文摘
让是一个交换诺特当地环和让是一个有限生成模块的尺寸。然后下面的语句保存:(a)如果宽度对所有与,然后是诺特维co-Cohen-Macaulay;(b)如果是一个纯粹的模块和深度,然后是诺特维co-Cohen-Macaulay当且仅当要么是零或co-Cohen-Macaulay诺特维。因此,如果是诺特维co-Cohen-Macaulay对所有与,然后是诺特维co-Cohen-Macaulay。
1。介绍
在本文,我们是一个交换诺特当地环和让是一个有限生成模块的尺寸。我们表示局部上同调模块关于通过。众所周知,是所有的妈妈(cf。1])。
的诺特维的妈妈模块,用,归纳定义如下:当,把。然后用归纳法,对任何整数,把如果是假的,对于提升链吗子的存在一个整数这样对所有。因此当且仅当是一个非零的诺特模块。此外,如果是一个妈妈的确切顺序模块呢。让。是一个-coregular序列如果是满射和。的宽度,用,是任何最大的长度-coregular序列。对于任何-coregular元素我们有,和。详细信息和可以在罗伯茨(2,科比3],Ooishi [4];有一种普遍的事实:任何的妈妈模块拥有和是co-Cohen-Macaulay当且仅当吗持有(cf。5- - - - - -7])。唐(8表明,如果或Cohen-Macaulay,那么是co-Cohen-Macaulay(参见[9])。后经营(10),是纯粹的如果对所有。
本文的主要目的是为了证明以下定理。
定理1。以下陈述是真实的。(一)如果对所有与,然后是诺特维co-Cohen-Macaulay。(b)如果是一个纯粹的模块和,然后是诺特维co-Cohen-Macaulay当且仅当要么是零或co-Cohen-Macaulay诺特维。
2。结果
麦克唐纳(后11),每一个妈妈模块有最小二次表示,在那里是次要的。一组独立于最小的选择二级的代表吗。这组被称为附加的理想的和用。所有最小的元素的集合正是所有最小的元素的集合。一个序列中的元素被称为严格f-sequence的如果对所有对所有。在介绍了这个概念12]。
引理2(见[9])。所有整数,一个和。
引理3。让是一个严格的序列的。然后下面的陈述是真实的。(我)假设和是诺特维co-Cohen-Macaulay。然后也co-Cohen-Macaulay诺特维。(2)假设是诺特维co-Cohen-Macaulay和。然后是诺特维co-Cohen-Macaulay。
证明。(我)通过我们的假设和使用1,锻炼11.3.9),我们有。因此从准确的序列
我们得到确切的序列
对所有。因此,以防我们有是诺特维co-Cohen-Macaulay。的选择该模块是一个模块的有限长度。此外,由于由(8、命题2.4]由(13定理4.11)。因此,通过(13推论3.7),当地同源序列对长精确在准确的序列提供了。因此有一个同构所以是诺特维co-Cohen-Macaulay模块。
的证明(ii)遵循相同的参数作为证据的(我)。
Brodmann和锋利的14),为所有整数定义一组,th伪的支持的,用。注意,如果完成对吗进的拓扑结构,然后通过(15定理3.1)。该模块Serre满足的条件,在那里非负整数,提供对所有。请注意,Serre满足条件当且仅当没有嵌入质数,是纯粹的。
引理4。让是纯粹的,。然后要么是零或co-Cohen-Macaulay诺特维。
证明。当,这是微不足道的。我们假设。自是纯粹的所以我们有。因此,结果是证明了在这种情况下。现在,假设和。通过使用(6定理1.4),我们可以假设完成对吗进拓扑。让。然后。因此所以。因此所以通过(15定理3.1)。这意味着有限长度(见[1,推论7.2.12])。因此是co-Cohen-Macaulay诺特维零。
定理5。让是一个纯粹的模块。如果,然后下面的语句是等价的:(我)该模块是诺特维co-Cohen-Macaulay;(2)该模块要么是零或co-Cohen-Macaulay诺特维。
证明。(我)(2),我们使用感应。这个案子遵循由引理4。让。让是一个严格的序列上。由(1,锻炼11.3.9),对所有。请注意,,因为。因此是常规。因此,通过引理3,是诺特维co-Cohen-Macaulay。自纯粹的,,它遵循从归纳假设要么是零或co-Cohen-Macaulay诺特维。因此,从具体的序列
和我们的假设所以要么是零或co-Cohen-Macaulay诺特维。自是一个coregular序列,我们有零或co-Cohen-Macaulay诺特维,如需要。
(2)(我)。我们用归纳法证明。由(8推论2.5),我们可以假设。我们假设存在。因此,从具体的序列
我们有同构为。自是一个coregular序列,要么是零或co-Cohen-Macaulay诺特维也是如此。因此,归纳假设是诺特维co-Cohen-Macaulay。自是一个coregular序列,它遵循,这是诺特维co-Cohen-Macaulay。这个完整的证明。
以下结果如下的定理5。
推论6。让是一个Cohen-Macaulay模块。然后是诺特维co-Cohen-Macaulay。
下面的定理扩展(16推论3.6]。
定理7。让对所有与。然后是诺特维co-Cohen-Macaulay。
证明。我们使用感应。让。然后,通过(1,推论2.1.7]和我们的假设,存在。因此从准确的序列 我们得到确切的序列 因此所以是co-Cohen-Macaulay诺特维2。因此是co-Cohen-Macaulay诺特维3。结果是证明了在这种情况下。现在假设假设我们的主张是正确的。存在所以从准确的序列我们有以下的序列 因此有一个同构对所有与。因此对所有与并通过归纳假设是诺特维co-Cohen-Macaulay。因此,在视图的,该模块是诺特维co-Cohen-Macaulay,如需要。
推论8。让是co-Cohen-Macaulay诺特维度对所有与。然后是诺特维co-Cohen-Macaulay。
确认
作者非常感谢裁判仔细阅读论文和有用的建议。