关于最多四条腿长度大于一的优美蜘蛛图

抽象的

一棵树的优雅标签与边缘是一个击倒这样等于．蜘蛛图是一棵树，最多一个顶点大于．我们展示了所有蜘蛛图，最多四条长度的长度大于一个广泛的优雅标签。

1.介绍

标记图形为各种学科和应用程序形成有用的模型，如编码理论，X射线晶体学，雷达，天文学，电路设计和通信网络寻址[1]。图表标签的各种应用的系统呈现呈现在[2]。

一个优雅的标签树是来自一组顶点的一个自由函数的集这样当每条边被分配了标签，所得到的边缘标签是不同的。承认优雅标签的树被称为优雅的树。1964年，林林和罗莎（见[3.，4]）给出了着名和未解决的“优雅的树猜想”，表明所有树木都是优雅的。

蜘蛛图是一种最多有一个顶点次数大于2的树。盖伦(1]请注意，关于蜘蛛图的这种猜想的特殊情况仍然是开放的，并且已知很少有蜘蛛图表是优雅的。黄等人。[5证明了所有三足或四足的蜘蛛图形都是优雅的。Bahls等人[6还证明，每个蜘蛛图，其中任何两个腿的长度最多都不同的蜘蛛图是优雅的。Jampachon等。[7]还证明了这一点是优雅的，如果足够大，在哪里在Section中定义3.．

在本文中，我们证明了所有最多四条腿长度大于一条的蜘蛛图都是优美的。

2.预先素质

让tree边缘。一个优雅的标签的是一个双射这样当每条边被分配了标签，则边缘标签集等于．一种允许优雅标记的树叫做树优美的树．

为了证明我们的结果，我们需要一些术语和存在结果，如下所述。在[8]， Hrnčiar和Haviar证明引理1在[9Jampachon和Poomsa-Ard证明了引理2和3.．

引理1。让tree边缘和优雅的标签．然后,该函数被定义为也是一个优雅的标签．

雷玛2。让用一个路径图,让，和．然后，有一个基础标记这样或， 在哪里边缘标签集是．

引理3。让，，是一条路径图,让．然后，有一个基础标记这样或， 在哪里边缘标签集是．

让是一棵树，让叶．让是从中获得的树通过添加顶点和边．在[10， Sangsura和Poomsa-Ard已经证明了引理4．

引理4。如果是树有一个优美的标签这样， 在哪里是一片叶子,然后对每个人都是优雅的．

3.主要结果

一个蜘蛛图或蜘蛛一个最多有一个顶点的树是否大于这个顶点叫做分支顶点并表示为．一个腿蜘蛛图是指从分支顶点到树的叶子的一条路径。让，，表示蜘蛛腿使其腿具有长度，除了长度的腿， 在哪里对所有人．

雷玛5。如果有一个优美的标签这样，然后有一个优雅的标签的这样．

证明。让是一个如图所示的图表1(一)．自是一个子图的优雅标记吗的,扩展至这样，，然后我们得到了是优雅的标签如图所示1 (b)．

定理6。这个图是优雅的。

证明。我们注意到,路径是长度的吗;例如,．让是一个标签通过标签交替在集合中最低和最高未使用的数字之间交替．我们有那个是优雅的标签这样通过引理5我们得到那个是优雅的。

雷姆玛7。如果有一个优美的标签这样,然后也是优雅。

证明。通过假设和引理5，有一个优雅的标签的这样．从引理的证据5，我们看到了为最大数目;也就是说,．让的所有顶点．由引理1，我们得到了这个功能是优雅的标签这样．然后，由lemma是优雅的4．

定理8。这个图是优雅的。

证明。从定理证明6，我们看到标签的一个优雅的标签是这样的吗．由引理7，我们因此得到了也是优雅。

定理9。这个图是优雅的。

证明。不失一般性，让,让为如图所示的路径2．
让是一个标签通过在集合中未使用的最低和最高号码之间交替的标签．我们有那个是优雅的标签这样．注意和．自如果和如果，然后是引理3.我们可以找到一个优雅的标签的这样．因此,由lemma是优雅的7．

