果酱 应用数学学报 1687 - 0042 1110 - 757 x Hindawi出版公司 10.1155 / 2016/9734615 9734615 研究文章 在合作的有效性<我nline-formula> N 人游戏 Nikolskii 米哈伊尔·Sergeevich 1 http://orcid.org/0000 - 0003 - 0895 - 4346 穆萨 2 1 不欢而散数学研究所 俄罗斯科学院 Gubkina Str。8 119991年莫斯科 俄罗斯 ras.ru 2 数学系和计算机科学 科学教师 Abdou Moumouni大学 10662年英国石油公司 尼亚美 尼日尔 uam.refer.ne 2016年 13 12 2016年 2016年 28 06 2016年 11 09年 2016年 26 09年 2016年 2016年 版权©2016米哈伊尔Sergeevich Nikolskii和别穆萨。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

的<我nline-formula> N 人游戏中,每个玩家最大化自己的收益函数。我们学习了一个有趣的问题,合作博弈理论关于修炼的有效性<我nline-formula> N 球员工会。这种合作的目标是为每个球员得到一个积极的保证收益增加。我们得到一些有效的充分条件下,球员的加入为每个球员在联盟是有用的。线性情况下,特别,正在考虑。在论文的第二部分,我们研究了关于合作的有效性<我nline-formula> N 球员的存在<我nline-formula> ( N + 1 ) th的球员,一个恶意破坏性的球员,他的整个目的而不是取胜伤害单独每个玩家,这些玩家的结合,例如,全球恐怖主义。应该注意,认为情况在第二部分与a诉Kryazhimskiy的讲话发表在2014年的夏天。我们获得建设性的条件下工会的球员在这种情况下是有益的。

1。介绍</gydF4y2Batitle> <p>在博弈理论(见,例如,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xrgydF4y2Baef>- - - - - -<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xrgydF4y2Baef>]),关注的合作博弈理论<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的人。在[<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xrgydF4y2Baef>),我们认为两个和三个人的游戏的观点相结合的实用性在联盟为了得到额外的红利。在本文的第一部分中,我们考虑<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>人游戏的效用的团结球员工会协同策略的选择是为了最大化的回报的总和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的球员。在第二部分,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>玩家的游戏与扰动因素被认为是恶意破坏性的球员。在这里,我们研究了加入(合作)的可行性<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>球员工会应对可能的麻烦从恶意破坏性的球员。理论的不同方面的合作,例如,(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xrgydF4y2Baef>- - - - - -<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B8"> 9</xrgydF4y2Baef>]。</p></gydF4y2Basec> <sec id="sec2"> <title>2。有用的合作在< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M11公路" > < mml: mrow > < mml: mi > N < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >人游戏</gydF4y2Batitle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> ⩾</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>;在欧几里得算术空间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⩾</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⩾</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>空间的维度)固定的非空紧集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,分别<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>我们定义了连续的标量函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>。我们表示<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>。在考虑游戏<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>玩家选择向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和他努力最大化回报<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。向量的玩家做出选择<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>彼此独立的。正如我们所知道的博弈理论(见,例如,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xrgydF4y2Baef>- - - - - -<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xrgydF4y2Baef>)每<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>玩家可以保证收益<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtable class="smallmatrix"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>(这个公式,认为如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>最小化执行结束<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>最小化执行结束<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>),如果他选择一个向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>根据需求<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtable class="smallmatrix"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>(这个公式,认为如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>最小化执行结束<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>最小化执行结束<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>)。它假定回报<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>单位是相同的物理的(在经济应用程序中,例如,回报<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>通常以货币单位)。在这样的假设,值<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>还一个物理意义。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>球员在联盟(联盟),然后行动一致(即。,选择<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>他们可以使用数量<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。很容易证明(见(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xrgydF4y2Baef>))<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⩾</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>如果<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后加入的球员在联盟(联盟)是有利于所有球员,因为积极的数量<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>可以分布的形式积极除了保证回报<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。知道其实这个分布是合理的,看到的,例如,(<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xrgydF4y2Baef>c。181 - 186年)。</p><p>gydF4y2Ba那里出现了一个有趣的问题寻找建设性的博弈论及其应用条件的元素的游戏被我们认为严格不等式(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 6</xrgydF4y2Baef>)持有。我们考虑两种情况,可以表明这些条件。</p><gydF4y2Basec id="sec2.1"> <title>2.1。情况下</gydF4y2Batitle> <p>的连续函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>一种分离的形式:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (8)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ⋮</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>的功能<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>是连续的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba接下来,让我们同意写操作<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>相反的操作<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,分别。同样的,我们写<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>相反的操作<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,分别。调查不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 6</xrgydF4y2Baef>)可以写成<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 32</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>我们单独考虑<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的不平等<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⩾</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在这个公式,认为如果右侧<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>的形式<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的形式<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>很容易证明下面的引理。