一个增强Missingness下尾指数的估计方法

文摘

极端事件在地震、风速等是罕见的但可能对人类和环境带来灾难性的影响。这种罕见的事件的主要参数估计就是尾指数衡量潜在分布的尾部沉重。由于极端事件是罕见的,失踪的观察可能会进一步导致的缺陷。针对这一点,越来越多的研究人员努力解决这个问题。然而,现有的方法估计尾指数常数只使用可用的数据。因此,如果丢失的观测是有影响力的价值,忽视他们可以引入更多的偏见和更高的均方误差(MSE)尾指数评估,随后等极端事件,估计分位数和小超过数概率高。在这项研究中,我们提出非难失踪之前观察应用的一些标准估计(希尔和几何类型)来估计尾指数。通过仿真研究中,我们评估标准的性能评估人员根据该数据增强方法和现有的修改估计尾指数。结果表明,增强估计有偏差和均方误差相对较低。评估方法说明与实际数据集上风速缺失值。 Therefore, we recommend imputation mechanism as viable for enhancing the performance of tail index estimators in the case where there is missingness.

1。介绍

极端的统计是统计学的一个分支,用于处理参数的估计罕见的事件。它使评估更极端的事件的概率比以往观测样本的高斯随机变量(1]。根据戈麦斯和Guillou统计(2,3),罕见事件的发生现象,如地震、飓风、风速、海浪,洪水可以产生灾难性影响人类和环境。造型等事件的发生艾滋病计划减少或防止此类事件的影响。

最近的事态发展在这一领域关注建模和预测罕见的事件来减轻他们对人类的负面影响和属性。感兴趣的主要参数就是尾指数或极值指数(增强型植被指数),衡量一个潜在分布的尾部沉重。研究人员在他们的一个关键挑战寻求模型罕见事件或估计尾指数可用观测的数量通常是非常小的,由于他们没有一个不寻常的发生。因此,有丢失的观察可以影响到尾指数估计计算的样本,从而导致不可靠的估计超过数概率,分位数高,重现期极值分析的目标。在这项研究中,我们提出一个增强的方法估计潜在的尾部指数分布,缺失值估计和数据通过一个归责方法所取代。

极端值定理(EVT)提出了反面的概率分布模型。根据费舍尔和蒂(4),有三个广泛的家庭EVT的极限分布,即耿贝尔,f(帕累托或Fre´chet-Pareto),和威布尔。这些也被称为极值分布(EVD)。这三个家庭的极端值分布被詹金森[简化5作为普遍极端值(GEV)分布。GEV的随机变量的分布函数 是由 在哪里 , ,和的位置、规模和尾指数(或极值指数(以)),分别。根据高斯(1),在(1)确定最合适的类型的尾巴行为数据集。尾巴时分为耿贝尔分布 ,Frechet-Pareto当 ,和威布尔 。

许多研究在极端仅限于统计估计极端尾部指数和其他参数的完整数据集(Beirlant et al ., Ameraoui et al ., Minkah et al。6- - - - - -9])。戈麦斯和Pestana10)和Beirlant et al。11]提出reduced-bias估计尾指数参数的完整的数据。的审查,戈麦斯和七巧板12),Ameraoui et al。6],Minkah et al。13)提供的技术将审查在尾部指数的估计。李,气14)采用现有的调整经验似然方法,构造置信区间的尾部指数,实现更好的精度。通过仿真研究中,他们发现他们的方法优越的覆盖概率和置信区间的长度。在协变量信息的存在的情况下,马et al。15]提出实证统计数据基于可能性构造置信区域参数尾指数回归模型的回归系数。此外,Minkah et al。16)研究的几个估计尾指数的审查和协变量的信息。然而,这些估计不考虑缺失的数据,因此有些挑战的失踪的观察。

