通过积分方程的谐波分析:在登革热传播中的应用

摘要

研究了由积分方程生成的振动基函数的集合。这是谐波分析中的一种新方法，因为我们能够解释除经典的傅里叶式周期波之外的衰减和放大振荡现象。在登革热发病率数据集上测试了提出的技术，这些数据集受到不同类型的影响。有一个由拉普拉斯变换支持的中间变换可用。便于参数估计，加强了潜在影响累积的提取。这种机械性的工作可以扩展为遇到振荡和累积效应的信号处理的工具。

1.介绍

谐波分析是中央在信号处理的许多应用。它的适用性不限制于物理波，呈现出许多现象从生物学到金融潜在的应用[1]。基本波的重叠而表示一个波或功能是在谐波分析的关键机制。傅立叶分析是在信号处理中，经常使用的方法，其中的正弦波作为基函数[执行2]。这是在很多比较研究的基线为好。例如，布罗德和Maksik利用的沃尔什在分析矩形波变换[3.]。

此外，如相关性分析的统计评估也可在学习信号，特别是时间序列通过。然而，在多个周期性的或无法识别变量的一些细节将不会提取[4]。因此，我们选择在傅里叶级数的基础上继续我们的工作。此外，还有加速傅里叶级数收敛的技术，例如，在端点处合并导数信息[5]。然而，我们的方法允许改变谐波模式，而不是将它们限制为周期波。

由于归因于傅立叶级数，定期功能可能无法背后每一个应用程序。因此，阻尼和放大振荡将是后续的改进变体。在这里，在本文中，我们通过Volterra积分方程提出这样的工作（1），其已被实施，以人口增长[示范6]。

模型方程(1）描述了人口根据生存合并的一个功能随着年龄的增加。它迎合了人口的累积效应，因为每一个幸存的个体都会对新生儿作出贡献。我们把它的意识形态转变为流行病学来模拟传染病的发病率。然后，已经感染的个体的累积过程控制了进一步的发病率。其他外部影响也可以纳入其中。

我们介绍到携带的解决方案正弦和指数的影响（谐波过程1)。它赋予了阻尼和放大振荡，而不是经典的周期波。接下来，我们计划提取影响函数理解每个波背后的过程。这个活动是由差异内核进一步推动的在(1)，从而导致潜在的解决方案通过拉普拉斯变换。我们通过与经典的离散傅里叶级数技术的比较，验证了这种新的登革热发病率谐波分析。

2.材料和方法

2.1。对整体模型的准备和修改

用模型方程的确切术语(1）在时间的总人口带有初始值 。这里， ,生存函数，代表了活到老年的人的比例 。因此,描述人类生存的年龄依赖潜力，这是模型的主要例行公事。的参数代表每个人的出生，和论点在内核中捕获由于出生时间的滞后效应。

在我们对登革热发病率的举动，作为一个影响功能，容忍极限传输动力学。例如,当然后检测发生率可以代表一个影响因素，如降雨模式。之后，我们的目标是提取隐藏的影响功能。针对疾病的解释可以与媒介蚊子、天气模式以及人类宿主的生物或行为因素的影响相一致[7]。

定义1。我们定义要对在时刻感染病例（发病）数的措施通过影响功能的影响 。

我们的目的是利用直接制定基本函数，近似登革热发病率数据。

定义2。我们把 为了迎合阻尼 ,放大 ,或周期性 振荡影响功能。

的操作是双重的铰接作为正弦图案作为基底，并允许阻尼和放大通过指数效果变体。在这里，参数确定波长或频率和参数确定由于在不存在的指数效果初始要求的任何偏移。该参数的作用它还代表了缩放要求和部分负责基本波的最终线性组合。

