一个统一的软件框架经验格兰姆gydF4y2Ba

文摘gydF4y2Ba

减少模型的一种常见方法是平衡截断,基于格兰姆矩阵分类某些属性的状态或参数给定的动态系统。最初局限于线性系统,实证格兰姆不仅将这一概念扩展到非线性系统还提供了一个统一的计算方法。本工作介绍一个统一的软件框架为六种经验格兰姆提供的例程。格兰姆类型将讨论和减少模型应用于多输入多输出系统的框架。gydF4y2Ba

1。介绍gydF4y2Ba

在控制系统中设置,平衡截断是一个著名的模型降阶技术。引入了(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba],格兰姆矩阵被用来确定线性系统的能控性和能观测性。从这些格兰姆,可以计算一个平衡变换,使截断,例如,既不可控也不可见的状态。gydF4y2Ba

与(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)、经验(可控制性和可观测性)格兰姆,对应分析格兰姆线性系统,而系统格兰姆的概念扩展到非线性系统通常由gydF4y2Ba 与系统功能gydF4y2Ba和输出函数gydF4y2Ba的状态gydF4y2Ba、输入gydF4y2Ba和参数gydF4y2Ba;特殊情况的unparameterized线性系统gydF4y2Ba和gydF4y2Ba。这些经验格兰姆计算平均模拟或实验数据输入和初始状态的扰动。gydF4y2Ba

的gydF4y2BaemgrgydF4y2Ba这里给出框架包含六个实证格兰姆,即可控性、可观测性,十字架,灵敏度、可识别性和联合格兰姆。适应的计算经验格兰姆对操作系统的设置,初始状态和输入是主要的变量所摄动旋转和缩放。集提供的旋转gydF4y2Ba(单位矩阵)和gydF4y2Ba(负单元矩阵和单元矩阵)。尽管这些都是非常基本的设置,因此可能不能反映所有动态,尤其是相关的状态和参数,它们允许一个非常有效的格兰姆组装。尺度上可以自由选择。细分的尺度可能是线性的,对数或几何。最后,还有几个选项对算术平均(平均gydF4y2Ba2gydF4y2Ba),中位数,一个稳定的状态gydF4y2Ba3gydF4y2Ba,此外,模拟或数据的主成分通过适当的正交分解(POD)。gydF4y2Ba

2。实证格兰姆gydF4y2Ba

关心减少,可控性、可观测性,和交叉格兰姆提出了下一步,紧随其后的是灵敏度、可识别性,和关节格兰姆,用于减少参数并结合。定义格兰姆的目的,假设一个线性定常控制系统:gydF4y2Ba 与美国gydF4y2Ba、控制或输入gydF4y2Ba、输出gydF4y2Ba,系统矩阵gydF4y2Ba、输入矩阵gydF4y2Ba和输出矩阵gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

必要的扰动由六集,给出的gydF4y2Ba定义输入扰动,而集gydF4y2Ba定义初始状态扰动:gydF4y2Ba 这些集应该对应于输入的范围和系统操作的初始状态。gydF4y2Ba

2.1。可控性格兰姆gydF4y2Ba

可控性是一个量化的状态可以由输入。分析,可控性格兰姆由最小的semipositive给出明确的李雅普诺夫方程的解决方案:gydF4y2Ba。如果底层系统渐近稳定,可控性格兰姆也可以使用线性input-to-state映射定义:gydF4y2Ba 后(gydF4y2Ba3gydF4y2Ba),实证可控性格兰姆由以下定义。gydF4y2Ba

定义1。gydF4y2Ba为集gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,输入gydF4y2Ba在稳定状态下,输入gydF4y2Ba,gydF4y2Ba实证可控性格兰姆gydF4y2Ba是由gydF4y2Ba 与gydF4y2Ba被美国输入的配置gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

最初,在gydF4y2Ba2gydF4y2Ba),gydF4y2Ba是受限制的gydF4y2Ba但在[扩展gydF4y2Ba3gydF4y2Ba)任意输入的名义经验协方差矩阵。gydF4y2Ba可以算术平均数,中位数,稳态或主成分。限制gydF4y2Ba来gydF4y2Ba简化了输入扰动gydF4y2Ba

2.2。可观测性格兰姆gydF4y2Ba

可观测性量化程度的变化反映在输出状态。分析可观测性格兰姆由最小的semipositive给出明确的李雅普诺夫方程的解决方案:gydF4y2Ba。给定一个渐近稳定底层系统的可观测性格兰姆也可以定义使用state-to-output地图:gydF4y2Ba 经验可观测性描述的格兰姆被定义为(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,gydF4y2Ba3gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

