辛复曲面的几何和正则十二面体

文摘

常规的十二面体是唯一简单多面体之间的柏拉图式的固体不理性的。因此,对应一个辛环面的歧管和辛复曲面orbifold。在本文中,我们将定期十二面体高度奇异空间称为辛环面的quasifold。

1。介绍

根据Delzant(一个著名的定理1)之间存在着一一对应辛环面的集合管和简单合理的凸多面体满足一种特殊的完整性条件。Delzant定理的重要特性之一是它提供了一个明确的程序计算辛流形,对应于每个给定的多面体。事实证明,有许多重要的例子简单凸多面体不属于这类,因为他们不满足Delzant完整性的条件,或者,更糟糕的是,因为他们没有理性的。常规的十二面体是最引人注目的例子之一的一个简单的多面体,不是理性的。在本文中,我们应用一个泛化的Delzant建设(2)简单的非理性凸多面体和我们副常规十二面体辛环面的quasifold。Quasifolds繁殖的自然推广,orbifolds介绍作者在2];他们不一定是豪斯多夫空间和局部建模复写的被除数和离散群体的作用。

本文的结构如下。节2,我们回忆起广义Delzant建设。节3我们应用这个建设,定期十二面体和我们描述相应的辛环面的quasifold。

2。广义Delzant建设

我们首先回顾几个有用的定义。

定义1(简单多面体)。一个维度凸多胞形据说是简单的如果它的每个顶点都包含在完全方面。

定义2 (quasilattice)。一个quasilattice在是可一组生成向量,的,。

请注意,是一个普通的格当且仅当它承认一组发电机的基础是什么。

现在考虑一个维度凸多胞形有方面。然后,存在的元素在和在这样

定义3 (quasirational多面体)。让是一个quasilattice。一个凸多面体据说是quasirational关于如果向量在(1可以选择)。

我们的话,每个多面体是quasirational对一些quasilattice吗:把quasilattice所生成的元素在(1)。注意,如果可以选择在一个普通的格子,然后通常意义上的多面体是理性的。

定义4 (quasitorus)。让quasilattice。我们称之为quasitorus的维度集团和quasifold。

辛的定义和主要特性quasifolds和哈密顿辛quasifolds quasitori行为,我们参考读者2,3]。另一方面,所需的基本事实多面体可以找到在齐格勒的书4]。现在我们已经准备好回忆从[2广义Delzant建设。对于本文的目的,我们将限制我们的特殊情况。

定理5。让是一个quasilattice,让是一个简单的凸多面体quasirational对。然后,存在一个维辛quasifold紧凑联系和有效哈密顿quasitorus的行动在这样的形象映射相应的时刻。

证明。让我们考虑的空间具有标准的辛形式和环的作用给出的 这是一个有效哈密顿行动时刻给出的映射 映射是正确的,其形象是由锥吗,在那里表示积极的象限。现在把向量和实数在(1)。考虑到满射线性映射 考虑到尺寸quasitorus。然后,线性映射引发一个quasitorus满射。定义现在的内核映射并选择。表示由李代数的包容注意,是一个时刻映射的诱导作用在。然后,根据(2,定理),商是一个被赋予了哈密顿辛quasifold quasitorus的行动。自是内射,是适当的,quasifold吗紧凑。如果我们确定quasitori和通过满射,我们得到一个哈密顿quasitorus的行动的时刻映射形象等于这正是。水平集以来的这一行动是有效的包含表单的点,,,那里的动作片是免费的。最后请注意。

注6。我们会说,是一个辛环面的quasifold相关的多面体。的quasifoldquasilattice取决于我们的选择对该多面体quasirational和我们选择的向量。注意的情况多胞形简单、合理,但不一定满足Delzant完整性的条件下,由Lerman治疗,杜尔曼(5]。他们允许orbifold奇点的概念,介绍了辛环面的orbifold。

3所示。常规的十二面体从辛的观点

让所得的十二面体为中心在原点,顶点 在哪里是黄金比例和满足(见图1)。这是一个众所周知的事实,多面体很简单但不理性的。然而,考虑到quasilattice这是由下列向量生成: 我们的话,这六个向量和他们对立的十二个顶点一个常规的二十面体,是镌刻在球体的半径(见图2和3)。的quasilattice在物理的简单的二十面体晶格(6]。现在,一个简单的计算显示 在哪里和,因为。因此,quasirational对吗。让我们执行广义Delzant建设对和向量。在定理的证明5,我们认为满射的线性映射 很容易看到,以下关系 暗示的内核,,是维子空间的这是由向量张成 由于向量,,生成quasilattice,该集团连接和由集团吗。此外,目前诱导映射动作片有组件如下: 的水平集所描述的是通过设置这些组件的方程。最后,辛环面的quasifold是由紧凑维quasifold。的quasitorus作用于哈密顿的方式,图像相应时刻的映射完全由十二面体。的作用有固定的点,和那一刻映射将它们发送给另一个十二面体的顶点。的quasifold有阿特拉斯做的图表,每一个都是围绕着一个不同的不动点。给一个想法的地方的行为周围的图表中,我们将描述映射到顶点的定点。考虑到开放的社区的在定义的不平等现象如下: 并考虑以下片这是横向的轨道 在哪里,, 映射引发一个同胚 开放的子集的是商 和离散群是由 三定义了一个定点顶点对应图表。另一个图表可以以类似的方式进行描述。

注7。根据与巴塔利亚[共同工作7),任何非理性简单多面体也可以联系起来复杂环面的quasifold。如果我们运用明确的建设(7)定期十二面体,类似于偶对的情况下,我们得到一个复杂-quasifoldquasitorus赋予一个动作的复杂。这个动作是正则的,密集的开放的轨道。此外,由[7,定理),quasifold是-equivariantly diffeomorphic来和诱导辛形式是卡勒。

注8。唯一的其他柏拉图式的固体简单的立方体和正四面体。他们都满足Delzant定理的假设。通过应用Delzant过程多维数据集,对标准的晶格,我们得到辛复曲面的歧管;通过应用到四面体,子格的这是由8向量生成,我们得到辛复曲面的歧管。另一方面,剩下的柏拉图式的固体,普通的八面体和普通的二十面体,并不简单。在这些情况下,Delzant程序和我们的推广不会工作。八面体是理性的,因此,标准的复曲面的几何应用:描述的八面体是相关的复曲面的品种,例如,在[8,部分]。二十面体,另一方面,是不合理的。然而,通过工作的人群在任意凸多面体9,10),一个可以联系到二十面体,辛和复杂的范畴,由quasifolds空间分层。顺便说一下,等待的人群的方法也可以应用于八面体,产生,在这种情况下,空间分层的集合管。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项研究部分由格兰特普林斯顿2010 nnbz78_012 (MIUR、意大利)和由GNSAGA (INDAM、意大利)。照片都是用ZomeCAD。

引用

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3. f·巴塔利亚和e·普拉托,”辛彭罗斯的风筝”,通信的数学物理,卷299,不。3、577 - 601年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
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6. d . s . Rokhsar n·d·梅尔曼,d . c . Wright”基本quasicrystallography:二十面体和十边形的互惠晶格,”物理评论。b .凝聚态,35卷,不。11日,第5495 - 5487页,1987年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
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9. f·巴塔利亚,“凸多面体和quasilattices从辛的角度来看,“通信的数学物理,卷269,不。2、283 - 310年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
10. f·巴塔利亚,“从任意凸多面体几何空间。”国际数学杂志,23卷,不。1、文章ID 1250013, 39页,2012。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet

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