2.2。模型的解决方案

现在，我们提出的模型方程的解（1）及其在登革热发病率提议的应用方向。

命题3。解决(1） 是（谁）给的 ,它有以下两种情况 。

案例1。(振荡解)。 哪里 , , ,和

案例2。（非振动溶液）： 哪里 其他公式与Case相同1。

证明。通过应用拉普拉斯变换（1利用卷积性质，我们得到 ,它提供了 。
自 ,我们到达

如果 ,然后我们得到了解决方案1如果 ,那么我们有案例2。

接下来,命题4给出了求的逆过程这就保证了的解析存在性对于一个给定的 。

命题4。

证明。其结果是由早期的表达直接：

如果拉普拉斯逆不是直线前进，一会尝试维奇轮廓积分[8,9]。

定义5。我们在构建叠加作为 ,哪里 基函数是否对应于影响函数 每一宗 。我们称之为作为整体传播潜力。

有限情况下的近似可由 ,哪里使用谐波数。最终得到最小二乘法意义上的近似关联数据。

2.3。参数估计

由于在流行病学现象中可以预料到自然振荡，我们用病例进行检验1命题3.。每周登革热发病率数据2013至15年在科伦坡市政区域，斯里兰卡报道[10]用于提取基函数并随后影响功能。该市政区是极易受到登革热传播由于城市密集环境。

假设的顺序三角多项式 , 用于离散意义上的近似数据。首先，我们确定傅里叶谐波 ,还有截距项(例如, )使用MATLAB曲线拟合工具箱最小化 。这里，指某一点的数据值对于 。

接下来，我们估计的每组参数的初始猜测倾注在 。这些估计是通过对准得到的与连续谐波分开。通过在合理的容许范围内( )它们之间的平方偏差和它的傅里叶对应项 。在这里，近周期行为被归结为而指数效应终于扮演的角色微调整体配合。

下面的结果保证没有完全限制使用对指数影响而迫使的空间排出的指数效应 。

命题6。 并不一定意味着 。

证明。结果很简单，因为我们有 。

接下来，我们如上所述初始化参数并最小化表示数据和叠加输出之间的偏差 。为此，我们实现了一个MATLAB fminsearch工具，它使用了Nelder-Mead单纯形算法[11]。通过使用得到的参数值，我们可以确定所有和 。

2.4。收敛展望

很明显，当级数数增加时，傅里叶拟合和模型拟合都能产生更好的数据近似。对于给定的级数，由于的作用，我们的模型拟合比傅里叶拟合能更接近数据在 。它是由的有界性辅助和任何实际价值的可能性 。请注意，条款涉及在傅立叶配合是正弦和余弦项只允许由相应的系数的耐受性的振荡。然而，在模型拟合，可以看到系数的适应性按照效果 。上的选项是间接受制于条件的吗(命题3.)。尽管如此，在软件强大的搜索能力可以减少计算试验的负担。

3.结果

3.1。曲线拟合

在图1,傅里叶和模型适合 中示出。我们加入截距项成与实际数据相妥协。在试错阶段，宽容 。我们先从 与完成 ,这是MATLAB傅里叶拟合中允许的最大谐波数。

图在图1对不同拟合曲线的可靠性进行可视化 ,和表1包含偏差平方和的总和。这表明， 非常适合相比，其对应的为每一个 。因此，基函数能否进一步作为一个可靠的中间工具来提取 。

我们可以看到，模型拟合和傅里叶拟合主要在数据集的极端处有所不同。通过模型(1)。这暗示效果在如章节所述2.4。数字2进一步说明了这种极端的影响。这里，红色的曲线代表 蓝色的曲线 包含指数的影响。观察到，在后级的蓝色曲线的附加波动允许在数据到达的属性，其可以不仅通过正弦曲线中提取。因此，一系列的极端处的收敛更配备了指数的订单。

3.2。基函数

由于对近周期波的改进是预期的，因此值得看看在三角术语中的偏差。数字3.描述了每个谐波的相关情况 。我们举例说明正弦项（ )和余弦项（ )傅立叶适合和他们的模型拟合同行，不包括指数效应。除此之外，谐波还提出了不(图3., )。的值和被指示看到的变化。

这里，不同的振荡行为是可见的阻尼 ( )和放大, ( )。阻尼或放大特性的强度可以通过尺寸来看出 。因此，相对较大迫使曲线偏离经典的周期性质。零附近的振荡与傅里叶谐波保持相同的论点，它表示截距值的变化 。