</p><gydF4y2Bastatement id="lem1"> <title>引理1。</gydF4y2Batitle> <p>在假设(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 8</xrgydF4y2Baef>)和(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq4"> 9</xrgydF4y2Baef>)为每一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq5"> 10</xrgydF4y2Baef>)持有。</p><p>gydF4y2Ba注意,一般来说,对于每个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq5"> 10</xrgydF4y2Baef>)不一定是严格履行。但是有以下之一。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="lem2"> <title>引理2。</gydF4y2Batitle> <p>对于一个给定的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,存在一个点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的设置<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 参数</米米l:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,不属于至少一个集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 参数</米米l:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和不等于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然后不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq5"> 10</xrgydF4y2Baef>在严格的意义上)。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="proof1"> <title>证明。</gydF4y2Batitle> <p>很明显,对于一个给定的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>左边的不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq5"> 10</xrgydF4y2Baef>)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>大于或等于价值<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∗</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>不难看到,它是大于或等于右边的不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq5"> 10</xrgydF4y2Baef>)。此外,利用引理的假设<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="lem2"> 2</xrgydF4y2Baef>,很容易证明,这个值是严格大于右边的不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq5"> 10</xrgydF4y2Baef>)。通过说,引理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="lem2"> 2</xrgydF4y2Baef>遵循。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="rem1"> <title>备注3。</gydF4y2Batitle> <p>这些符号<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 参数</米米l:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 参数</米米l:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>分别表示的点集函数的最大和最小<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></gydF4y2Bastatement> <p>从上面我们得到以下。</p><gydF4y2Bastatement id="thm1"> <title>定理4。</gydF4y2Batitle> <p>如果至少一个数字<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>引理的条件<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="lem2"> 2</xrgydF4y2Baef>意识到,那么一个有严格的不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq4"> 9</xrgydF4y2Baef>),因此,严格不等式(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 6</xrgydF4y2Baef>)。</p></gydF4y2Bastatement> </sec> <sec id="sec2.2"> <title>2.2。案例B(子用例的情况下)</gydF4y2Batitle> <p>的集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>、凸紧凑、连续函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>对<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>线性形式<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (14)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ⋮</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是固定的向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>;符号<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ·</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示标量产品的标准<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,分别。的功能<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>有一个分离的形式(cf。<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 8</xrgydF4y2Baef>),您可以使用我们获得的结果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。在考虑线性情况下<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> B</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,严格的不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq5"> 10</xrgydF4y2Baef>)可以改写为每个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在表单中<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>接下来我们需要一些辅助信息。</p><p>gydF4y2Ba在欧几里得空间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ⩾</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>我们表示<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> v</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> :</米米l:mo> <mml:mo> |</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> v</米米l:mi> <mml:mo> |</米米l:mo> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mo> |</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> v</米米l:mi> <mml:mo> |</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>意思是标准长度的向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> v</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。以下将是有用的。</p><gydF4y2Bastatement id="deff1"> <title>定义5。</gydF4y2Batitle> <p>一个非空凸紧集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mi> K</米米l:mi> <mml:mo> ⊂</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>(<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ⩾</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>)与室内称为一个非空<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>设置,如果<gydF4y2Balist> <list-item> <label>(1)</gydF4y2Balabel> </list-item> </list></p> <p>对于任何<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mi> ψ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>存在只有一个向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mi mathvariant="bold"> v</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> ψ</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>,最大化<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mi mathvariant="bold"> v</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>标量的产品<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> v</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ψ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>;</p><gydF4y2Balist-item> <label>(2)</gydF4y2Balabel> <p>对于每一个边界点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>紧集的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>只存在一个支持超平面,通过这一点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></gydF4y2Balist-item> <p></p> </statement> <statement id="rem2"> <title>注6。