勒让德小波奇异线性系统的能控性

文摘

我们提出一个新的方法来设计一个观察者和勒让德小波描述的线性奇异系统的控制。该方法的思想是基于解决广义西尔维斯特方程。一个例子也说明这个过程。

1。介绍

奇异系统,也通常被称为广义或描述符系统在文献中,出现在许多实际情况包括工程系统、经济系统、网络分析和生物系统。事实上,现实生活中许多系统奇异。他们通常由非奇异的简化或近似模型,因为仍然缺乏有效的工具来解决问题这样的系统。线性奇异系统的结构分析,利用代数或几何方法,吸引了相当多的注意力从许多研究人员在过去的三十年里(见,例如,1- - - - - -3])。

因为勒让德(LWM)小波方法的引入,对变分问题的决议,由Razzaghi和Yousefi在2000年和2001年(4,5),出生几个工程应用这种方法。更不用说,我们给解决微分方程(6),约束最优控制问题的研究7),线性积分微分方程的解析,亚伯的数值解析方程,解决分数微分方程。

在本文中,我们提出一种新的方法来设计一个观察者和勒让德小波描述的线性奇异系统的控制。方法是基于扩展系统中各种时间函数的截断勒让德小波。介绍了操作矩阵和利用来减少时间的解决方案解决代数方程奇异线性系统。最后,我们获得线性矩阵方程的解问题之间的相互关系的西尔维斯特合适的可控制性和可观测性条件。

2。勒让德小波的性质

小波构造的数学函数使用膨胀和翻译的一个函数称为母小波用和满足特定需求。

如果膨胀参数和翻译参数是,我们有以下的家庭小波: 限制和离散值,例如,,,,,是正整数,我们给吗 在哪里形成一个基础。如果和,那么很明显,集形成一组标准正交基。

勒让德小波有四个参数:,,被认为是任何正整数,是为勒让德多项式,是归一化的时间。它们被定义的时间间隔作为 与和。的系数是正规化。在这里,是著名的勒让德多项式的秩序,这是定义在区间并可以借助以下递推公式(8,9]: 一个函数定义在可以扩展为 在哪里 和是向量的

的集成功能在(5)是由 在哪里是一个矩阵,称为操作矩阵,是由(10,11] 在哪里和是给出的矩阵

集成两个勒让德获得向量小波函数的乘积

3所示。西尔维斯特方程和模型描述的属性

考虑到西尔维斯特方程 在哪里,,,,。

对于一些最近的事态发展在理性矩阵函数理论和线性系统理论和控制方程,可以参考(11- - - - - -15]。

定义1。确定最小的正整数其中的一个解决方案,,,是可控的,是可观察到的

引理2。让被给予。存在这样是可控的,当且仅当。

定理3。鉴于,。最小整数的存在,,令人满意的(12),这样是可控的,可见,等于。

一个单一的线性系统可以描述如下: 在哪里,,,,。

4所示。奇异线性系统的解决方案

在本节中,勒让德小波方法用于解决奇异线性系统的近似函数。假设平方积分区间吗。的矩阵形式, 在哪里是一个矩阵。可以获得部分中描述的方法吗2。

避免脉冲函数,我们马上扩大而不是自己变成勒让德给出的小波。所以我们得到 用(16)和(17)(14),我们得到 我们有 在哪里。

在这个工作(19)可以写成 在哪里 由于未知矩阵(20.),它可以使用克罗内克积作为解决 在哪里

所以。

5。一些定理

为,如果,然后;让,,,;我们获得。

因此,我们提出一些结果。

引理4。让被给予。存在这样是可控的,当且仅当。

定理5。鉴于,。最小整数的存在,,令人满意的(24),这样是可控的,可见,等于。

6。例子

勒让德小波,让,;让我们考虑一阶线性奇异系统:

集

我们解决(24)使用中描述的算法部分5的对应定理5,所以我们可以(24)可控和可观察到的。

7所示。结论

通过上面的分析,我们发现,在本文提出的方法是有效解决奇异线性系统。此外,该方法也适用于解决方案之间的相互关系问题线性矩阵方程的奇异线性系统和西尔维斯特和合适的可控制性和可观测性条件。设计的例子很好的说明了我们的想法。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作得到了国家自然科学基金杰出青年学者的中国(批准号50925727),国家自然科学基金(批准号60876022),美国国防高级研究项目批准号。C1120110004, 9140 a27020211dz5102,中国教育部的重点资助项目批准号313018年,安徽省科学技术基金批准号下1301022036,和湖南省科学技术基金批准号。2010年阁下和2011 jk202。

引用

1. Misra p, p . Van Dooren, a·巴尔加“计算结构不变量的广义状态空间系统,”自动化,30卷,不。12日,第1936 - 1921页,1994年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
2. k . Murugesan和诉Balakumar研究奇异系统的指数三个订10通过龙格-库塔方法,”国际纯粹和应用数学杂志》上,卷70,不。5,723 - 733年,2011页。视图:谷歌学术搜索
3. m . Essabre j . Soulami,大肠Elyaagoubi”设计的一类非线性奇异系统的状态观测器被Takagi-Sugeno描述模型,”现代工程科学》第六卷,没有。1 - 4、99 - 109年,2013页。视图:谷歌学术搜索
4. m . Razzaghi和美国Yousefi勒让德小波变分问题的直接法,“数学和计算机模拟,53卷,不。3、185 - 192年,2000页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
5. m . Razzaghi和s . Yousefi”一体化的勒让德小波运算矩阵,国际期刊的系统科学:系统和集成的原理及应用,32卷,不。4、495 - 502年,2001页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
6. X.-Y。郑,x。杨、吴y”技术求解微分方程通过扩展勒让德小波,”《小波分析和模式识别(国际会议ICWAPR ' 08)香港,页667 - 671年,2008年8月。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
7. m . Razzaghi和美国Yousefi勒让德小波方法约束最优控制问题。”应用科学的数学方法,25卷,不。7,529 - 539年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
8. m . Razzaghi和美国Yousefi勒让德小波变分问题的直接法,“数学和计算机模拟,53卷,不。3、185 - 192年,2000页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
9. m . Razzaghi和美国Yousefi勒让德小波方法约束最优控制问题。”应用科学的数学方法,25卷,不。7,529 - 539年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
10. f·穆罕默迪和m . m . Hosseini”新一勒让德小波运算矩阵的导数及其应用在解决奇异常微分方程,”《富兰克林学院:工程和应用数学,卷348,不。8,1787 - 1796年,2011页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
11. m . Razzaghi和美国Yousefi勒让德小波方法解决非线性问题的变分法,“数学和计算机模拟,34卷,不。1 - 2日,45 - 2001页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
12. n . iran和s·卡普尔,“快看在不同的小波和其操作矩阵性质:复习一下,”国际应用科学的研究和评论》杂志上,8卷,不。1,2011。视图:谷歌学术搜索
13. e . de Souza和s . p . Bhattacharyya”的可控性、可观测性和解决方案$\mathrm{一个}X-\; -\; -\; -\; -\; -XB=C$”,线性代数及其应用39卷,第188 - 167页,1981年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
14. l·莱瑞和l·罗德曼,”西尔维斯特和李雅普诺夫方程和一些理性的矩阵函数插值问题,“线性代数及其应用卷,185年,第117 - 83页,1993年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
15. 周和G.-R。段,“广义西尔维斯特矩阵方程的新的解决方案$\mathit{AV}-\; -\; -\; -\; -\; -\mathit{EVF}=\mathit{BW}$”,系统和控制信,55卷,不。3、193 - 198年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索

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