图生成的措施

文摘

在这篇文章中,一个图是分配给任何概率测度波莱尔集的代数拓扑空间。使用这种结构,它是证明任何数量(有限或无限)存在一个非正规的图这样的小团体,彩色,控制数量=。

1。介绍

图的两个顶点之间的距离是边的数量在一个最短路径连接它们。图的直径图的两个顶点之间的最长路径。

集团是一个子集的无向图的顶点,这样它的诱导子图完成;也就是说,每两个截然不同的小团体的顶点相邻。集团的一个图表是图中顶点最大派系的数量和用吗。色多项式的项数的方法一个图表可以使用不超过一个给定颜色的颜色和用。

一组一个图的顶点如果每个顶点是一套的吗是一种元素的或相邻的元素。控制数量的图的最小支配集的基数吗。

一个独立设置或稳定集是一组顶点的图,没有被相邻的其中两个。最大独立集是一个独立的最大可能大小对于一个给定的图。这叫做独立数量的大小和表示。

很多图都由代数对象(如半群([1)、组([2,3])和环([4,5])。最近一些图表由希尔伯特和拓扑空间([6,7)具有不错的图理论属性。这激励我们构建一个更大的一类图的属性。在本文中,我们介绍一个类图生成的措施。使用这种结构,我们认为,鉴于任何号码(有限或无限),存在一个非正规的图这样的小团体,彩色,控制数字一致,等于。

给定一个测度空间,一组被称为一个原子,如果积极措施,对于每一个吗,要么或是零。它是容易获得的,如果定义是一个原子和,然后也是一个原子。是一个原子测量敌我识别每一个可测集的积极措施包含一个原子。我们可能会说,如果没有原子是原子。因此,在一个原子的措施,每个原子可测集的积极措施可以分成两个不相交的可测集,在那里他们有积极的措施。一个可以很容易地看到零测量是唯一从原子以及原子测量。

让是一个可测量的空间和和有两个措施。我们说绝对是连续的对吗,用敌我识别,对于每一个可测集,每当。

我们说是单数对吗和用如果,因为任何,存在一些,这样和。人们很容易看到,在这种情况下很容易看出以下引理。

引理1。两个原子措施相互奇异当且仅当相应的原子没有常见的元素集。

约翰逊在[8]证明了以下关于原子和非原子措施有用的结果。

结果1。如果是一个原子和,然后或是一个原子。

结果2。对于一个给定的测量在一个代数,有独特的措施和,这样,,是原子,是原子的。

2。定义和例子

让是一个拓扑空间是代数波莱尔的子集。我们也是一个概率测度。集 换句话说,是集所有绝对连续波莱尔措施对吗。定义以下关系: 换句话说,当且仅当可测集我们有 很明显,是一个等价关系。表示的等价类通过,让 为简单起见,我们写为。

我们定义了一个图与顶点的集合,两个顶点和当且仅当相邻吗和相互奇异。显然,上面的邻接定义是定义良好的。收集所有的边缘用。因此,我们可能会分配一个图任何概率波莱尔的措施在。

例2。让。如果狄拉克测量集中在吗,然后和;所以由一个没有边缘的顶点。

例3。让,,。让。然后在哪里和是相邻的。

例4。让是这样的,和是三个不同的元素。如果然后 在哪里 另外,每个是相邻的为。是相邻的如果。没有其他顶点邻边。

下面的例子的确是前面的例子的概括,提出了图对应于一个有限原子测量。

例5。让是一个有限原子测量用有限数目的原子是不同的点和是这样的,。然后 在哪里 由引理1,两个顶点和当且仅当相邻吗对所有和。

3所示。有限原子措施的图形

在本文的其余部分,通过原子测量,我们的意思是一个有限原子测量与有限数目的原子。在本节中,我们研究了图对应原子措施和状态的一些属性。原子的措施的情况下的特殊利益团体,因为相应的图是有限的,可以可视化和枚举。

下面的定理满足原子的措施。

定理6。一个原子的措施一个有以下。(1) ,在那里和是不相交的。(2) 对于任何。

证明。(1)持有一部分,因为每个元素的支持应该包含在。
(2)证明部分,让然后。中提到的例子5,一个顶点是相邻的当且仅当。因此应的形式。
这样的顶点的数量 这就完成了证明。

