2。广义Delzant建设
我们首先回顾几个有用的定义。
定义1(简单多面体)。
一个维度<我nl在e- - - - - -formula>
n
凸多胞形<我nl在e- - - - - -formula>
Δ
⊂
(
R
n
)
∗
据说是<我talic>
简单的如果它的每个顶点都包含在完全<我nl在e- - - - - -formula>
n
方面。
定义2 (quasilattice)。
一个<我talic>
quasilattice在<我nl在e- - - - - -formula>
R
n
是<我nl在e- - - - - -formula>
Z
可一组<我nl在e- - - - - -formula>
R
生成向量,<我nl在e- - - - - -formula>
Y
1
,
…
,
Y
d
的,<我nl在e- - - - - -formula>
R
n
。
请注意,<我nl在e- - - - - -formula>
年代
p
一个
n
Z
{
Y
1
,
…
,
Y
d
}
是一个普通的格当且仅当它承认一组发电机的基础是什么<我nl在e- - - - - -formula>
R
n
。
现在考虑一个维度<我nl在e- - - - - -formula>
n
凸多胞形<我nl在e- - - - - -formula>
Δ
⊂
(
R
n
)
∗
有<我nl在e- - - - - -formula>
d
方面。然后,存在的元素<我nl在e- - - - - -formula>
X
1
,
…
,
X
d
在<我nl在e- - - - - -formula>
R
n
和<我nl在e- - - - - -formula>
λ
1
,
…
,
λ
d
在<我nl在e- - - - - -formula>
R
这样
(1)
Δ
=
⋂
j
=
1
d
μ
∈
R
n
∗
∣
μ
,
X
j
≥
λ
j
。
定义3 (quasirational多面体)。
让<我nl在e- - - - - -formula>
问
是一个quasilattice<我nl在e- - - - - -formula>
R
n
。一个凸多面体<我nl在e- - - - - -formula>
Δ
⊂
(
R
n
)
∗
据说是<我talic>
quasirational关于<我nl在e- - - - - -formula>
问
如果向量<我nl在e- - - - - -formula>
X
1
,
…
,
X
d
在(
1 可以选择)<我nl在e- - - - - -formula>
问
。
我们的话,每个多面体<我nl在e- - - - - -formula>
(
R
n
)
∗
是quasirational对一些quasilattice吗<我nl在e- - - - - -formula>
问
:把quasilattice所生成的元素<我nl在e- - - - - -formula>
X
1
,
…
,
X
d
在(
1 )。注意,如果<我nl在e- - - - - -formula>
X
1
,
…
,
X
d
可以选择在一个普通的格子,然后通常意义上的多面体是理性的。
定义4 (quasitorus)。
让<我nl在e- - - - - -formula>
问
⊂
R
n
quasilattice。我们称之为<我talic>
quasitorus的维度<我nl在e- - - - - -formula>
n
集团和quasifold<我nl在e- - - - - -formula>
D
n
=
R
n
/
问
。
辛的定义和主要特性quasifolds和哈密顿辛quasifolds quasitori行为,我们参考读者
2 ,
3 ]。另一方面,所需的基本事实多面体可以找到在齐格勒的书
4 ]。现在我们已经准备好回忆从[
2 广义Delzant建设。对于本文的目的,我们将限制我们的特殊情况<我nl在e- - - - - -formula>
n
=
3
。
定理5。
让<我nl在e- - - - - -formula>
问
是一个quasilattice<我nl在e- - - - - -formula>
R
3
,让<我nl在e- - - - - -formula>
Δ
⊂
(
R
3
)
∗
是一个简单的凸多面体quasirational对<我nl在e- - - - - -formula>
问
。然后,存在一个<我nl在e- - - - - -formula>
6
维辛quasifold紧凑联系<我nl在e- - - - - -formula>
米
和有效哈密顿quasitorus的行动<我nl在e- - - - - -formula>
D
3
=
R
3
/
问
在<我nl在e- - - - - -formula>
米
