果酱 应用数学学报 1687 - 0042 1110 - 757 x Hindawi出版公司 10.1155 / 2016/5327026 5327026 研究文章 在优雅的蜘蛛图最多四条腿的长度大于1 http://orcid.org/0000 - 0001 - 5952 - 7606 Panpa 一个。 1 Poomsa-ard T。 1 陈 Zhi-Zhong 数学系 理学院 乌隆Rajabhat大学 41000年乌隆 泰国 udru.ac.th 2016年 23 11 2016年 2016年 15 08年 2016年 02 11 2016年 23 11 2016年 2016年 版权©2016 A。Panpa和t . Poomsa-ard。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

一个优雅的标签树<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> T 与<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> n 边缘是一个双射<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> f<米米l:mo> : V<米米l:mo stretchy="false"> ( T<米米l:mo stretchy="false"> ) → { 0 1<米米l:米o> , 2<米米l:米o> , … , n<米米l:mo stretchy="false"> } 这样<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> { | f<米米l:mo stretchy="false"> ( u<米米l:mo stretchy="false"> ) - - - - - - f<米米l:mo stretchy="false"> ( v<米米l:mo stretchy="false"> ) | : u<米米l:mi> v<米米l:mo> ∈ E<米米l:mo stretchy="false"> ( T<米米l:mo stretchy="false"> ) } 等于<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> { 1、2<米米l:米o> , … , n<米米l:mo stretchy="false"> } 。一只蜘蛛图是树最多一个顶点的度大于<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> 2 。我们表明,蜘蛛图最多四条腿的长度大于1承认优雅的标签。

乌隆Rajabhat大学 1。介绍

标记图形式有用模型等多种学科和应用程序在编码理论中,x射线晶体学,雷达、天文学、电路设计和通信网络解决 1]。多样化的应用程序的系统演示图标签提出了( 2]。

一个优雅的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> f 树<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> T 从顶点的集合是一个双射函数<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> V<米米l:mo stretchy="false"> ( T<米米l:mo stretchy="false"> ) 的<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> T 集<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> { 0 1<米米l:米o> , 2<米米l:米o> , … , | E<米米l:mo stretchy="false"> ( T<米米l:mo stretchy="false"> ) | } 这样,当每一个优势<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> x<米米l:mi> y 分配的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> | f<米米l:mo stretchy="false"> ( x<米米l:mo stretchy="false"> ) - - - - - - f<米米l:mo stretchy="false"> ( y<米米l:mo stretchy="false"> ) | ,由此产生的边标签是不同的。一棵承认优雅的标签被称为优美的树。1964年,Ringel和罗莎(见[ 3, 4])给了著名的和未解决的“优雅的树猜想”表示,所有树木都优雅。

蜘蛛图是树最多一个顶点的度大于2。盖伦( 1)指出,这个猜想的特殊情况有关蜘蛛图仍然是开放的,很少种类的蜘蛛图是优雅的。黄等。 5]证明所有蜘蛛图有三或四条腿是优雅的。巴尔et al。 6)也证明了每一个蜘蛛图中任意两个腿的长度相差最多是优雅的。Jampachon et al。 7也证明了<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> 年代 n ( k<米米l:mo> , l<米米l:mo> , 米<米米l:mo stretchy="false"> ) 是优雅的,如果<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> n 足够大,在哪里<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> 年代 n ( k<米米l:mo> , l<米米l:mo> , 米<米米l:mo stretchy="false"> ) 定义部分 3。

在本文中,我们证明所有蜘蛛图最多四条腿的长度大于1的优雅。

 2。预赛

让<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> T 是一个树<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> n 边缘。一个<我talic> 优雅的标签的<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> T 是一个双射<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> f<米米l:mo> : V<米米l:mo stretchy="false"> ( T<米米l:mo stretchy="false"> ) → { 0 1<米米l:米o> , 2<米米l:米o> , … , n<米米l:mo stretchy="false"> } 这样,当每一个优势<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> x<米米l:mi> y 分配的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> | f<米米l:mo stretchy="false"> ( u<米米l:mo stretchy="false"> ) - - - - - - f<米米l:mo stretchy="false"> ( v<米米l:mo stretchy="false"> ) | ,标签边缘设置=<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> { 1、2<米米l:米o> , … , n<米米l:mo stretchy="false"> } 。一个承认优雅的标签被称为树<我talic> 优美的树。

为了证明我们的结果,我们需要一些术语和存在下面描述的结果。在[ 8),Hrnčiar Haviar证明引理 1在[ 9Jampachon和Poomsa-Ard证明前题 2和 3。

引理1。

让<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> T 是一个树<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> n 边缘和一个优雅的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> f 。然后,该函数<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> f ∗ : V<米米l:mo stretchy="false"> ( T<米米l:mo stretchy="false"> ) → { 0 1<米米l:米o> , 2<米米l:米o> , … , n<米米l:mo stretchy="false"> } 定义为<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> f ∗ ( v<米米l:mo stretchy="false"> ) = n<米米l:mo> - - - - - - f<米米l:mo stretchy="false"> ( v<米米l:mo stretchy="false"> ) 也是一个优雅的标签吗<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> T 。

