一些正则子之间的关系

文摘

正则的概念子半群理论中起着重要的作用。在这项工作中,我们研究一些正则子之间的关系在所有类型的广义hypersubstitutions的独异点。

1。介绍

让是一种半群。正则半群的类是最重要的一个类型的半群。回想一下,一个元素在半群据说是常规的如果存在这样。一种半群据说是常规的如果元素是常规。一个元素被称为幂等如果。众所周知,一个幂等常规元素的元素就是一个明显的例子。我们表示所有半群的幂等元素的集合通过。接下来,我们回忆起一些特殊元素的半群的定义。

定义1。一个元素半群的被称为左(右)规则如果存在这样和被称为intraregular如果。

定义2。一个元素半群的被称为coregular如果有一个元素这样它的coinverse。据说半群coregular如果每个元素coregular。

然后我们有以下的命题。

命题3。让半群和。然后当且仅当coregular元素吗。

证明。()让coregular元素。然后是一个元素这样。因此。
()假设。然后是coregular元素。

定义4。一个元素半群的被称为antiregular如果存在这样和。的元素和然后被称为anti-inverse。

命题5。让半群和。如果是antiregular元素呢。

证明。让是一个antiregular元素。然后是一个元素这样和。因此。

定义6。一个元素半群的被称为完全正常如果存在这样和。

命题7(见[1])。让半群和。然后当且仅当完全正则元素左正则和右正则。

注8。一般来说,半群和,我们有以下关系:
是coregular 是antiregular 完全是常规的 左正则,右正则,intraregular。

随之而来的问题是这样的:有半群,这样完全正则元素,左正则元素,对常规的元素,或coregular intraregular元素元素?

作为一个例子,考虑所有整数的半群与通常的加法。我们有任何非零的整数和,如果和,然后但。然后完全是普通但不是coregular。

在本文中,我们感兴趣的是半群的广义hypersubstitutions hypersubstitutions的泛化。

让是一个可数无限集的符号变量,让是一个元组。是一组索引是不相交的。每一个被称为一个必要运算符号,在那里是一种天然的号码。让是一个分配每一个函数数量作为它的参数数量,写成,被称为类型。

一个必要的类型 定义归纳如下。(我)的变量是类型的必要条件。(2)如果是类型的必要条件,然后是一个必要的类型。

包含的最小集和有限的应用(2),下封闭用。让,被称为所有方面的集合类型 。

hypersubstitution的概念被引入第一Denecke等人于1991年;参见[2]。hypersubstitution类型是一个映射分配每一个必要运算符号到一个必要的术语。所有hypersubstitutions的集合的类型用。每一个引发一个映射通过以下步骤:(我) ,对于任何变量,(2) ,在那里已经定义的。

一个二元运算在被定义为对于每一个在哪里通常是组成映射。让是hypersubstitution哪里。然后是一个独异点,作为一个单位元素。

2000年,Leeratanavalee和Denecke hypersubstitution广义概念,hyperidentity,和一个坚实的各种广义hypersubstitution, hyperidentity强,强固体不同,分别;参见[3]。一个广义的hypersubstitution类型是一个映射从所有的集合必要操作符号到集的所有条款建立了字母表的元素和操作符号这并不一定保存参数数量。

我们表示所有类型的广义hypersubstitutions的集合通过。定义一个二元运算,我们首先定义广义叠加的概念术语通过以下步骤:

对于任何一个词,(我)如果,,然后,(2)如果,,然后,(3)如果,然后

每一个广义hypersubstitution可以扩展到一个映射通过以下步骤:(我) ,(2) ,对于任何必要运算符号在哪里,已经定义的。

我们定义一个二元运算在通过在哪里表示通常的映射和组成。让是hypersubstitution映射地图必要运算符号这个词。然后是一个独异点和独异点所有的参数数量保留hypersubstitutions类型形式的submonoid。

在本文,我们修复的类型。通过,我们表示的广义hypersubstitution地图这个词。

命题(见[93])。对于任意的对于任意的广义hypersubstitutions一个人(我) ,(2) 。

2。主要结果

让是一个固定的类型与二进制运算符号。让,发生在所有变量的集合用 , , , , , 。

在[4),Puninagool Leeratanavalee显示是一组所有常规元素和。

在[5),Sudsanit等人证明了所有左正则的集合元素和所有右正则元素的集合是相同的;也就是说,。

《波米此外,和Leeratanavalee表明所有intraregular元素的集合也;参见[6]。

命题10。让。以下条件是等价的:(一) coregular,(b) antiregular,(c) 是完全正常,(d) 左正则,(e) 对常规,(f) intraregular。

证明。(一)(b)(c)(d)获得的评论8。
(d)(e)(f)的结果是,所有左正则,右正则,intraregular元素都是一样的。
(f)(一)让intraregular;然后。所以然后是一种coregular元素。

推论11。 是所有coregular元素的集合,antiregular元素,完全正则元素,左正则元素,对常规的元素,和intraregular元素。

此外,未来结果描述了一些正规子半群之间的关系。

让是一种半群。一个非空的子集的被称为subsemigroup的如果。一个非空的subsemigroup的被称为常规subsemigroup如果对任何元素的,存在一个元素这样。

命题12。让是一个定期subsemigroup。以下条件是等价的:(一) coregular,(b) antiregular,(c) 是完全正常,(d) 左正则,(e) 对常规,(f) intraregular。

证明。(一)(b)让是这样的,。然后是一个antiregular元素。
(b)(c)让是一个antiregular元素。通过使用命题5,我们有和。自对所有,所以完全是正常的。
(c)(d)显然是由定义。
(d)(e)自对所有,所以规律是正确的。
(e)(f)让。自是正确的,所以存在吗这样。自,所以intraregular。
(f)(一)让。然后。所以coregular。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项研究受到了科学的人力资源发展项目(科学成就奖学金泰国,科协)。相应的作者是(部分)由理学院,清迈大学,泰国清迈。

引用

1. j·m·豪伊半群理论基础、学术出版社,伦敦,英国,1995年。视图:MathSciNet
2. k . Denecke d·刘,r . Poschel, d . Schweigert”Hyperidentities hyperequational类和克隆刻画”贡献一般代数7卷,第118 - 97页,Holder-Pichler-Tempsky,维也纳,奥地利,1991年。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
3. Leeratanavalee和k . Denecke“广义hypersubstitutions和强烈固体品种,”一般的代数和应用程序,程序的“59一般代数研讨会”,“2000年年轻代数学家波茨坦会议15日”瓶,145,页135 - 2000。视图:谷歌学术搜索
4. w . Puninagool和s . Leeratanavalee“所有常规元素${\text{H}\text{y}\text{p}}_G(2)$”,庆数学杂志,51卷,不。2、139 - 143年,2011页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
5. s . Sudsanit s Leeratanavalee和w . Puninagool左右定期在忧郁元素_G(2)”,国际纯粹和应用数学杂志》上,卷92,不。3、433 - 441年,2014页。视图:谷歌学术搜索
6. 《波米a和s Leeratanavalee Intra-Regular所有元素${\text{H}\text{y}\text{p}}_G$(2),2013。视图:谷歌学术搜索

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