定义2。gydF4y2Ba为集gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba和输出gydF4y2Ba在稳定状态gydF4y2Ba,gydF4y2Ba经验可观测性格兰姆gydF4y2Ba是由gydF4y2Ba 与gydF4y2Ba系统输出的初始状态配置gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

可以算术平均数,中位数,稳态输出,或者主要组件。限制gydF4y2Ba来gydF4y2Ba简化了(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)gydF4y2Ba 和简化了初始状态扰动gydF4y2Ba

2.3。横格兰姆gydF4y2Ba

十字架格兰姆(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)联合声明的可控制性和可观测性,鉴于系统有相同数量的输入和输出。如果系统也是对称的,也就是说,系统传递函数是对称的,那么这些格兰姆的特征值的绝对值等于汉克尔奇异值。这是最初西尔维斯特方程的计算作为最小的解决方案:gydF4y2Ba。十字架格兰姆也可以定义使用input-to-state和state-to-output地图,如果底层系统是渐近稳定的:gydF4y2Ba 引入了实证横格兰姆(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba输出系统)和扩展到MIMO系统在gydF4y2Ba6gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

定义3。gydF4y2Ba为集gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba和输入gydF4y2Ba在稳定状态gydF4y2Ba与输出gydF4y2Ba,gydF4y2Ba经验跨越格兰姆gydF4y2Ba是由gydF4y2Ba 与gydF4y2Ba和gydF4y2Ba在美国为输入和输出gydF4y2Ba和初始状态gydF4y2Ba,分别。gydF4y2Ba

和gydF4y2Ba可以算术平均数,中位数,稳定状态或输出的主成分。再次,限制gydF4y2Ba和gydF4y2Ba来gydF4y2Ba简化了(gydF4y2Ba12gydF4y2Ba)gydF4y2Ba 初始状态以及简化输入和扰动gydF4y2Ba

2.4。灵敏度格兰姆gydF4y2Ba

减少敏感性格兰姆允许controllability-based参数和识别。它是基于gydF4y2Ba7gydF4y2Ba),目的是可以分割的模型如下:gydF4y2Ba 的参数gydF4y2Ba在这里处理额外的输入。所有加式的分区的系统被视为独立的子系统,因此一个可控性格兰姆为每个子系统可以计算。每个参数可控性编码相关的奇异值的总和subcontrollability格兰姆gydF4y2Ba。的敏感性格兰姆现在是对角矩阵,每个对角元素被跟踪的subcontrollability格兰姆:gydF4y2Ba 每个参数的可控性,从而可辨认性然后由相应的对角线敏感性格兰姆的条目gydF4y2Ba。对于可分区的线性系统,子系统的总和可控性格兰姆gydF4y2Ba和parameter-free子系统格兰姆gydF4y2Ba=通常的可控性格兰姆(gydF4y2Ba7gydF4y2Ba]:gydF4y2Ba 灵敏度格兰姆可以应用于nonpartitionable模型准确率降低。gydF4y2Ba

2.5。可辨认性格兰姆gydF4y2Ba

可识别性的格兰姆使observability-based参数识别,因此减少参数。如[gydF4y2Ba8gydF4y2Ba),动态系统的状态还在增加中,尽可能多的状态参数常数随着时间的推移,(之前)参数值的初始值。gydF4y2Ba

一个人gydF4y2Ba 这个增广系统的可观测性的格兰姆拥有的可观测性信息状态和参数。提取参数具体的可观测性,舒尔补可以应用于增强可观测性格兰姆:gydF4y2Ba

2.6。联合格兰姆gydF4y2Ba

基于可辨认性格兰姆程序,可以使用十字架格兰姆减少并发状态和参数(见[gydF4y2Ba6gydF4y2Ba])。至于可辨认性格兰姆,系统由常数参数状态增广。此外,尽可能多的输入和输出参数也在增强。增强输入法案通过身份的增广状态。同样,增广状态是由身份映射增强输出保持对称。gydF4y2Ba 保持对称。十字架格兰姆这个特殊的增广系统,类似于可辨认性格兰姆,把原系统的横格兰姆以及cross-identifiability格兰姆gydF4y2Ba可提取的舒尔补充联合格兰姆:gydF4y2Ba

3所示。实现gydF4y2Ba

的gydF4y2BaemgrgydF4y2Ba这里给出软件框架提供了一个统一的接口来计算所有六个经验格兰姆和是由gydF4y2Ba 与gydF4y2BafgydF4y2Ba和gydF4y2BaggydF4y2Ba被系统处理和输出功能,都需要签名gydF4y2Baf (x, u, p)gydF4y2Ba和gydF4y2Bag (x u p)gydF4y2Ba。gydF4y2Ba问gydF4y2Ba定义系统的输入是一个矢量,州,和输出。gydF4y2BatgydF4y2Ba是一个三分量的向量包含启动时间、时间步长、停止时间。gydF4y2BawgydF4y2Ba是一个字符设置格兰姆类型;概述的适用性格兰姆类型,见表gydF4y2Ba1gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