在最后的模型拟合中，参数是否部分负责组合类型的基本模式 。本来，确定影响模式的振幅(缩放)要求 。此外，参数代表幅度的进一步妥协，同时表示模型的初始要求（1)。对于图上面的情况下，这些参数值3.列于表2。的值也显示，看相结合的结果 型波在整体传输势中的作用。因此，我们的方法建立了一种机械性的方法来观察振荡谐波的不同可能性。

根据大小 , 和分别包含对整体传输的最低影响和最高影响。这样的观察允许我们(通过正负符号)看到质量 )和数量(通过大小 )每个谐波结构的贡献 。

类似于傅里叶分析，我们可以设计功率谱的总和系数在每个指数加权正弦:和 。表格3.包含这些系数值，将其作为电源 。这里也是和包含最低功耗和最高功率分别为。

将数据序列分解成基本正弦波是傅里叶分析的主要程序。同样，我们通过模型(1)伴随有指数加权正弦曲线的结构。一个值得注意的事实是，在影响函数中，我们也可以观察到类似的指数加权正弦。

3.3。影响功能

影响功能图中所示的情况3.显示在图4。如前所述，这些功能包含了对疾病传播影响的累积效应。注意，如果没有强制累积(即， ）基函数的行为是对应影响函数的直接含义 由(1)。累积的强度也可以通过大小来估计 。根据显示的值 , 和包含在积累的影响最低和最高的影响，分别。

不同的振动行为可以看作是阻尼，其中 ( ）和放大，其中， ( )。在这里，同时，我们也观察到的质量（通过的正/负号 )和数量(通过大小 )由积累做出了贡献在模型方程(1)。

3.4。解释前景

登革热是一种由蚊子传播的病毒疾病，这是由四个病毒血清型（DENV-1，DENV-2，DENV-3，DENV和-4）而引起的。长期暴露于一种血清型产生免疫到该特定的类型，但仅部分横保护从长远看其它血清型[明显12,13]。另一方面，媒介蚊子，埃及伊蚊和白纹伊蚊，高度适应城市环境[14,15]。因此，可以在病毒类型和适应蚊子的不同组合出现集体风险。此叶片控制措施不稳定和不一致的，其可通过放大在基函数的振荡（例如被识别， )。

在一组个体感染登革热后，他们的传播能力以不同的方式波动。正如阻尼振荡所表明的那样，这种能力可能以两种方式为特征:与降雨模式一致，与疾病控制的意识一致。由于意识在雨季增加，这种综合效应受制于振荡行为。受季风及季风间影响，有关的科伦坡市区每六个月就会出现雨量高峰[16]。因此，如在（C₄)和(c₅)，我们预计大约每六个月传播一次高峰。同时，如(c₁）捕获在所述数据系列的中间期间发生率较高，这表明结合的长期影响的能力。

的基函数在(c_3.)并不表示强峰值，但表示一个更快的饱和到一个特定的传输水平。这可以通过改善蚊虫控制和保健来了解，而不考虑降雨的影响。当我们考虑更多的谐波时，可以得出更具体的解释和相应的 。在另一方面，可以保持所期望的信息，同时除去任何嘈杂或外来波时我们有更多的谐波[1]。

4.讨论和结论

一种用于提取与阻尼，放大，或周期性的性质振荡行为机制在这项工作中讨论。这是对比由傅立叶级数，只有周期性波被认为是经典的谐波分析。积分方程（1）允许因变量在一段时间内积累一体化。传染病如登革热的发生率可类似地建模为（1)。整件作品amalgamates分解数据为基础振荡波和积累注入到这些声波。

(的差异内核)1)使得拉普拉斯变换中更容易实现卷积性质。我们根据影响函数(命题)的选择来考虑振动基函数3.)。我们的参数估计方法与近周期谐波是一致的。命题6支持所有振动类型的影响函数的存在，尽管我们强加了近周期模式对应的基函数。在理论意义上，是命题4保证基函数和影响函数之间的转换。拉普拉斯变换有许多类问题，包括微分方程、频率分析和电路分析[17]。我们的工作也表明在弥合模型解决谐波分析它的中间作用的重要性。