这样的形象映射相应的时刻<我nl在e- - - - - -formula>
Δ
。
证明。
让我们考虑的空间<我nl在e- - - - - -formula>
C
d
具有标准的辛形式<我nl在e- - - - - -formula>
ω
0
=
1
/
2
π
我
∑
j
=
1
d
d
z
j
∧
d
z
¯
j
和环的作用<我nl在e- - - - - -formula>
T
d
=
R
d
/
Z
d
给出的
(2)
τ
:
T
d
×
C
d
⟶
C
d
e
2
π
我
θ
1
,
…
,
e
2
π
我
θ
d
,
z
_
⟼
e
2
π
我
θ
1
z
1
,
…
,
e
2
π
我
θ
d
z
d
。
这是一个有效哈密顿行动时刻给出的映射
(3)
J
:
C
d
⟶
R
d
∗
z
_
⟼
∑
j
=
1
d
z
j
2
e
j
∗
+
λ
,
λ
∈
R
d
∗
常数
。
映射<我nl在e- - - - - -formula>
J
是正确的,其形象是由锥吗<我nl在e- - - - - -formula>
C
λ
=
λ
+
C
,在那里<我nl在e- - - - - -formula>
C
表示积极的象限<我nl在e- - - - - -formula>
(
R
d
)
∗
。现在把向量<我nl在e- - - - - -formula>
X
1
,
…
,
X
d
∈
问
和实数<我nl在e- - - - - -formula>
λ
1
,
…
,
λ
d
在(
1 )。考虑到满射线性映射
(4)
π
:
R
d
⟶
R
3
,
e
j
⟼
X
j
。
考虑到尺寸<我nl在e- - - - - -formula>
3
quasitorus<我nl在e- - - - - -formula>
D
3
=
R
3
/
问
。然后,线性映射<我nl在e- - - - - -formula>
π
引发一个quasitorus满射<我nl在e- - - - - -formula>
Π
:
T
d
→
D
3
。定义现在<我nl在e- - - - - -formula>
N
的内核映射<我nl在e- - - - - -formula>
Π
并选择<我nl在e- - - - - -formula>
λ
=
∑
j
=
1
d
λ
j
e
j
∗
。表示由<我nl在e- - - - - -formula>
我
李代数的包容<我nl在e- - - - - -formula>
l
我
e
(
N
)
→
R
d
注意,<我nl在e- - - - - -formula>
Ψ
=
我
∗
∘
J
是一个时刻映射的诱导作用<我nl在e- - - - - -formula>
N
在<我nl在e- - - - - -formula>
C
d
。然后,根据(
2 ,定理<我nl在e- - - - - -formula>
3.1
),商<我nl在e- - - - - -formula>
米
=
Ψ
- - - - - -
1
(
0
)
/
N
是一个被赋予了哈密顿辛quasifold quasitorus的行动<我nl在e- - - - - -formula>
T
d
/
N
。自<我nl在e- - - - - -formula>
π
∗
是内射,<我nl在e- - - - - -formula>
J
是适当的,quasifold吗<我nl在e- - - - - -formula>
米
紧凑。如果我们确定quasitori<我nl在e- - - - - -formula>
D
3
和<我nl在e- - - - - -formula>
T
d
/
N
通过满射<我nl在e- - - - - -formula>
Π
,我们得到一个哈密顿quasitorus的行动<我nl在e- - - - - -formula>
D
3
的时刻映射<我nl在e- - - - - -formula>
Φ
形象等于<我nl在e- - - - - -formula>
(
π
∗
)
- - - - - -
1
(
C
λ
∩
k
e
r
我
∗
)
=
(
π
∗
)
- - - - - -
1
(
C
λ
∩
我
米
π
∗
)
=
(
π
∗
)
- - - - - -
1
(
π
∗
(
Δ
)
)
这正是<我nl在e- - - - - -formula>
Δ
。水平集以来的这一行动是有效的<我nl在e- - - - - -formula>
Ψ
- - - - - -
1
(
0
)
包含表单的点<我nl在e- - - - - -formula>
z
_
∈
C
d
,<我nl在e- - - - - -formula>
z
j
≠
0
,<我nl在e- - - - - -formula>
j
=
1
,
…
,
d
,那里的<我nl在e- - - - - -formula>
T
d
