文摘

让的类的函数形式分析在。通过使用微分做好人员的方法,我们给出一些充分条件Caratheodory函数,也就是说,如果满足和在哪里,,,,,然后。这个结果给出一些有用的后果。

1。介绍

让下面的类函数形式: 分析在。我们表示的子类单价的功能和组成和通常的子类其成员是星形的(关于原点)和close-to-convex,分别。最后,我们表示家庭的功能满足条件的。众所周知,。

让下面的类函数形式: 分析在。如果满足,然后我们说是Caratheodory函数。Caratheodory函数,Nunokawa et al。1]表明应用微分不等式的一些充分条件。在本文,使用微分做好人员的方法,我们得到一定的条件,在那里。我们的结果推广或改进一些结果由于[1- - - - - -4]。

为了证明我们的结果,我们需要以下引理由于米勒和Mocanu [5]。

引理1。让在U和我们分析和单价的和在一个域分析D包含,当。集 和假设(我) 的是星形的单价的,(2) 。
如果分析在,,和 然后和是最好的优势(4)。

2。主要结果

定理2。让,,,。如果满足和 在哪里 然后和是最好的优势(5)。

证明。让,,, 并选择 然后分析和单价的在吗,,,和满足条件的引理。这个函数 是单价的星形的因为 此外,我们有 自,从(11)很容易知道 因此,函数close-to-convex和单价的。现在它遵循从(5)- (12), 因此,由于引理,我们得出这样的结论:和是最好的优势(5)。定理的证明是完整的。

利用定理,我们可以得到许多有趣的结果。

推论3。让,。如果满足 然后。

证明。让,,,,,,在这个定理,然后 满足条件的引理。请注意, 因此,类似于定理的证明,我们得出结论,也就是说,。

备注4。请注意,推论3也证明了Nunokawa et al。1)使用另一种方法。
采取,,,,,在定理,我们有以下。

推论5。让,,满足, 然后。

注6。注意,这个函数 地图到飞机沿半线缝,和,。因此推论5恰逢Nunokawa等获得的结果。1,定理2]使用另一种方法。
让,,在推论5,我们有以下。

推论7。如果,, 在哪里是真实的,,然后。

注8。Lewandowski et al。3证明了如果,,, 然后。我们看到,推论7提高了这个结果。

推论9。让与。如果 对于一些,然后和

证明。让,,然后, 采取,和,在这个定理,它遵循从(5),(6)和(21),,这意味着(见[6])。

备注10。Frassin和Darus2表明,如果和 对于一些,然后。
为,函数 分析和凸单价的在吗。自 磁盘正确地包含在。因此,鉴于(21),我们看到,推论9比中给出的结果(2]。
让,,,,,,在定理,我们有以下。

推论11。如果,,, 然后。
单价的函数,我们现在找到的图像单位圆的。
让,在那里和是真实的。我们有 消除收益率 因此,我们得出这样的结论:

评论12。Nunokawa和Hoshino4事实证明,如果,和 然后。为,正确地包含了半平面。因此推论11与比中给出的结果(4]。

确认

这部分工作是由中国国家自然科学基金(批准号11171045)。作者想感谢裁判的仔细阅读和做一些有价值的评论基本上提高本文的演示。