</gydF4y2Batitle> <p>进一步,我们使用一些凸分析的概念(见,例如,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xrgydF4y2Baef>,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xrgydF4y2Baef>])。我们注意到<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mi> ψ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>这一点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mi mathvariant="bold"> v</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> ψ</米米l:mi> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>属于集合的边界<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。利用凸分析的术语,我们可以说<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>集是一个严格凸集和凸体。</p></gydF4y2Bastatement> <p>在[<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xrgydF4y2Baef>证明以下。</p><gydF4y2Bastatement id="lem3"> <title>引理7。</gydF4y2Batitle> <p>让一组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mi> K</米米l:mi> <mml:mo> ⊂</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ⩾</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>设置,让向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>有一些非零向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,这样<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后,<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> v</米米l:mi> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> v</米米l:mi> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="lem4"> <title>引理8。</gydF4y2Batitle> <p>对于一个给定的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,一组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⊂</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⩾</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>是一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>设置和向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>非零和向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> |</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> |</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>至少不等于一个向量<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不等于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然后这个数字<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>一个有严格的不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 15</xrgydF4y2Baef>)。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="proof2"> <title>证明。</gydF4y2Batitle> <p>在上述假设条件下,对于一个给定的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>最大化的函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>独特的定义。因此,<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> r</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> g</米米l:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced separators="" open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>让向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>不等于向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不等于<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。从引理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="lem3"> 7</xrgydF4y2Baef>我们得到以下的不平等:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>意味着达到极大的功能<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba我们可以证明<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>从关系(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 20.</xrgydF4y2Baef>)和(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq10"> 21</xrgydF4y2Baef>我们获得不平等<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq22"> <mml:mtd> <mml:mtext> (22)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∉</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> r</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> g</米米l:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>从上面和引理<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="lem2"> 2</xrgydF4y2Baef>,它遵循严格的不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 15</xrgydF4y2Baef>)持有。</p></gydF4y2Bastatement> <p>基于上述情况,我们获得以下定理。</p><gydF4y2Bastatement id="thm2"> <title>定理9。</gydF4y2Batitle> <p>如果至少一个数字<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>引理的条件<xrgydF4y2Baef ref-type="statement" rid="lem4"> 8</xrgydF4y2Baef>功能实现,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,一个有严格的不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq4"> 9</xrgydF4y2Baef>),因此严格不等式(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 6</xrgydF4y2Baef>)。</p></gydF4y2Bastatement> <statement id="rem3"> <title>备注10。</gydF4y2Batitle> <p>收益函数,有分隔形式(见(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 8</xrgydF4y2Baef>)),通常被认为是在博弈理论(见,例如,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xrgydF4y2Baef>])。</p></gydF4y2Bastatement> </sec> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。有用的合作在< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M161 " > < mml: mrow > < mml: mi > N < / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula >人游戏存在的恶意破坏性的球员</gydF4y2Batitle> <p>在本部分中,我们简要地研究了更一般的游戏模型比第一部分认为的存在<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>th的球员,一个恶意破坏性的球员。考虑问题的声明是出于a . v . Kryazhimskiy的讲话。</p><p>gydF4y2Ba我们考虑到<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>人游戏的形式几乎古典,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> ⩾</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。的支付函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>玩家是一个连续函数<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq24"> <mml:mtd> <mml:mtext> (24)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>有非空紧套在相应的有限维欧氏空间中。