让<我nline-formula> 年代 是一种半群。正则半群的类是最重要的一个类型的半群。回想一下,一个元素<我nline-formula> 一个 在半群<我nline-formula> 年代 据说是<我t一个lic> 常规的如果存在<我nline-formula> b ∈ 年代 这样<我nline-formula> 一个 = 一个 b 一个 。一种半群<我nline-formula> 年代 据说是<我t一个lic> 常规的如果元素是常规。一个元素<我nline-formula> 一个 ∈ 年代 被称为<我t一个lic> 幂等如果<我nline-formula> 一个 一个 = 一个 。众所周知,一个幂等常规元素的元素就是一个明显的例子。我们表示所有半群的幂等元素的集合<我nline-formula> 年代 通过<我nline-formula> E ( 年代 ) 。接下来,我们回忆起一些特殊元素的半群的定义<我nline-formula> 年代 。

然后我们有以下的命题。

随之而来的问题是这样的:有半群,这样完全正则元素,左正则元素,对常规的元素,或coregular intraregular元素元素?

作为一个例子,考虑所有整数的半群与通常的加法。我们有任何非零的整数<我nline-formula> 一个 和<我nline-formula> b ,如果<我nline-formula> 一个 = 一个 + b + 一个 和<我nline-formula> 一个 + b = b + 一个 ,然后<我nline-formula> b = - - - - - - 一个 但<我nline-formula> 一个 = 一个 + b + 一个 ≠ b + 一个 + b = b 。然后<我nline-formula> 一个 完全是普通但不是coregular。

在本文中,我们感兴趣的是半群的广义hypersubstitutions hypersubstitutions的泛化。

让<我nline-formula> X ≔ { x 1 , x 2 , x 3 , … } 是一个可数无限集的符号<我t一个lic> 变量,让<我nline-formula> X n ≔ { x 1 , x 2 , … , x n } 是一个<我nline-formula> n 元组。<我nline-formula> ( f 我 ) 我 ∈ 我 是一组索引是不相交的<我nline-formula> X 。每一个<我nline-formula> f 我 被称为一个<我nline-formula> n 我 必要运算符号,在那里<我nline-formula> n 我 ≥ 1 是一种天然的号码。让<我nline-formula> τ 是一个分配每一个函数<我nline-formula> f 我 数量<我nline-formula> n 我 作为它的参数数量,写成<我nline-formula> ( n 我 ) 我 ∈ 我 ,被称为<我t一个lic> 类型。

一个<我nline-formula> n 必要的类型 τ 定义归纳如下。 (我)

的变量<我nline-formula> x 1 , x 2 , … , x n 是<我nline-formula> n 类型的必要条件<我nline-formula> τ 。

包含的最小集<我nline-formula> x 1 , x 2 , … , x n 和有限的应用(2),下封闭用<我nline-formula> W τ ( X n ) 。让<我nline-formula> W τ ( X ) ≔ ⋃ n = 1 ∞ W τ ( X n ) ,被称为<我t一个lic> 所有方面的集合类型 τ 。

hypersubstitution的概念被引入第一Denecke等人于1991年;参见[ 2]。hypersubstitution类型<我nline-formula> τ 是一个映射<我nline-formula> σ : { f 我 ∣ 我 ∈ 我 } → W τ ( X ) 分配每一个<我nline-formula> n 我 必要运算符号<我nline-formula> f 我 到一个<我nline-formula> n 我 必要的术语。所有hypersubstitutions的集合的类型<我nline-formula> τ 用<我nline-formula> 忧郁 ( τ ) 。每一个<我nline-formula> σ ∈ 忧郁 ( τ ) 引发一个映射<我nline-formula> σ ^ : W τ ( X ) → W τ ( X ) 通过以下步骤: (我)

σ ^ ( x ] ≔ x ,对于任何变量<我nline-formula> x ∈ X ,

一个二元运算<我nline-formula> ∘ h 在<我nline-formula> 忧郁 ( τ ) 被定义为<我nline-formula> σ 1 ∘ h σ 2 ≔ σ ^ 1 ∘ σ 2 对于每一个<我nline-formula> σ 1 , σ 2 ∈ 忧郁 ( τ ) 在哪里<我nline-formula> ∘ 通常是组成映射。让<我nline-formula> σ id 是hypersubstitution哪里<我nline-formula> σ id ( f 我 ) = f 我 ( x 1 , … , x n 我 ) 。然后<我nline-formula> ( 忧郁 ( τ ) ; ∘ h , σ id ) 是一个独异点,<我nline-formula> σ id 作为一个单位元素。