定理9不是新的结果;它源自Jampachon和Poomsa-Ard [9，但我们这里的证明更简短。

接下来，考虑路径获得通过删除边缘和添加边缘和如图所示3.．

可以看出和．如果我们现在引入一种特殊的标签的哪一个可以用来生成一个优美的标签，它遵循 如果甚至,如果是奇怪的。可以看出，在标签上方，标签在集合中的最低和最高未使用的数字之间交替．而且，我们看到了承认优雅的标签，分支顶点的标签是;也就是说,．为方便起见，我们称之为上面的标签．

备注10。让是从中获得的路径如图所示3.,让成为标签的．注意，,．找到一个优雅的标签的，我们改变的值在顶点和的这样和．

接下来我们想表明这一点是优美的，为了证明这个结果，我们需要以下引理。

引理11。如果，然后有一个优雅的标签的这样．

证明。让为如图所示的路径4,让成为标签的．我们可以看到,和， 在哪里是路的叶子吗．如果我们更改值在通过颠倒它们的标签，我们得到了一个优雅的标签的这样．

引理12。如果和，然后有一个优雅的标签的这样．

证明。让为如图所示的路径5,让成为标签的．我们可以看到,和．
构造一个优美的标签的，我们考虑两种情况。
例1 ( 是奇怪的）．首先，我们切换值在和，，使之有新的价值在是而在是．然后我们改变新的价值在通过颠倒他们的标签;然后，通过引理3.，我们可以找到一个优雅的标签的这样．
例2 ( 甚至)．定义如下：对于，这样为， 如果甚至 如果是奇怪的，为， 如果甚至 如果是奇怪的，为， 如果甚至 如果是奇怪的，为， 如果甚至 如果是奇数为， 如果甚至 如果是奇怪的，为， 如果甚至 如果是奇怪的。按照上述标签模式，我们得到一个优雅的标签的这样．

引理13。如果，然后有一个优雅的标签的这样．

证明。让为如图所示的路径6,让成为标签的．我们可以看到,和．
如果是偶数，那么是由Lemmas2和3.，我们可以找到一个优雅的标签的这样．现在假设是奇怪的。构造一个优美的标签的，我们必须考虑两种情况。
例1 ( 甚至)
例1.1 ( ）．我们可以看到,和在路上．改变价值在通过颠倒他们的标签;然后，新的值在是．接下来，更改的新值在通过颠倒他们的标签。自顶点数的路径是偶数吗2和3.，我们可以找到一个优雅的标签的这样．
例1.2 ( ）．定义如下：对于，和为， 如果甚至 如果是奇怪的，为， 如果甚至 如果是奇怪的，为， 如果甚至 如果是奇怪的。按照上述标签模式，我们得到一个优雅的标签的这样．
案例1.3（ ）．我们可以看到,和在路上．改变价值在通过颠倒他们的标签。自顶点数的路径是偶数吗2和3.，我们可以找到一个优雅的标签的这样．
例2 ( 是奇怪的）．切换值在和，;之后，遵循类似于案例1的程序。

引理14。如果和，然后有一个优雅的标签的这样．

证明。让为如图所示的路径3.,让成为标签的．我们可以看到,而且,既然，一定有一个顶点铺在小路上这样．如果是偶数，那么是由Lemmas2和3.，我们可以找到一个优雅的标签的这样．现在假设是奇怪的。
例1 ( 甚至)
例1.1 ( ）．与引理的案例相似13.．
例1.2 ( ）．类似于引理的情况1.313.．
例2 ( 是奇怪的）．切换值在和，，之后与案例1类似。