由于缺失数据统计的一个常见问题,一些作者Mladenovic和Piterbarg等(17)的定期评估指数的变异使用不完整的数据样本。他们证明了山上估计量的渐近稳定性。Ilić和Mladenovic18[]扩展的作品Hsing19]和Mladenovic Piterbarg [17]的作者依靠可用观测(不完整的样品)。弱依赖的假设下,证明了他们提出的一致性Hill-type尾指数的估计基于一个不完整的样品。

此外,邹et al。20.]关注极值分析没有最大的值。这项研究表明,失踪的极端的存在使阈值的选择顺序统计上面的问题。他们同时认为失踪的人数极端尾部指数和其他参数和希尔提出了功能版本的估计量,并命名为山估计没有极端(HEWE)。失踪的估计量是健壮的极端light-tailed数据集。

此外,Ilić和Veličković[21)被认为是简单的尾指数估计在异构和依赖样本数据缺失值。他们的研究是在中值估计量的渐近行为及其对缓变函数的偏差鲁棒性。虽然在小偏离假定的参数模型,该方法提供了一个可靠的尾部指数前值的样本没有考虑。

然而,现有的估计尾指数方法的使用减少样本量因为部分数据集内的次序统计失踪被忽略。只使用部分的数据可能会导致估计偏差和/或方差大特别是失踪的观察是有影响力的前阶统计量统计的兴趣的极端。

因此,为了减少尾指数的偏差和方差估计的失踪的观察;我们提出非难失踪之前观测的应用标准尾指数估计(如希尔和几何类型),而不是使用修改后的评估人员在文献中。

剩下的纸是组织如下。节2材料和方法,包括现有的和拟议的方法估计尾指数。部分3提出了仿真研究的结果和讨论的结果。最后,节4我们提供结论,为未来的研究领域,建议。

2。材料和方法

让 是独立同分布的样本观察一些过程有潜在分布 。假设 的样本次序统计量与样品有关。所谓的半参数估计尾部指数(见,例如,Beirlant et al。7,22],de Haan和Resnick [23])在文献中依靠在一个特定的阈值,超过数点 。因此,尾指数的依赖 最大的次序统计量的选择至关重要的。仔细的选择作为一个小值会导致需要大吗因此一些观测估计。这可能会导致尾指数与小的偏差,但大的方差估计量。相反,一个大导致小这可能导致夹杂物的观察与较小的大小导致一个更大的样本。虽然,更多的数据将会减少方差,偏见为代价的。问题是通过选择来解决等,的增加,但以较慢的速度增加。在形式上, 这样

方程(2)和(3)是用来获得一个非零的整数序列的数量这被称为中间。接下来,我们提出一些标准估计尾指数估计下完整的数据集。

2.1。山估计量

山上估计量(山24)是最受欢迎的估计量Frechet-Pareto家族在半参数方法(戈麦斯和Guillou统计(2,3])。山上估计量是有效的 ,是由 在哪里是一个中间的整数序列中定义(2)和(3)。山的一些可取的属性(de Haan估计是它的一致性和渐近正态性和雷斯尼克23])。但是,它依赖而闻名和展览大偏差大值。

2.2。几何类型估计量

布里托和Freitas提出的几何类型估计量,25),是一种采用几何估计出于这一事实,对于大型的随机变量 , 大约是线性斜坡吗 ,在哪里是一个积极的常数。给出的估计量 在哪里样本大小(随机变量),是一个正整数序列满足 ,以及方程(2)和(3)。布里托和Freitas25]研究了疲软的几何类型估计量的渐近性质和显示,其分布是在一般条件下渐近正态的。

2.3。估计尾指数在失踪的观察

我们现在讨论修改现有的山和尾指数的几何类型估计当有失踪的观察。对于一个给定的样本 一些失踪的观察,我们认为一个观察到的样本的分 ,在哪里是观察到随机变量第一批的数量吗的序列和 。观察到的样本的次序统计量 ,这样相关的最大 。

根据Ilić[26),样本与失踪的观察可以获得条件是每一个观察项的概率 这是独立于其他的条款。因此,是二项随机变量和参数吗和 。获取尾指数估计量,必须满足以下假设:

随机变量是独立于 ,存在一个实数序列这样 和

让是一个序列的实数 和 。同时,让 和

然后,不平等 和 将为 ,不大于最大的整数 。

修改后的希尔和几何类型估计分别给出 和 在哪里指标函数,这样是为了什么 , ,和 如果 。

2.4。多元归责与链方程(老鼠)

老鼠是一种广泛使用的归责方法填补丢失的观测数据。老鼠,也称为顺序回归或充分条件规范多个污名,是一个非常灵活的方法,因为它可以处理离散和连续等不同的变量类型。它使用完全有条件的规范保护独特的特性,比如界限,跳过模式,互动,括号内的响应数据(Van Buuren [27])。

老鼠的操作是基于假设的随机缺失(MAR)暗示缺失值概率是独立的但未被注意的值依赖于观测值谢弗和格雷厄姆(28]。老鼠有三个不同阶段类似于任何其他多个归责方法:归责,分析和池。它创造了多个罪名克服单一的归责的限制。老鼠可以处理大数据集通过使用链方程与其他归责方法相比,使用联合模型(他et al。29日])。这使它灵活的多元归责方法使用许多回归算法。在这项研究中,我们使用老鼠算法来嫁祸于失踪的观察。

2.5。提出数据增强方法观察Missingness时尾指数

这种方法使用老鼠算法来嫁祸于失踪的观察申请前的标准估计尾指数如希尔和几何类型。再次,考虑到样本 ,在哪里是一个数据集的样本大小没有完全意识到由于缺少观察(s)。也就是说,可用的数据集 ,和 。我们建议以下数据增强和尾指数参数的估算方法:(1)应用小鼠不完整的数据, ,生成失踪的观察 (2)把估算的观察 和可用的观察 获得的样本大小与观测 ,以下简称估算数据集(3)获得订单统计 与 这样相关的最大 (4)假设在的最大吸引域(MDA)合适的尾指数吗在半参数一样,选择框架上阶统计量 (5)估计使用标准的估计(希尔和几何类型没有任何修改)的基础上次序统计量, 在哪里是一个中间序列

2.6。仿真设计

在本节中,我们提出一个模拟的对比研究的结果数据增强方法,现有的一些方法,如Mladenovic和Piterbarg [17),估算尾巴索引作为章节中讨论2。3。我们从帕累托生成样本分布域的模拟研究。表1包含分布函数用于模拟研究及其特点。

一个循序渐进的过程的仿真研究概述了流程图如图1。

在下一节中,我们提出并讨论了模拟结果。然而,简洁和易于演示,我们提供仿真结果和讨论的性能估计仅供毛刺产生的样本分布。其他发行版的结果从毛刺分布没有显著差异,从作者可按照客户要求定制。

3所示。结果与讨论

一般来说,一个估计量与相对较小的偏差和MSE为佳。此外,我们需要等一个估计量是稳定的增加。一个估计量的变化值不敏感保持一个稳定的前景的进化 。这样的估计量被认为是最适合尾指数的估计偏差和方差之间保持一个更好的平衡。

由于极值分析正确的尾巴担忧更大的观察,我们评估估计的性能高达60%的样本大小。因此,这使得包含较小的订单统计和评估跨广泛的估计的性能偏见将盛行的地方。

表2包含估计用于研究的符号。

此外,所有的仿真和实际应用。,部分3.2使用R统计软件包)结果,和代码作者的要求。

3.1。毛刺的结果分布

对于每一个图在本节讨论,左和右面板显示绝对偏差和均方误差的一个估计量。上面,中间,和底部面板描述10%,30%,和60%失踪的观察,分别相对于样本容量。

图2显示了绝对偏差和均方误差的估计尾指数的样本大小, ,产生的毛刺分布。很明显从左边面板(即。,consisting of 10%, 30%, and 60% missingness) of Figure2的山老鼠估算数据集(Im.Hill)的最小绝对偏差小的值 。一般来说,我的偏见。山随无论增加的百分比失踪的观察。同时,Im。山是不稳定的增加在头五阶统计量。

