离散非线性Schrödinger方程的周期行波解

摘要

一般离散非线性薛定谔方程（DNLS）非零周期行波解的存在性在一维格上证明了DNLS具有一般的非线性项和超越通常的近邻相互作用的可变范围的相互作用。行波解的存在性问题转化为在适当的函数空间上的算子的不动点问题，并通过Schauder不动点定理。

1.介绍

在耦合振荡器系统中以行波、孤子和呼吸子的形式出现的相干结构已经引起了相当大的兴趣，尤其是由于它们在物理学、生物学和化学中的应用所起的重要作用(回顾见[1.–3.])在此背景下，人们研究了各种非线性晶格系统，包括费米-意大利乌拉姆系统、离散非线性克莱因-戈登系统、相振子晶格、约瑟夫森结系统、反应扩散系统和离散非线性薛定谔方程。关于存在性、稳定性和唯一性的一些精确结果已获得上述系统中相干结构的一致性；例如，参见[4.–27］．

特别是关于非线性晶格系统中周期行波（TW）的存在性，人们使用了各种方法，例如，利用空间动力学和中心流形约化证明了非线性离散Klein-Gordon系统中小振幅波的存在性[15,21]对于Frenkel-Kontorova模型，通过不动点方法证明了TWs的存在[16]利用改进的李雅普诺夫-施密特技术，证明了牛顿摇篮中周期TW的存在性[25］．在[19,24,28］．

在[24]中给出的一般无限DNLS系统周期TWs的存在性和分岔结果(1.)是用变分方法推导出来的。在本文的研究中，我们给出了一个较简单的证明，证明了在有限格上同一系统中周期性TWs的存在性。为了得到我们的存在性结果，引入了一个适当的函数空间，在这个函数空间上，原问题可以表示为对应算子的不动点问题。利用Schauder不动点定理，建立了周期TWs的存在性。考虑有限格的主要优点是，对于周期TW解，相关的守恒范数(幂)，以格点处振幅平方和的形式给出，具有有限值。因此，利用幂的矫顽力可以在函数空间中定义合适的子集，从而应用Schauder不动点定理。然而，施加周期边界条件的无限格被构造。该方法不仅适用于一般高维DNLS系统，而且适用于其它各种非线性晶格系统。

2.通用黑暗与系统

在目前的研究中，我们感兴趣的是以下一般离散非线性Schrödinger方程在有限一维格上的周期TW解的存在性: 与 ．

解满足周期性条件： 为 ；即，我们考虑环上的DNLS。此外，利用周期边界条件可以得到无限的一维晶格。每个单元都与它的左边和右边的相邻振子。 确定相互作用半径，从获得的最近邻相互作用的范围 到全局耦合时 和是奇数。

假设下面的条件 成立。

为 ,   ．有常数 ,   这样 对于任何 ．

标准DNL，因以下原因而产生： 和 ,   在(1.)，它支持周期性行波解(见，例如[29])。如上所述，系统中存在周期TWs (1.)格上交于[24用变分方法。本文给出了周期行波解的存在性证明1.)然而，通过施加周期边界条件，我们构造了一个无限格。对于存在性陈述，我们引入了一些适当的函数空间，在该空间上，原始问题转化为相应算子的不动点问题。借助Schauder不动点定理，我们证明了pe的存在性建立了riodic TWs。

系统(1.)具有两个守恒量:能量 和权力

我们考虑这种形式的行波解 与一个-周期函数 , ,在那里 和 是波的参数。

为使行波解满足(2.)，我们采用相应的网格尺寸。这意味着对于给定的波数 与理性的 和两个相对素数 ,   ，晶格的位置数， ,应该是相关周期行波的最小空间周期的适当倍数，由 ，使(2.)实现。

3.存在问题的陈述

关于周期行波解的存在性，我们说明如下。

定理1。让等等，然后是任何有理数 存在非零周期行波解 的(1.), ,这样 前提是 哪里 和决定了范围 函数的 给出的

在下面，我们将原始问题重新表述为巴拿赫空间中的不动点问题，类似于[16］．

4.存在定理的证明

为了证明该定理的结论，我们使用了Schauder不动点定理(参见30):让是Banach空间的闭凸子集 ．假设 连续映射是这样的吗是相对紧凑的子集 ．然后有一个不动点。

证明。行波解满足提前-延迟方程 哪里 和 ，因此根据布洛赫-弗洛凯定理，一个解必须是这样的形式 哪里 和 用(14) (13)一个获得 与 因此，这项任务相当于找到周期函数 令人满意的(16)．
即将进行的讨论(16)适当地重新排列如下: 请注意，在只在(18)．
让 是固定的。我们确定了与 ．表示由实巴拿赫空间 哪里 巴拿赫空间是什么定期和功能 配备有 分别地是紧密嵌入的( )．
我们分解函数 傅里叶级数 与(18)我们考虑线性映射: : 我们证明了该映射是可逆的，并且得到了其逆的范数的上界。
应用算子到傅里叶元素在(21)的结果 哪里 根据假设(8.)有 ,   ，使映射具有逆服从 .对于有界线性算子 一个源自: 哪里是用(11)．
对于周期性行波解 一个派生，使用(3.), (5.), (8.)，及(16),范围 然后我们考虑。的闭凸子集和由 分别地是紧密嵌入的( )．
此外，还与(18)引入非线性算子 ,因为 显然,操作员是一致连续的 ．范围是包含在一个有界的球里 ,自 最后，表示problem (18)作为映射的不动点方程 : 我们得到了 验证确实 因此地图有限子集的分为相对紧凑的子集的 ．
这还有待证明上是连续的 ．像是一致连续的 ,一个人 和 那是一个固定的任意值 存在 这样 如果 ．因此,对于任意的 ,我们有 验证上是连续的 ．因此，Schauder不动点定理意味着不动点方程 至少有一个解决方案。
此外，由零非线性项产生的线性平面波解(声子)的谱，由系统的r.h.s. (18)，形成一个连续的带，其值在区间内 ．然而，由于假设(8.)振荡频率的值在线性（声子）带范围之外，相应的轨道是非谐的。这需要根据振幅调谐频率，使后者位于声子谱之外。因此它必须保持这一点 只有当 ．即不动点方程(30)只具有非零解，证明就完成了。

5.总结

总之，我们证明了一维有限格上一般非零周期行波解(包括作为特例的标准非零周期行波解)的存在性。为此，将存在问题重新表述为函数空间上算子的不动点问题，并利用Schauder不动点定理求解。我们的方法不仅可以直接推广到处理一般高维格上的非最小二乘法，而且可以推广到其它类型的非线性格系统，如非线性离散的Klein-Gordon系统。

的利益冲突

作者声明不存在利益冲突。

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