的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>th球员选择<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在以最大化<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq25"> <mml:mtd> <mml:mtext> (25)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>向量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是被恶意破坏性的球员,他的目标不是赢,而是伤害球员。我们想证明,有时是有利球员的曼联在联盟和并肩作战的可能的行动恶意破坏性的球员。</p><p>gydF4y2Ba的游戏,我们将研究<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>并进一步在类似的不平等<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>gydF4y2Ba注意,当不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 26</xrgydF4y2Baef>)是满足,它是有利的球员是曼联的一个联盟为了得到更大的回报通过讨价还价比在二人零和博弈。事实上,在不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 26</xrgydF4y2Baef>)我们用特征函数的概念从合作博弈理论。我们的研究是大大简化<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq13"> <mml:mtd rowspan="4"> <mml:mtext> (27)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ⋮</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>的功能<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mrow> <mml:mo> …</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是连续的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,而功能<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是连续的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula></p> <p>通过使用(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq13"> 27</xrgydF4y2Baef>)关系(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq12"> 26</xrgydF4y2Baef>)可以改写形式<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (28)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>注意,下面的不平等是适用的:<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (29)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⩾</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <statement id="prooff1"> <title>不等式的证明(< xref ref-type =“disp-formula”掉= " EEq15 " > < / xref > 29日)。</gydF4y2Batitle> <p>我们有<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq30"> <mml:mtd> <mml:mtext> (30)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⩾</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> - - - - - -</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>申请的两个部分的操作<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:mo> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>我们获得所需的不平等。</p><p>gydF4y2Ba从(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq15"> 29日</xrgydF4y2Baef>不平等的实现),(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq14"> 28</xrgydF4y2Baef>),它能充分保证不平等<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (31)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>注意,在一般情况下<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (32)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⩾</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此,对于不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq16"> 31日</xrgydF4y2Baef>)意识到,有必要不平等(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq17"> 32</xrgydF4y2Baef>)必须变得严格。</p><p>gydF4y2Ba证明了矛盾,严格不等式(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq16"> 31日</xrgydF4y2Baef>)认为如果<gydF4y2Badisp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (33)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> r</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> g</米米l:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 12</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∩</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> r</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> g</米米l:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 22</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∩</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> ∩</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 一个</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> r</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> g</米米l:mi> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 米</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 我</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> ⌀</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <p>注意,条件的实现(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq18"> 33</xrgydF4y2Baef>)是独立的选择功能<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 21</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> …</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>。从上面的,因此,它遵循严格不等式(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq14"> 28</xrgydF4y2Baef>)实现,它是充分的关系(<xrgydF4y2Baef ref-type="disp-formula" rid="EEq18"> 33</xrgydF4y2Baef>)是实现。</p></gydF4y2Basec> <sec id="sec4"> <title>4所示。结论</gydF4y2Batitle> <p>本文涉及到的理论的主题<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>人游戏。在这个理论中,非合作的合作游戏的区别。考虑问题的配方有关合作游戏理论(见,例如,<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xrgydF4y2Baef>- - - - - -<xrgydF4y2Baef ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xrgydF4y2Baef>])。请注意,我们正在研究的问题是直接关系到研究的特征函数的性质<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>人合作游戏理论,所有的球员组成了一个联盟。工会的具体参与者可能是企业,国家,等等。在这篇文章中我们已经考虑一般情况下非线性回报职能的分离形式,这些函数的线性形式的子用例。有效的充分条件,确保工会的有用性上的所有球员的联盟。一种学习方法<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>人游戏也被提出了<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>球员是活跃的和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:mn> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>th球员是一个恶意破坏性的球员,他的目标不是赢,但伤害他人。</p></gydF4y2Basec> <back> <sec> <title>相互竞争的利益</gydF4y2Batitle> <p>作者宣称没有利益冲突有关的出版。</p></gydF4y2Basec> <ack> <title>确认</gydF4y2Batitle> <p>作者要感谢教授v . i Zhukovskii宝贵的意见和建议,提高本文的演示。</p></一个ck> <ref-list> <ref id="B1" content-type="book"> <label>1</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 冯·诺依曼</gydF4y2Basurname> <given-names> J。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Morgenstern</gydF4y2Basurname> <given-names> O。