动作片是免费的。最后请注意<我nl在e- - - - - -formula>
d
我
米
米
=
2
d
- - - - - -
2
d
我
米
N
=
2
d
- - - - - -
2
(
d
- - - - - -
3
)
=
6
。
注6。
我们会说,<我nl在e- - - - - -formula>
米
是一个<我talic>
辛环面的quasifold相关的多面体<我nl在e- - - - - -formula>
Δ
。的quasifold<我nl在e- - - - - -formula>
米
quasilattice取决于我们的选择<我nl在e- - - - - -formula>
问
对该多面体quasirational和我们选择的向量<我nl在e- - - - - -formula>
X
1
,
…
,
X
d
。注意的情况多胞形简单、合理,但不一定满足Delzant完整性的条件下,由Lerman治疗,杜尔曼(
5 ]。他们允许orbifold奇点的概念,介绍了辛环面的orbifold。
3所示。常规的十二面体从辛的观点
让<我nl在e- - - - - -formula>
Δ
所得的十二面体为中心在原点,顶点
(5)
±
1
,
±
1
,
±
1
0
,
±
ϕ
,
±
1
ϕ
±
1
ϕ
,
0
,
±
ϕ
±
ϕ
,
±
1
ϕ
,
0
,
在哪里<我nl在e- - - - - -formula>
ϕ
=
1
+
5
/
2
是<我talic>
黄金比例和满足<我nl在e- - - - - -formula>
ϕ
=
1
+
1
/
ϕ
(见图
1 )。这是一个众所周知的事实,多面体<我nl在e- - - - - -formula>
Δ
很简单但不理性的。然而,考虑到quasilattice<我nl在e- - - - - -formula>
P
这是由下列向量生成<我nl在e- - - - - -formula>
R
3
:
(6)
Y
1
=
1
ϕ
,
1,0
Y
2
=
0
,
1
ϕ
,
1
Y
3
=
1,0
,
1
ϕ
Y
4
=
- - - - - -
1
ϕ
,
1,0
Y
5
=
0
,
- - - - - -
1
ϕ
,
1
Y
6
=
1,0
,
- - - - - -
1
ϕ
。
我们的话,这六个向量和他们对立的十二个顶点一个常规的二十面体,是镌刻在球体的半径<我nl在e- - - - - -formula>
3
- - - - - -
ϕ
(见图
2 和
3 )。的quasilattice<我nl在e- - - - - -formula>
P
在物理的<我talic>
简单的二十面体晶格(
6 ]。现在,一个简单的计算显示
(7)
Δ
=
⋂
j
=
1
12
μ
∈
R
3
∗
∣
μ
,
X
j
≥
- - - - - -
ϕ
,
在哪里<我nl在e- - - - - -formula>
X
我
=
Y
我
和<我nl在e- - - - - -formula>
X
6
+
我
=
- - - - - -
Y
我
,因为<我nl在e- - - - - -formula>
我
=
1
,
…
,
6
。因此,<我nl在e- - - - - -formula>
Δ
quasirational对吗<我nl在e- - - - - -formula>
P
。让我们执行广义Delzant建设对<我nl在e- - - - - -formula>
P
和向量<我nl在e- - - - - -formula>
X
1
,
…
,
X
12
。在定理的证明
5 ,我们认为满射的线性映射
(8)
π
:
R
12
⟶
R
3
e
我
⟼
X
我
。
很容易看到,以下关系
(9)
Y
4
Y
5
Y
6
=
1
ϕ
1
ϕ
- - - - - -
1
- - - - - -
1
1
ϕ
1
ϕ
1
ϕ
- - - - - -
1
1
ϕ
Y
1
Y
2
Y
3
暗示的内核<我nl在e- - - - - -formula>
π
,<我nl在e- - - - - -formula>
n
,是<我nl在e- - - - - -formula>
9
维子空间的<我nl在e- - - - - -formula>
R
12
这是由向量张成
(10)
e
1
+
e
7
e
2
+
e
8
e
3
+
e
9
e
4
+
e
10
e
5
+
e
11
e
6
+
e
12
e
1
+
e
2
- - - - - -
ϕ
e
3
+
e
4
e
2
+
e
3
- - - - - -
ϕ
e
1
+
e
5
e
1
+
e
3
- - - - - -
ϕ
e
2
+
e
6
。
由于向量<我nl在e- - - - - -formula>
X
我
,<我nl在e- - - - - -formula>
我
=
1
,
