关于合作的有效性群体游戏

抽象的

这我们考虑每个参与人最大化其收益函数的个人博弈。我们研究了合作博弈论中一个有趣的问题:联合的有效性工会中的球员。这种合作的目的是为每个玩家获得积极的增加，以获得保证的回报。我们已经获得了一些有效的充分条件，其中在联盟中的参与者的加入对每个玩家都很有用。正在考虑线性情况，特别是。在本文的第二部分，我们研究了关于合作的有用性的问题球员在存在的情况下播放器，一个不成意的破坏性球员，其整个目标不是赢得，而是为了单独伤害每个球员，也是这些球员的联盟，例如全球恐怖主义。应该指出的是，第二部分的被认为的情况与2014年夏天交付的V. Kryazhimskiy的谈话有关。我们获得了在这种情况下，球员的联盟在该情况下获得了建设性的条件。

1.介绍

在博弈论中(参见，例如，[1-3.的合作博弈论得到了广泛的关注的人。在 [4.那5.]，我们从将两个人和三个人结合在一个联盟中以获得额外红利的有效性的角度考虑了两个人和三个人的博弈。在本文的第一部分，我们考虑在联盟联盟的有用性方面的人员游戏，其中策略的选择是在音乐会上进行的，以便最大限度地提高支付金额玩家。在第二部分，玩家会考虑带有恶意破坏玩家的令人不安因素的游戏。在此，我们研究了加入(合作)的可行性玩家联合起来对抗来自恶意破坏玩家的可能的麻烦。关于合作理论的不同方面请看，例如，[6.-9.]。

2.合作的有效性人游戏

让;在欧几里德算术空间 - 空间的实值）固定的非谱结构，分别，和我们定义了连续标量函数．我们表示．在被认为的游戏中玩家选择矢量并努力最大化他的回报那．球员可以选择载体彼此独立。正如我们从博弈论中所知道的那样(参见，例如，[1-3.)每玩家可以保证收益 在哪里（在该公式中，认为如果最小化被执行过而如果最小化被执行过)，如果他选择一个向量根据要求 在哪里（在该公式中，认为如果最小化被执行过为了而如果最小化被执行过为了）。假设收益那，以相同的物理单位（在经济应用中，例如，收益）测量那，通常以货币单位计量）。在这种假设中，价值 也有一个物理意义。如果玩家被联合到一个联盟中，然后协同行动(即选择)在)他们可以使用数量 在哪里．很容易证明(见)1））） 如果 然后在联盟（联盟）中的球员加入所有球员都是有利的，因为正数量 能以积极的形式分配到保证收益之外吗．要知道这种分布是如何合理的，例如，看[10， C。181-186]。

在博弈论及其应用中出现了一个有趣的问题即找到我们所考虑的博弈元素的建设性条件在严格不等式(6.)持有。我们考虑两种情况，在这两种情况下，可以指出这种情况。

2.1。情况下

连续功能对一种分离的形式: 的功能是持续的那．

在下文中，让我们同意写作运营而不是操作,分别。同样的,我们写而不是操作,分别。调查不等式（6.)可以重写为 我们单独考虑的不平等 在该公式中，认为如果是右侧有形式 而如果有形式

很容易证明以下引理。

引理1。在假设下（8.） 和 （9.）对于每个人来说不平等(10)持有。
请注意，一般来说，每一个不平等(10）不一定严格满足。然而，一个有以下内容。

雷玛2。对于一个给定的，存在一个点套装，它不属于至少一个集合， 在哪里并且不等于．然后不平等（10)是严格意义上的。

证明。很明显，对于一个给定的不等式的左边(10)大于或等于价值 在那里，不难看出它大于或等于不等式的右侧（10）。此外，通过使用lemma的假设2，很容易证明这个值严格大于不等式的右侧（10）。从所说的话，引理2跟随。

备注3。符号和分别表示函数最大和最小值的一组在．

从上面我们得到以下。

定理4。如果至少有一个数字lemma的条件2那么就有严格的不平等(9.)，因此，严格不等式(6.）。

2.2。案例B（案例的子箱A）

套装，凸起紧凑，以及连续功能对线性形式 在哪里是固定的矢量那;符号中的标准标量积,分别。的功能有一个分开的形式(cf.)8.）），您可以使用我们获得的结果．在考虑线性情况下，严格不等式(10）可以为每个人重写在形式 在接下来的内容中，我们需要一些辅助信息。