虽然M_Hill估计最有偏估计量小的值 ,它的最小偏差较大的值 。即时通讯。山估计是M_Hill竞争更大的值 。

MSE而言,正确的面板的图2显示所有的估计发散增加。然而,Im。山是较小的值接近于零在所有missingness的百分比,即。、10%、30%、和60%。同时,对于大 ,一般来说,Im。希尔的估计量较小的MSE可比,M_Hill在missingness比例高的样品。

因此,偏差和均方误差,提出了即时通讯。山可以被认为是最合适的在一个大范围的 。

此外,仿真结果的样本大小 如图3。偏见的情况下,即时通讯。山估计展品最偏差和相对稳定不到40%的样本大小。除此之外的价值 ,M_Hill相对偏差最小的但不稳定,因为它是发散的增加。MSE, Im。希尔的最小均方误差大约不到50%的样本大小。再次,M_Hill更好的比所有其他的估计均方误差值超过50%的样本大小。然而,对于missingness比例高,提议的Im。希尔优于M_Hill估计量。因此,总的来说,Im。山提供了更好的尾指数的估计量的偏差和均方误差的值 。

此外,在的情况下的样本大小 ,估计表现出类似的性能特征,前两例进行了讨论。更重要的是,仔细看看相应的图表对所有样本的大小表明MSE普遍降低增加。这是经验一致估计量的一致性属性的尾部指数。

此外,右边的面板显示了估计的性能而言,MSE表明Im。山,几何学,Im。几何学estimators are more stable within the 50 and 200 upper order statistics, whereas M_Hill is not stable within the 50 and 200 upper order statistics. Here again, the Hill on MICE imputed dataset (Im.Hill) has the smallest MSE within the 200 upper order statistics. Hence, Im.Hill is the preferred estimator for estimating the tail index under missing observations when the sample of size 是从毛刺分布。

尾指数估计结果的样本大小 来自毛刺分布呈现在图4。结果在左面板(子图(一),(c)和(e)代表绝对偏差为10%,30%,和60% missingness)表明,几何学,Im。几何学,M_Hill不稳定在200上次序统计量。

具体来说,M_Hill的绝对偏差减小增加在200年和1000年上次序统计量而Im的绝对偏差。山,几何学,Im。几何学随增加。相对,Im。山是稳定在第一个200上次序统计量与最小绝对偏差。因此,Im。希尔可以说是最好的/首选估计量低的偏见。数据4 (b),4 (d),4 (f)现在的MSE尾指数估计的样本大小 来自毛刺分布。在200年和800年上次序统计量,M_Hill MSE的减少增加。Im的MSE。山,几何学,Im。几何学are more stable as增加。Im.Hillhas the smallest MSE within the first 400 upper order statistics and hence is selected as the most appropriate estimator for estimating the tail index under missing observations using a sample drawn from the Burr distribution with size 。

3.2。应用于现实生活中的数据

在本节中,我们说明了加强和现有方法估计尾指数在失踪的观察,在一个真实的风速数据从extremefit获得包在R (Durrieu et al。30.])。风速数据包含米每秒的平均风速(米/秒)每天在布雷斯特(法国)从1976年到2005年。数据包含10903个观察最低风速为0.700,最大27.400,平均每日平均风速8.553。

高风速是导致崩溃的建筑、船只、飞机起飞和着陆的困难等(见,例如,Marchigiani et al。31日])。因此,造型基础的风速分布的尾部行为将有助于规划和减轻极端风速的影响。缺失值的存在历史风数据速度建模过程中需要照顾。对于目前的风速数据,有6缺失值。此外,为了进一步评估的适用性提出了尾指数数据增强方法估计,我们介绍了missingness(即45%。,10%,25%,45%代表小,介质,分别为和大比例的missingness)的样本大小。

提出的应用数据增强方法估计尾指数开始寻找潜在的吸引域分布的风速数据集。图5(风速数据的散点图)显示了一些很少有观察脱离的大多数数据值。因此,分离值(大值)可能是异常值或极端的观察。