下面的参数是可选的。gydF4y2BapgydF4y2Ba持有任何参数。ten-component向量gydF4y2BavgydF4y2Ba_cfggydF4y2Ba配置可用的选项,包括平均类型,输入和国家规模细分和摄动旋转。gydF4y2BaugydF4y2Ba提供的输入gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,而gydF4y2BaugydF4y2Ba_{年代gydF4y2Ba}和gydF4y2BaxgydF4y2Ba_{年代gydF4y2Ba}建立稳定的输入和稳定状态。gydF4y2BaugydF4y2Ba_米gydF4y2Ba和gydF4y2BaxgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba定义的尺度扰动。最后,gydF4y2BaygydF4y2Ba_dgydF4y2Ba允许通过使用实验数据,而不是生成的快照。gydF4y2Ba

参数减少经验格兰姆(灵敏度、可识别性和接头)的封装状态减少经验格兰姆(可控性、可观测性和交叉)。后者广泛向量化计算,利用格兰姆矩阵组装格式。例如,经验可观测性格兰姆大会(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)可以计算简化gydF4y2Ba 计算经验格兰姆使用gydF4y2BaemgrgydF4y2Ba非常轻便,因为只需要基本的向量和矩阵运算。必要的集成,即对给定的输入或初始状态模拟,完成由一阶欧拉方法,二阶Adams-Bashforth方法,或二阶超越方法。实证格兰姆框架gydF4y2BaemgrgydF4y2Ba以及下面的实验是一个开源许可下发布的,兼容八度和MATLAB,可以发现gydF4y2Bahttp://gramian.degydF4y2Ba或者在Oberwolfach引用数学软件。gydF4y2Ba

4所示。数值实验gydF4y2Ba

为了演示各种经验格兰姆,由计算gydF4y2BaemgrgydF4y2Ba框架,对称非线性MIMO系统同一百个国家,十输入,十输出工作。系统随机生成矩阵与确保稳定和对称;输入矩阵gydF4y2Ba也是一个随机矩阵,输出矩阵给出了gydF4y2Ba。此外一个随机,但element-wise,参数化源项gydF4y2Ba的维度gydF4y2Ba参数被添加。输入是通过δ脉冲应用:gydF4y2Ba

首先,一个国家减少,使用实证可控性格兰姆和经验可观测性格兰姆,通过平衡截断在图执行gydF4y2Ba1gydF4y2Ba的数量,减少的状态数输出。平衡截断作为一个经典的模型降阶方法将被用作以下方法将比较的基线。gydF4y2Ba

接下来,减少一个国家通过直接截断用人经验跨越格兰姆显示在图gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,再次降低的状态数到十。十字架的国家减少通过直接截断格兰姆有同样的错误但只需要一个格兰姆和不平衡。gydF4y2Ba

实证敏感性格兰姆可以应用可以分区,如果底层系统gydF4y2Ba。能够使用这个设置,参数化的源项的数量减少输出图gydF4y2Ba3gydF4y2Ba。格兰姆是最快的敏感性参数还原法,但相对误差高输出。由于源项的参数降低,原系统的累积效应是随着时间的推移增加错误的起源。接下来,参数化源项是由经验可识别性降低的格兰姆图gydF4y2Ba4gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

以五倍长为降低参数灵敏度格兰姆,可识别性的格兰姆约两个数量级更准确。gydF4y2Ba

最后,在图gydF4y2Ba5gydF4y2Ba,相同的系统进行结合状态和参数减少使用经验联合格兰姆。联合格兰姆是唯一的格兰姆允许直接,兼顾自由组合减少状态和参数空间比较相对误差,但需要相同的时间减少可辨认性格兰姆。这个组合生成一个降维模型,减少的相对误差与其他降低系统输出模型。gydF4y2Ba

5。未来的工作gydF4y2Ba

的gydF4y2BaemgrgydF4y2Ba框架已经允许大范围的计算经验格兰姆的状态或参数减少。除了模型降阶,实证格兰姆可以用于系统识别任务,如参数识别或敏感性分析以及分散控制,非线性测量和量化的不确定性。gydF4y2Ba

进一步的工作将增强的灵活性,同时保持尽可能简单的接口。后(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba),允许阶乘设计将大大扩大应用领域。最后,扩展使用十字架的格兰姆(因此联合格兰姆)非对称系统(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)将使结合状态,减少一般线性和非线性模型的参数不平衡。gydF4y2Ba

确认gydF4y2Ba

作者承认支持由德意志Forschungsgemeinschaft和明斯特大学的开放获取出版基金。gydF4y2Ba

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