定理7。一个原子的措施,一个有以下:(1) 。(2) 。

证明。()自是一套集团,接下去。
因为所有的元素两两相邻的那么。为了证明平等,我们的着色与完全颜色。为,让是一个颜色分配到顶点。现在,对于,指定颜色,在那里 显然,有确切颜色用于前面的着色。同样,没有相邻的顶点有相同的颜色,因为这两个顶点和当且仅当相邻吗;因此 所以。它完成的证明。
最后,由于是一组控制然后。
现在假设,是一组控制。集原子的集合,它们的系数非零。是一个偏序集的包含关系。通过改变指数我们可以写,其中任何每一组最小吗并不是为其他指数最小集合。公理的选择,每一个,一个人可以选择一个原子,在那里(模块),每一个可以选择。
现在定义。很容易验证既不相邻,也不等于任何元素的,这是矛盾的假设是一个支配集。
()因为每个顶点相邻的至少一个元素的设置和所有的顶点是相邻的,那么对所有。另一方面,集和。显然,路径 的最小长度;因此;因此

下面的定理决定了自同构群,在那里是一个原子的措施。

定理8。对于任何原子测量一个人 在哪里群排列吗。

证明。让。定义的映射 通过 很明显是一个双射;所以。现在,定义 通过 它很容易看到是一个单射群同态。完整的证据,足以证明是满射。
要做到这一点,让。对于任何给定的根据定理6的数量,因为相邻的措施应该是相同的我们有 对于一些。
让被定义为。所以 我们表明,。让任何给定的元素。我们也 我们应该显示 或者同样的 让。自是满射,存在一个自然号码吗这样。注意,因为然后顶点和是相邻的。自的顶点和相邻的这意味着顶点吗和邻近的;因此。
在前面的讨论结果 但两组有相同的基数,即;因此 这就完成了证明。

定理9。让是一个原子测量;然后。

证明。为和,两个顶点和不相邻,因为是一种常见的指数都有和。因此,一组 是一个独立的组,基本组合计数原理 因此我们有独立设置基数
观察到,因为任何顶点可以写成,在那里是一个非空的真子集的。
现在假设是一个独立的组吗。对于每一个,定义,在那里。显然,每,是相邻的;因此。
为不同的的年代,相对的是不同的;因此我们会有。最后,我们可以说

4所示。一般的措施

在前一节中,我们讨论了图分配到原子的措施。在本节中,我们研究一般情况下。

定理10。对于一个给定的测量,如果和的两个顶点,一个有以下。(1) 敌我识别和相互奇异。(2) 敌我识别和并不相互奇异,但对于一些可测集吗积极的措施,。(3) 敌我识别和并不是相互奇异,但对于没有可测集积极的措施,。

证明。(),它是由定义。
()如果条件,然后由第一部分。定义测量通过对于每一个在。很明显。自,然后。的定义,一个人可以获得。我们也有 也就是说,和。因此是一个路径和;因此我们有
现在假设;因此对于一些,我们可能和。因此,对于一些非零可测集和,我们将 因此我们有 如果然后;因此,一个矛盾。因此;因此。这就足够了。
()如果,没有一个部分的条件(1)和(2);因此这部分中提到的条件将发生。
如果部分(3)的条件,根据定义的和,因为不包含(实际上),对于一些非零可测集和,我们有 在哪里。现在我们可以定义两个措施和通过 因此我们会有,它显示了。
通过部分(1)和(2),我们可以推断出。

的结果2,每一个措施可以分解成两个相互单一的措施:一是原子的,另一种是原子。我们称之为原子测量原子的组成部分另一个原子的部分。

定理11。如果原子的一部分是零,那么

证明。的结果2,假设,在那里是原子,原子的一部分吗。
自,对于一些,我们将和。所以,。集。自原子,我们可以分裂吗分成两个不相交的可测集与积极的测量。让成为其中一员。继续前面的过程中,存在一个序列非零的可测集,因此一个序列用积极测量,因此积极测量。
现在定义对所有。它很容易看到是相互奇异、对所有,也就是说,是一个集团的。

推论12。如果原子的一部分是零,那么

在接下来的定理,我们也考虑控制数量。

定理13。如果原子的一部分是零,那么统治的不能是有限的。

证明。让,在那里是原子,原子的一部分吗。假设是一组控制的。
让,。是一个偏序集,包含关系。集的最小元素。假设和两个子集这样因此,。
对于每一个,我们可以选择一个非零可测集与和。让。
现在定义的测量通过这是一个衡量不同于所有的他们都没有的年代和相邻。与假设是一个矛盾是一个支配集。因此,每个控制集是无限的。

定理14。如果原子的一部分是零,那么。

证明。假设的定理,有一些可测集不包含任何原子的积极措施,因此有一个可测集序列 这样 现在定义的一系列措施通过为。根据定义的的我们有。现在假设一些我们有。因此,对于,有一些,在那里和。但根据定义这是一个矛盾。因此,我们得出这样的结论是一个独立的组吗,这不是有限的,证明了定理。

应用本文给出的材料,我们将有以下推论。

推论15。给定任意数量(有限或无限),存在一个非正规的图这样

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。