2000年,Leeratanavalee和Denecke hypersubstitution广义概念,hyperidentity,和一个坚实的各种广义hypersubstitution, hyperidentity强,强固体不同,分别;参见[ 3]。一个广义的hypersubstitution类型<我nline-formula> τ 是一个映射<我nline-formula> σ : { f 我 ∣ 我 ∈ 我 } → W τ ( X ) 从所有的集合<我nline-formula> n 我 必要操作符号到集的所有条款建立了字母表的元素<我nline-formula> X ≔ { x 1 , x 2 , … } 和操作符号<我nline-formula> { f 我 ∣ 我 ∈ 我 } 这并不一定保存参数数量。

我们表示所有类型的广义hypersubstitutions的集合<我nline-formula> τ 通过<我nline-formula> 沪元 p G ( τ ) 。定义一个二元运算<我nline-formula> 沪元 p G ( τ ) ,我们首先定义广义叠加的概念术语<我nline-formula> 年代 米 : W τ ( X ) 米 + 1 → W τ ( X ) 通过以下步骤:

对于任何一个词<我nline-formula> t ∈ W τ ( X ) , (我)

如果<我nline-formula> t = x j ,<我nline-formula> 1 ≤ j ≤ 米 ,然后<我nline-formula> 年代 米 ( x j , t 1 , … , t 米 ) ≔ t j ,

每一个广义hypersubstitution<我nline-formula> σ 可以扩展到一个映射<我nline-formula> σ ^ : W τ ( X ) → W τ ( X ) 通过以下步骤: (我)

σ ^ ( x ] ≔ x ∈ X ,

我们定义一个二元运算<我nline-formula> ∘ G 在<我nline-formula> 沪元 p G ( τ ) 通过<我nline-formula> σ 1 ∘ G σ 2 ≔ σ ^ 1 ∘ σ 2 在哪里<我nline-formula> ∘ 表示通常的映射和组成<我nline-formula> σ 1 , σ 2 ∈ 沪元 p G ( τ ) 。让<我nline-formula> σ id 是hypersubstitution映射地图<我nline-formula> n 我 必要运算符号<我nline-formula> f 我 这个词<我nline-formula> f 我 ( x 1 , … , x n 我 ) 。然后<我nline-formula> ( 沪元 p G ( τ ) ; ∘ G , σ id ) 是一个独异点和独异点<我nline-formula> ( 忧郁 ( τ ) ; ∘ h , σ id ) 所有的参数数量保留hypersubstitutions类型<我nline-formula> τ 形式的submonoid<我nline-formula> ( 沪元 p G ( τ ) ; ∘ G , σ id ) 。

在本文,我们修复的类型<我nline-formula> τ = ( 2 ) 。通过<我nline-formula> σ t ,我们表示的广义hypersubstitution地图<我nline-formula> f 这个词<我nline-formula> t ∈ W ( 2 ) ( X ) 。

让<我nline-formula> τ = ( 2 ) 是一个固定的类型与二进制运算符号<我nline-formula> f 。让<我nline-formula> σ t ∈ 沪元 p G ( 2 ) ,发生在所有变量的集合<我nline-formula> t 用<我nline-formula> var ( t )

R 1 ≔ σ t ∣ t = f x 2 , t ′ 在哪里 t ′ ∈ W 2 X 这样的 那 x 1 ∉ var t ′ } ,

在[ 4),Puninagool Leeratanavalee显示<我nline-formula> ∪ 我 = 1 6 R 我 是一组所有常规元素<我nline-formula> 沪元 p G ( 2 ) 和<我nline-formula> ( ∪ 我 = 3 6 R 我 ) ∖ { σ f ( x 2 , x 1 ) } = E ( 沪元 p G ( 2 ) ) 。

在[ 5),Sudsanit等人证明了所有左正则的集合元素和所有右正则元素的集合<我nline-formula> 沪元 p G ( 2 ) 是相同的;也就是说,<我nline-formula> E ( 沪元 p G ( 2 ) ) ∪ { σ f ( x 2 , x 1 ) } 。

《波米此外,和Leeratanavalee表明所有intraregular元素的集合<我nline-formula> 沪元 p G ( 2 ) 也<我nline-formula> E ( 沪元 p G ( 2 ) ) ∪ { σ f ( x 2 , x 1 ) } ;参见[ 6]。

此外,未来结果描述了一些正规子半群之间的关系。

让<我nline-formula> 年代 是一种半群。一个非空的子集<我nline-formula> T 的<我nline-formula> 年代 被称为<我t一个lic> subsemigroup的<我nline-formula> 年代 如果<我nline-formula> T 2 ⊆ T 。一个非空的subsemigroup<我nline-formula> T 的<我nline-formula> 年代 被称为<我t一个lic> 常规subsemigroup如果对任何元素<我nline-formula> 一个 的<我nline-formula> T ,存在一个元素<我nline-formula> b ∈ T 这样<我nline-formula> 一个 = 一个 b 一个 。