…
,
12
,生成quasilattice<我nl在e- - - - - -formula>
问
,该集团<我nl在e- - - - - -formula>
N
连接和由集团吗<我nl在e- - - - - -formula>
e
x
p
(
n
)
。此外,目前诱导映射<我nl在e- - - - - -formula>
N
动作片<我nl在e- - - - - -formula>
Ψ
:
C
12
→
(
n
)
∗
有<我nl在e- - - - - -formula>
9
组件如下:
(11)
z
1
2
+
z
7
2
- - - - - -
2
ϕ
z
2
2
+
z
8
2
- - - - - -
2
ϕ
z
3
2
+
z
9
2
- - - - - -
2
ϕ
z
4
2
+
z
10
2
- - - - - -
2
ϕ
z
5
2
+
z
11
2
- - - - - -
2
ϕ
z
6
2
+
z
12
2
- - - - - -
2
ϕ
z
1
2
+
z
2
2
- - - - - -
ϕ
z
3
2
+
z
4
2
+
2
z
2
2
+
z
3
2
- - - - - -
ϕ
z
1
2
+
z
5
2
+
2
z
1
2
+
z
3
2
- - - - - -
ϕ
z
2
2
+
z
6
2
+
2
。
的水平集<我nl在e- - - - - -formula>
Ψ
- - - - - -
1
(
0
)
所描述的是<我nl在e- - - - - -formula>
9
通过设置这些组件的方程<我nl在e- - - - - -formula>
0
。最后,辛环面的quasifold<我nl在e- - - - - -formula>
米
是由紧凑<我nl在e- - - - - -formula>
6
维quasifold<我nl在e- - - - - -formula>
Ψ
- - - - - -
1
(
0
)
/
N
。的quasitorus<我nl在e- - - - - -formula>
D
3
=
R
3
/
P
作用于<我nl在e- - - - - -formula>
米
哈密顿的方式,图像相应时刻的映射完全由十二面体<我nl在e- - - - - -formula>
Δ
。的作用<我nl在e- - - - - -formula>
D
3
有<我nl在e- - - - - -formula>
20.
固定的点,和那一刻映射将它们发送给另一个十二面体的顶点。的quasifold<我nl在e- - - - - -formula>
米
有阿特拉斯做的<我nl在e- - - - - -formula>
20.
图表,每一个都是围绕着一个不同的不动点。给一个想法的地方的行为<我nl在e- - - - - -formula>
米
周围的图表中,我们将描述映射到顶点的定点<我nl在e- - - - - -formula>
(
- - - - - -
1
,
- - - - - -
1
,
- - - - - -
1
)
。考虑到开放的社区<我nl在e- - - - - -formula>
U
~
的<我nl在e- - - - - -formula>
0
在<我nl在e- - - - - -formula>
C
3
定义的不平等现象如下:
(12)
z
1
2
<
2
ϕ
z
2
2
<
2
ϕ
z
3
2
<
2
ϕ
- - - - - -
2
<
z
1
2
+
z
2
2
- - - - - -
ϕ
z
3
2
<
2
ϕ
- - - - - -
2
<
z
2
2
+
z
3
2
- - - - - -
ϕ
z
1
2
<
2
ϕ
- - - - - -
2
<
z
1
2
+
z
3
2
- - - - - -
ϕ
z
2
2
<
2
ϕ
并考虑以下片<我nl在e- - - - - -formula>
Ψ
- - - - - -
1
(
0
)
这是横向的<我nl在e- - - - - -formula>
N
轨道
(13)
U
~
⟶
τ
~
w
_
∈
Ψ
- - - - - -
1
0
∣
w
我
≠
0
,
我
=
4
,
…
,
12
z
1
,
z
2
,
z
3
⟼
z
1
,
z
2
,
z
3
,
τ
4
z
_
,
τ
5
z
_
,
τ
6
z
_
,
τ
7
z
_
,
τ
8
z
_
,
τ
9
z
_
,
τ
10
z
_
,
τ
11
z
_
,
τ
12
z
_
,
在哪里<我nl在e- - - - - -formula>
z
_
=
(
z
1
,
z
2
,
z
3
)
∈
C
3
,<我nl在e- - - - - -formula>
w
_
=
(
w
1
,
w
2
,
w
3
,
w
4
,
w
5
,
w
6
,
w
7
,
w
8
,
w
9
,