在欧几里德空间（）我们表示， 在哪里向量的平均标准长度．以下将是有用的。

定义5。非凸凸紧凑型集（)内部为非空腔的称为- 适用，如果（1）对于任何在只存在一个矢量,最大化标量产品;（2）对于每个边界点紧凑型只有一个支持超平面，通过该点．

备注6。在这里，我们使用一些凸分析的概念（参见，例如，[11那12])。我们注意到这一点点属于集合的边界．使用凸分析术语，我们可以说--Set是一个严格凸起的套装，也是一个凸起的体。

在 [4.证明如下。

引理7。让套装 豆角，扁豆- 设置，让载体和是一些非零矢量,这样 然后，

引理8。对于一个给定的，集合 是一个- 和向量是非零和矢量不等于至少一个向量 在哪里和不等于．然后是这个号码一个人有严格的不平等（15）。

证明。在上述假设下，给予给定的，矢量这是最大化功能在是唯一的定义。因此， 让向量不等于向量， 在哪里和不等于．来自lemma.7.我们获得以下不等式： 在哪里指该功能的最大化器为了．
我们可以表明这一点 从关系(20.） 和 （21）我们获得了不平等 因此它如此 从上面和lemma2，遵循严格的不平等（15)持有。

在上述基础上，我们获得了以下定理。

定理9。如果至少有一个数字lemma的条件8.是实现的，然后为功能那，一个人严格的不平等（9.）并且因此严格的不平等（6.）。

备注10。收益函数有一个单独的形式(参见(8.)，通常被考虑在博弈论(参见，例如，[10])。

3.合作的有用性带有恶意破坏性玩家的单人游戏

在这一部分中，我们简要地研究了一些比第一部分更一般的考虑存在性的博弈模型玩家，一个不成意的破坏性球员。这里考虑的问题的陈述是由A. V. Kryazhimskiy的谈话激励。

我们考虑一下人游戏的形式几乎是经典的．收益函数的玩家是一个连续函数 在哪里那和那在相应的有限维欧克利德内空间中是非缺陷的小组。这玩家选择为了最大化 矢量由不明意的破坏性球员选择，其目标不是赢得胜利，而是伤害球员。我们想证明，有时候，球员在联合联盟方面是有利的，并与不明意的破坏球员的可能采取行动。

我们将研究游戏，为此 这里还有类似的不等式那．

请注意，当不等式(26）得到满足，有利于球员在联盟中团结起来，以便通过讨价还价获得更大的回报而不是两人零和游戏。事实上，在不平等中（26）我们使用合作博弈论的特征函数的概念。我们的研究非常简化 的功能那那那是持续的，虽然功能是持续的

通过使用(27)关系(26）可以以表格重写

请注意以下不等式成立:

不等式证明(29）。我们有 适用于两部分的操作我们获得所需的不平等。
从 （29)为实现不平等(28）保证不平等足以 注意在一般情况下 因此，不等式（31）要实现，但不平等是必要的（32）必须变得严格。
通过矛盾来证明，严格的不平等（31)认为如果

请注意，履行条件（33）独立于函数的选择．因此，它遵循上述情况，对于严格的不平等（28）要满足，那么关系就足够了（33)是实现。

4。结论

本文涉及的主题理论人员游戏。在这个理论中，制定了非支持和合作游戏的区别。考虑问题的制剂与合作游戏理论有关（参见，例如，[1-3.])。请注意，我们正在学习的问题与对特征功能的性质的研究直接相关人合作游戏理论，所有球员都形成了一个工会。联盟的具体参与者可能是企业，州等。在文章中，我们考虑了在可分离形式的非线性支付功能的一般情况和以线性形式的这些功能的子盒。已经获得了有效的充分条件，确保了联盟所有球员联盟的有用性。一种学习方法-人游戏也被提议在其中玩家是活跃的这个玩家是一个有恶意的破坏性玩家，他的目的不是为了获胜，而是为了伤害他人。

利益争夺

提交人声明没有关于本文的出版物的利益冲突。

致谢

作者谨此感谢V. I. Zhukovskii的宝贵意见和建议，提出了这篇论文的介绍。