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 博弈论与经济行为</我talic> <year> 1953年</ygydF4y2Baear> <publisher-loc> 普林斯顿,纽约,美国</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> 普林斯顿大学出版社</pgydF4y2Baublisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="book"> <label>2</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Petrosjan</gydF4y2Basurname> <given-names> l。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Zenkevich</gydF4y2Basurname> <given-names> n。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 博弈理论</我talic> <year> 2016年</ygydF4y2Baear> <edition> 2日</gydF4y2Baedition> <publisher-loc> 沱江边,新泽西,美国</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> 世界科学</pgydF4y2Baublisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="book"> <label>3</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 欧文</gydF4y2Basurname> <given-names> G。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 博弈理论</我talic> <year> 2013年</ygydF4y2Baear> <edition> 4日</gydF4y2Baedition> <publisher-loc> 彬格莱先生,英国</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> 翡翠集团出版有限公司</pgydF4y2Baublisher-name> <pub-id pub-id-type="other"> MR3443071</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Nikolskii</gydF4y2Basurname> <given-names> m . S。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 别</gydF4y2Basurname> <given-names> M。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title xml:lang="ru"> 在两人合作游戏的好处</一个rticle-title> <source> <italic> 数学教育</我talic> <year> 2014年</ygydF4y2Baear> <volume> 71年</vgydF4y2Baolume> <issue> 3</我ssue> <fpage> 34</fp一个ge> <lpage> 40</gydF4y2Balpage> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Nikolskii</gydF4y2Basurname> <given-names> m . S。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 别</gydF4y2Basurname> <given-names> M。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 三人合作游戏的好处</一个rticle-title> <source> <italic> 学报的不欢而散数学学院</我talic> <year> 2016年</ygydF4y2Baear> <volume> 293年</vgydF4y2Baolume> <supplement> 补充1</gydF4y2Basupplement> <fpage> 148年</fp一个ge> <lpage> 155年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1134 / s0081543816050138</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 纳什</gydF4y2Basurname> <given-names> j·F。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 讨价还价的问题</一个rticle-title> <source> <italic> 费雪</我talic> <year> 1950年</ygydF4y2Baear> <volume> 18</vgydF4y2Baolume> <fpage> 155年</fp一个ge> <lpage> 162年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2307 / 1907266</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR0035977</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>7</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 哈特</gydF4y2Basurname> <given-names> 年代。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Mas-Colell</gydF4y2Basurname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 谈判与合作战略游戏形式</一个rticle-title> <source> <italic> 欧洲经济协会杂志》上</我talic> <year> 2010年</ygydF4y2Baear> <volume> 8</vgydF4y2Baolume> <issue> 1</我ssue> <fpage> 7</fp一个ge> <lpage> 33</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1162 / jeea.2010.8.1.7</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 76349093159</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>8</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 冈田克也</gydF4y2Basurname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 合作的可能性在一个n人囚徒困境与制度安排</一个rticle-title> <source> <italic> 公共选择</我talic> <year> 1993年</ygydF4y2Baear> <volume> 77年</vgydF4y2Baolume> <issue> 3</我ssue> <fpage> 629年</fp一个ge> <lpage> 656年</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / bf01047864</pgydF4y2Baub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 21344495517</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="incollection"> <label>9</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 斯图尔特</gydF4y2Basurname> <given-names> h·W。</g我ven-names> </name> </person-group> <person-group person-group-type="editor"> <name> <surname> Chatterjee</gydF4y2Basurname> <given-names> K。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 萨缪尔森</gydF4y2Basurname> <given-names> w·F。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 合作游戏和商业策略</一个rticle-title> <source> <italic> 博弈论和业务应用程序</我talic> <year> 2001年</ygydF4y2Baear> <publisher-loc> 波士顿,美国质量</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> Kluwer学术</pgydF4y2Baublisher-name> <fpage> 189年</fp一个ge> <lpage> 211年</gydF4y2Balpage> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="book"> <label>10</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Zhukovskii</gydF4y2Basurname> <given-names> 诉我。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 合作游戏下不确定性和他们的应用程序</我talic> <edition> 2日</gydF4y2Baedition> <publisher-loc> 莫斯科,俄罗斯</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> 用户需求说明书</pgydF4y2Baublisher-name> <comment> 2010(俄罗斯)</gydF4y2Bacomment> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="book"> <label>11</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Bonnesen</gydF4y2Basurname> <given-names> T。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Fenchel</gydF4y2Basurname> <given-names> W。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 凸体理论</我talic> <year> 1987年</ygydF4y2Baear> <publisher-loc> 莫斯科,俄罗斯</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> BCS的同事</pgydF4y2Baublisher-name> <comment> (从德语翻译)</gydF4y2Bacomment> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="book"> <label>12</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rockafellar</gydF4y2Basurname> <given-names> r·T。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 凸分析</我talic> <year> 1970年</ygydF4y2Baear> <publisher-loc> 普林斯顿,纽约,美国</pgydF4y2Baublisher-loc> <publisher-name> 普林斯顿大学出版社</pgydF4y2Baublisher-name> <pub-id pub-id-type="other"> MR0274683</pgydF4y2Baub-id> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>