定理15。让，，,是大于一个的整数。然后，其中有三个;说，,，为此蜘蛛图有一个优美的标签这样．

证明。不失一般性，让， 让为如图所示的路径5,让成为标签的．
例1 ( ）．由引理11有一个优美的标签的这样．
例2 ( ）．如果，然后是引理12有一个优美的标签的这样．现在假设．
如果，然后是引理13.有一个优美的标签的这样．
如果，然后是引理11有一个优美的标签的这样．
如果和，然后是引理12有一个优美的标签的这样．
如果和，然后是引理14.有一个优美的标签的这样．
如果，然后是引理13.有一个优美的标签的这样．
如果和，然后是引理12有一个优美的标签的这样．
如果和，然后是引理14.有一个优美的标签的这样．
例3 ( ）．由引理13.有一个优美的标签的这样．
例4 ( ）．如果，然后是引理14.有一个优美的标签的这样．现在假设．
如果，然后是引理14.有一个优美的标签的这样．
如果，然后是引理12有一个优美的标签的这样．
如果，然后是引理14.有一个优美的标签的这样．
如果，然后是引理13.有一个优美的标签的这样．
如果，然后是引理14.有一个优美的标签的这样．
如果，然后是引理13.有一个优美的标签的这样．
如果，然后是引理14.有一个优美的标签的这样．

定理16。这个图是优雅的。

证明。由定理15.，有一个优雅的标签一个蜘蛛图有三条腿，就是这样．由引理7，我们因此得到了是优雅的。

4.结论和备注

构建优雅标签所需的主要工具是一个优雅的标签与， 在哪里是分支顶点，以及lemmas的结果2和3.．

利益争夺

提交人声明他们没有竞争利益。

致谢

这项研究得到了泰国乌隆萨尼拉贾巴特大学的资助。作者要感谢数学系，理学院，以及其他种类的支持和鼓励。

参考

1. J. A. Gallian，《图形标注的动态研究》，电子组合学杂志，卷。16，第2015年第7条。视图:谷歌学术
2. G. S. Bloom和S. W. Golomb，“数字无向图的应用”，IEEE学报，第65卷，不。4, 562-570页，1977。视图:出版商网站|谷歌学术
3. G. Ringel，“图表理论及其应用”研讨会闷闷不乐的诉讼程序，第162页，捷克共和国布拉格，1964年。视图:谷歌学术
4. a . Rosa，《论图顶点的某些值》，载于图论，国际研讨会，罗马，1966年7月，第349-355页，Gordon and Breach, New York, NY, USA, 1967。视图:谷歌学术
5. C. Huang, A. Kotzig和A. Rosa，“关于树木标签的进一步结果，”Utheritas Mathematica.，卷。21，pp。31-48,1982。视图:谷歌学术|Mathscinet.
6. P. Bahls, S. Lake和A. Wertheim，“优雅的蜘蛛家族，”涉及，卷。3，不。3，pp。241-247，2010。视图:出版商网站|谷歌学术|Mathscinet.
7. P.Jampachon，K. Nakprasit和T. Poomsa-Ard，“优雅地标记某些类的蜘蛛图，三条腿大于一个腿”泰国数学杂志第12卷，没有。3，页621-630,2014。视图:谷歌学术|Mathscinet.
8. P. Hrnčiar和A. Haviar，“所有直径为五的树都很优雅，”离散数学，卷。233，没有。1-3，pp.133-150，2001。视图:出版商网站|谷歌学术|Mathscinet.
9. P.Jampachon和T. Poomsa-Ard，“蜘蛛图的优雅标签，长3个长度的长度，”远东数学科学杂志，卷。100，不。1，pp。51-64,2016。视图:出版商网站|谷歌学术
10. K. Sangsura和T. Poomsa-Ard，“蜘蛛图的四足长度大于一的分类的优雅标记”年代_n（k，l，m，2）”,远东数学科学杂志，卷。100，不。2，pp。255-269,2016。视图:出版商网站|谷歌学术

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