很明显从风速数据的直方图是积极倾斜这表明数据有一个沉重的尾巴。同时,总体增长趋势意味着过度的阈值下降表明,风速数据底层是重尾分布比指数。再一次,底部QQ-plots数字6 (c)和6 (d)比较样本分位数的风速数据的理论分位数指数和帕累托分布。两块支持先前的断言图,底层分布Pareto-type尾巴。

接下来,我们应用几何学估计量来估计尾指数可用的数据,并称之为“黄金标准。”随后,一套丢失的数据相对于样本容量的百分比,即。,10%, 25%, and 45% were created randomly in the data using the ampute() function in the R package MICE. The existing modified Hill and geometric-type estimators in the literature are used to estimate the tail index of the underlying distribution of the wind speed datasets with the missing observations. However, in the application of our method, we impute the missing observations using the mice() function in each of the three datasets containing the various percentages of missing observations. Thereafter, we use the standard Hill and geometric-type estimators to estimate the tail index of the underlying distribution from each sample.

图7礼物的结果尾指数估计风速数据的函数的数量上次序统计量, 。

为每个尾指数的估计,亲密的性能评估标准的几何类型估计量(即。C几何学,估计是一个完整的数据集上完成的风速数据)在不同的值 。

从图可以看出7,随着增加,几乎所有的估计偏离标准几何类型完整数据集(C_Geom)。从图7(一)(即。,10% missingness), estimates of Geom and Im.Geom are almost the same as estimates of the C Geom, whereas estimates of Im.Hill and M_Hill are farther away from C_Geom. Also, in Figure7 (b)Im missingness (25%)。几何学estimator is closer to C_Geom but it diverges as the number of top order statistics increases. Also, the proposed Im.Hill is closer to C_Geom than the rest of the estimators for 和发散超出这个范围。在引入missingness的百分比(即高。45%),图7 (c)显示我的估计。山上几乎是相同的C_Geom和其他相当稳定而估计的潜在分布的尾部指数风速数据。

在所有的情况下,很明显,M_Hill更偏离了标准而几何学,Im。几何学和Im.Hill。因此,它可以排除不利于尾部指数的风速数据。

一般来说,Im。希尔和Im。几何学are relatively closer to standard (C_Geom) whereas M_Hill deviates from the standard in all the scenarios. Therefore, the estimators of tail index that are based on our proposed data enhancement method can be considered as appropriate for estimating the tail index of the underlying distribution of the wind speed data. With these estimates, other parameters of extreme events such as high exceedance probability, extreme quantiles, and return periods for certain wind speeds, which are the focus of extreme value analysis, can be obtained more readily.

4所示。结论

本文提出了一种数据增强方法估算的潜在分布的尾部指数数据集当一些观察人失踪。这种方法涉及将一个适当的归责方法的缺失数据和之后的应用标准尾指数估计如希尔和geometric-types。该方法与现有的方法,标准估计是增强只使用常数的数据集的一部分估计尾指数。

估计基于数据增强方法相比,现有的尾指数的估计missingness使用模拟研究。仿真研究的结果表明,没有普遍的最佳估计天南海北的数量最高missingness次序统计量和百分比。然而,一般来说,该估计基于数据增强方法表现出较小的偏差和均方误差较大的光谱的次序统计量。更重要的是,在missingness比例高,增强方法的估计量的基础上,提出了数据显示较小的偏差和均方误差,因此,可以认为适合估计尾指数在失踪的观察。

此外,该数据增强方法估计尾指数与现有的估计与实际数据集上风速插图。结果表明,基于数据增强方法估计有竞争力当很少有失踪的观察和更适合当有很高比例的失踪的观察。因此,归责缺失的数据获取表面的完整的数据在尾指数估计提供了一个很好的方法。在这方面,老鼠算法推荐合适的归责机制增强missingness下尾指数估计的性能。

数据可用性

在这项研究中使用的风速数据是公开的R包,extremefit, dataWind命名。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

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