总的来说,传播潜力如表所示，其对登革热发病率的同化优于其傅里叶对应物1。通过对傅里叶波进行初始猜测的测试，我们倾向于通过每个基函数中的指数效应来微调整体行为。对登革传播的不同组合影响可以通过产生的谐波来解释。特别是，阻尼振荡可以提取降雨和意识对疾病控制的综合影响。不断放大的振荡将显示由于不同病毒类型和适应的蚊子而导致的传播变化。对负责任的影响功能的提取，以及它们对积累的贡献，会导致对特定疾病的更多解释。累积效应并不局限于一种疾病或一种现象。As White等人[18]提出，对于一般健康的影响，就必须超越特定疾病模型。因此，类似于这里工作可以延伸到研究积累暨谐波的影响。

本文提出的基于模型的调和分析也可以扩展到流行病学以外的应用。任何有有意义的振荡基波受累积效应影响的现象都是潜在的候选者。

数据可用性

数据可以通过流行病学部，卫生部，斯里兰卡，可在检索：http://www.epid.gov.lk。

的利益冲突

作者宣称，他们没有利益冲突。

参考文献

1. J.糖果，信号处理，约翰威利父子公司，美国，2006。
2. W.出版社，S. Teukolsky，W. Vetterling和B.弗兰纳里，数字食谱用C，剑桥大学出版社，剑桥，1992年。
3. H. A.布罗德和Y. A. Maksik，“使用Walsh函数的周期性数据的分析，”行为研究方法，仪器和计算机卷。24，没有。2，第238-247，1992。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
4. M. Filipowich，有哪些优势和相关研究的缺点是什么？2020年3月,https://classroom.synonym.com/advantages-disadvantages-correlation-research-8359597.html。
5. W. Li，“加速收敛的替代傅里叶级数展开式”，应用数学第7卷，no。2016年，第1824-1845页。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
6. 答:洁蕊,简介积分方程及其应用，德克尔，纽约，1985年。
7. N. C. Grassly和C. Fraser，“传染病传播的数学模型，”自然评论微生物学第6卷，no。第477-487页，2008。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
8. 《拉普拉斯变换的数值反演》，G. Milovanovic和A. Cvetkovic著，法克塔大学学报 - 系列：电子及能量卷。18，没有。3，第515-530，2005。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
9. P. W. Fernando和S. S. Sritharan，“移动搜索器存在下扩散目标的非探测概率，”关于随机分析的通信，第8卷，no。2、2014。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
10. 流行病学单位，卫生部，斯里兰卡2019年10月,http://www.epid.gov.lk。
11. 李瑞德，“低维中Nelder- Mead单纯形法的收敛性”，《数学与数学》，台北:国立中山大学出版社，2003年。SIAM最优化杂志卷。9，没有。1，第112-147，1998。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
12. L.埃斯特瓦和C.巴尔加斯，“登革热病毒的不同血清型的共存，”数学生物学杂志卷。46，没有。1，第31-47，2003。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
13. N. G. Reich, S. Shrestha, A. A. King等，"登革热血清型之间的相互作用突出交叉免疫的流行病学影响，"皇家学会界面杂志卷。10，没有。86，文章20130414，2013。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
14. 世界卫生组织,登革热-斯里兰卡十一月2019年，https://www.who.int/csr/don/19-july-2017-dengue-sri-lanka/en/。
15. P. Sirisena和F. Noordeen，《斯里兰卡登革热的演变——病毒、媒介和气候的变化》，国际传染病杂志卷。19，第6-12，2014。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
16. D. w.t. T. Darshika, i.m.s. P. Jayawardana, d.m.s. C. Dissanayake，“斯里兰卡年和季节性降雨的多模型综合气候变化预测，”斯里兰卡气象的卷。3，第19-27，2018。查看在：谷歌学术搜索
17. ScienceDirect,拉普拉斯变换2020年3月,https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/laplace-transforms。
18. ·H·怀特，P. O'Campo，R. Moineddin和F洋行，“造型曝光社会对健康的累积效应：超越特定疾病的模型，”国际环境研究和公共卫生杂志卷。10，没有。4，第1186至1201年，2013。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索

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