年代urn一个米e><g我ven-names> n V。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> S-metric空间的不动点定理</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> Matematichki Vesnik</我t一个l我c><ye一个r> 2014年</ye一个r><volume> 66年</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 113年</fgydF4y2Bapage> <lpage> 124年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="other"> MR3164931</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>7</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 侯赛因</年代urn一个米e><g我ven-names> N。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Khaleghizadeh</年代urn一个米e><g我ven-names> 年代。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Salimi</年代urn一个米e><g我ven-names> P。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Abdou</年代urn一个米e><g我ven-names> 答:a . N。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 一种新的不动点方法导致三角直觉模糊度量空间</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 抽象和应用分析</我t一个l我c><ye一个r> 2014年</ye一个r><volume> 2014年</gydF4y2Bavolume> <lpage> 16</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 690139年</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2014/690139</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR3198232</gydF4y2Bapub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84900002816</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>8</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 侯赛因</年代urn一个米e><g我ven-names> N。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Salimi</年代urn一个米e><g我ven-names> P。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Parvaneh</年代urn一个米e><g我ven-names> V。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 定点结果各种收缩参数和模糊b-metric空间</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 非线性科学及其应用》杂志上</我t一个l我c><ye一个r> 2015年</ye一个r><volume> 8</gydF4y2Bavolume> <issue> 5</我年代年代ue><fpage> 719年</fgydF4y2Bapage> <lpage> 739年</lgydF4y2Bapage> <pub-id pub-id-type="other"> MR3361320</gydF4y2Bapub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>9</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 饶</年代urn一个米e><g我ven-names> k·p·R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 先生</年代urn一个米e><g我ven-names> d . V。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Ramudu</年代urn一个米e><g我ven-names> e . T。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 一些独特的公共不动点定理在参数s-metric空间中</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> 国际创新研究期刊》的研究在科学、工程和技术</我t一个l我c><ye一个r> 2014年</ye一个r><volume> 3</gydF4y2Bavolume> <issue> 7</我年代年代ue><fpage> 14375年</fgydF4y2Bapage> <lpage> 14387年</lgydF4y2Bapage> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>10</l一个bel><ele米ent- - - - - -c我t一个t我on publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 耆那教徒的</年代urn一个米e><g我ven-names> R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Daheriya</年代urn一个米e><g我ven-names> r D。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Ughade</年代urn一个米e><g我ven-names> M。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 定点,巧合点和不动点定理在不同的环境参数度量空间和参数b-metric空间</一个rt我cle- - - - - -t我tle> <source> <italic> Gazi大学科学杂志》上</我t一个l我c><ye一个r> 2016年</ye一个r><volume> 29日</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 95年</fgydF4y2Bapage> <lpage> 107年</lgydF4y2Bapage> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>