w
10
,
w
11
,
w
12
)
∈
C
12
,
(14)
τ
4
z
_
=
1
ϕ
z
1
2
+
z
2
2
- - - - - -
ϕ
z
3
2
+
2
τ
5
z
_
=
1
ϕ
z
2
2
+
z
3
2
- - - - - -
ϕ
z
1
2
+
2
τ
6
z
_
=
1
ϕ
z
1
2
+
z
3
2
- - - - - -
ϕ
z
2
2
+
2
τ
7
z
_
=
2
ϕ
- - - - - -
z
1
2
τ
8
z
_
=
2
ϕ
- - - - - -
z
2
2
τ
9
z
_
=
2
ϕ
- - - - - -
z
3
2
τ
10
z
_
=
z
3
2
- - - - - -
1
ϕ
z
1
2
+
z
2
2
+
2
τ
11
z
_
=
z
1
2
- - - - - -
1
ϕ
z
2
2
+
z
3
2
+
2
τ
12
z
_
=
z
2
2
- - - - - -
1
ϕ
z
1
2
+
z
3
2
+
2
。
映射<我nl在e- - - - - -formula>
τ
~
引发一个同胚
(15)
U
~
Γ
⟶
τ
U
z
1
,
z
2
,
z
3
⟼
τ
~
z
1
,
z
2
,
z
3
,
开放的子集<我nl在e- - - - - -formula>
U
的<我nl在e- - - - - -formula>
米
是商
(16)
w
_
∈
Ψ
- - - - - -
1
0
∣
w
我
≠
0
,
我
=
4
,
…
,
12
N
和离散群<我nl在e- - - - - -formula>
Γ
是由
(17)
e
2
π
我
ϕ
h
+
l
,
e
2
π
我
ϕ
h
+
k
,
e
2
π
我
ϕ
k
+
l
∈
T
3
∣
h
,
k
,
l
∈
Z
。
三<我nl在e- - - - - -formula>
(
U
,
τ
,
U
~
/
Γ
)
定义了一个定点顶点对应图表<我nl在e- - - - - -formula>
(
- - - - - -
1
,
- - - - - -
1
,
- - - - - -
1
)
。另一个图表可以以类似的方式进行描述。
图1
十二面体。
![]()
图2
向量<我nl在e- - - - - -formula>
±
Y
1
,
…
,
±
Y
6
。
![]()
图3
二十面体。
![]()
注7。
根据与巴塔利亚[共同工作
7 ),任何非理性简单多面体也可以联系起来<我talic>
复杂环面的quasifold。如果我们运用明确的建设(
7 )定期十二面体,类似于偶对的情况下,我们得到一个复杂<我nl在e- - - - - -formula>
3
-quasifold<我nl在e- - - - - -formula>
米
C
quasitorus赋予一个动作的复杂<我nl在e- - - - - -formula>
D
C
3
=
C
3
/
P
。这个动作是正则的,密集的开放的轨道。此外,由[
7 ,定理<我nl在e- - - - - -formula>
3.2
),quasifold<我nl在e- - - - - -formula>
米
C
是<我nl在e- - - - - -formula>
D
3
-equivariantly diffeomorphic来<我nl在e- - - - - -formula>
米
和诱导辛形式<我nl在e- - - - - -formula>
米
C
是卡勒。
注8。
唯一的其他柏拉图式的固体简单的立方体和正四面体。他们都满足Delzant定理的假设。通过应用Delzant过程多维数据集,对标准的晶格<我nl在e- - - - - -formula>
Z
3
,我们得到辛复曲面的歧管<我nl在e- - - - - -formula>
年代
2
×
年代
2
×
年代
2
;通过应用到四面体,子格的<我nl在e- - - - - -formula>
Z
3
这是由8向量生成<我nl在e- - - - - -formula>
(
±
1
,
±
1
,
±
1
)
,我们得到辛复曲面的歧管<我nl在e- - - - - -formula>
C
P
3
。另一方面,剩下的柏拉图式的固体,普通的八面体和普通的二十面体,并不简单。在这些情况下,Delzant程序和我们的推广不会工作。八面体是理性的,因此,标准的复曲面的几何应用:描述的八面体是相关的复曲面的品种,例如,在[
8 ,部分<我nl在e- - - - - -formula>
1.5
]。二十面体,另一方面,是不合理的。然而,通过工作的人群在任意凸多面体
9 ,
10 ),一个可以联系到二十面体,辛和复杂的范畴,由quasifolds空间分层。顺便说一下,等待的人群的方法也可以应用于八面体,产生,在这种情况下,空间分层的集合管。