 引理2。

让<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> P 2<米米l:米i> n 是一个路径图<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> V<米米l:mo stretchy="false"> ( P 2<米米l:米i> n ) = { v 1 , v 2 , v 3 , … , v 2<米米l:米i> n } ,让<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> 米<米米l:mo> = { 一个<米米l:mo> + 1<米米l:米o> , 一个<米米l:mo> + 2<米米l:米o> , … , 一个<米米l:mo> + n<米米l:mo> , 米<米米l:mo> + 一个<米米l:mo> + 1<米米l:米o> , 米<米米l:mo> + 一个<米米l:mo> + 2<米米l:米o> , … , 米<米米l:mo> + 一个<米米l:mo> + n<米米l:mo stretchy="false"> } ,<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> 米<米米l:mo> ≥ n 和<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> 一个<米米l:mo> ≥ 0 。然后,有一个双射的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> f ′ : V<米米l:mo stretchy="false"> ( P 2<米米l:米i> n ) → 米 这样<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> f ′ ( v 1 ) = 我 或<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> f ′ ( v 2<米米l:米i> n ) = 我 ,在那里<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> 我<米米l:mo> ∈ 米 和边的标签集<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> { 米<米米l:mo> - - - - - - n<米米l:mo> + 1<米米l:米o> , 米<米米l:mo> - - - - - - n<米米l:mo> + 2<米米l:米o> , … , 米<米米l:mo> + n<米米l:mo> - - - - - - 1<米米l:米o stretchy="false"> } 。

 引理3。

让<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> P n ,<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> n<米米l:mo> ≥ 4 ,是一个路径图<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> V<米米l:mo stretchy="false"> ( P n ) = { v 1 , v 2 , v 3 , … , v n } ,让<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> 米<米米l:mo> = { 米<米米l:mo> , 米<米米l:mo> + 1<米米l:米o> , 米<米米l:mo> + 2<米米l:米o> , … , 米<米米l:mo> + n<米米l:mo> - - - - - - 1<米米l:米o stretchy="false"> } 。然后,有一个双射的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> f ′ : V<米米l:mo stretchy="false"> ( P n ) → 米 这样<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> f ′ ( v 1 ) = 我 或<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> f ′ ( v n ) = 我 ,在那里<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> 我<米米l:mo> ∈ 米 和边的标签集<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> { 1、2<米米l:米o> , 3<米米l:米o> , … , n<米米l:mo> - - - - - - 1<米米l:米o stretchy="false"> } 。

让<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> T 是一个树,让<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> u 是一片叶子<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> T 。让<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> T<米米l:mo stretchy="false"> ( u<米米l:mo> , u 1 , u 2 , … , u n ) 树获得<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> T 通过添加顶点<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> u 1 , u 2 , … , u n 和边<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> u<米米l:msub> u 1 , u 1 u 2 , … , u n<米米l:mo> - - - - - - 1 u n 。在[ 10),Sangsura和Poomsa-Ard证明引理 4。

引理4。

如果一棵树<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> T 有一个优雅的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> f 这样<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> f<米米l:mo stretchy="false"> ( u<米米l:mo stretchy="false"> ) = 0 ,在那里<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> u 是一片叶子<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> T ,然后<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> T<米米l:mo stretchy="false"> ( u<米米l:mo> , u 1 , u 2 , … , u n ) 是优雅的为每一个<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> n<米米l:mo> ≥ 1 。

 3所示。主要结果

一个<我talic> 蜘蛛图或<我talic> 蜘蛛是树最多一个顶点的度大于<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> 2 和这个顶点称为<我talic> 分支点和用<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> v 0 。一个<我talic> 腿一只蜘蛛图是顶点的路径分支树的叶子。让<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> 年代 n ( 米 1 , 米 2 , … , 米 k ) ,<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> n<米米l:mo> ≥ k ,表示一只蜘蛛<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> n 腿,腿长度有一个除外<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> k 腿的长度<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> 米 1 , 米 2 , … , 米 k ,在那里<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> 米 我 ≥ 2 对所有<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> 我<米米l:mo> = 1、2<米米l:米o> , … , k 。

引理5。

如果<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> 年代 k ( 米 1 , 米 2 , … , 米 k ) 有一个优雅的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> f 这样<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> f<米米l:mo stretchy="false"> ( v 0 ) = 0 ,然后有一个优雅的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> f ′ 的<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> 年代 n ( 米 1 , 米 2 , … , 米 k ) 这样<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> f ′ ( v 0 ) = 0 。

 证明。

让<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> T<米米l:mo> = 年代 n ( 米 1 , 米 2 , … , 米 k ) 是一个图如图 1(一)。自<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> f 是一个优雅的子图的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> 年代 k ( 米 1 , 米 2 , … , 米 k ) 的<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> T ,扩展<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> f 来<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> T 这样<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> f<米米l:mfenced separators="|"> u 我 = 我<米米l:mo> + 米 1 + 米 2 + ⋯ + 米 k ,<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> 我<米米l:mo> = 1、2<米米l:米o> , … , n<米米l:mo> - - - - - - k ,然后我们得到<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> f 是一个优雅的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> T 如图 1 (b)。

 定理6。

这个图<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> 年代 n ( 米<米米l:mo stretchy="false"> ) 是优雅的。

 证明。

我们注意到,<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> 年代 1 ( 米<米米l:mo stretchy="false"> ) 路径的长度吗<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> 米 ;例如,<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> 年代 1 ( 米<米米l:mo stretchy="false"> ) = v 0 , v 1 , … , v 米 。让<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> f 的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> 年代 1 ( 米<米米l:mo stretchy="false"> ) 通过标签之间交替的最低和最高未使用的数据集<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> { 0 1<米米l:米o> , 2<米米l:米o> , … , 米<米米l:mo stretchy="false"> } 。我们有<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> f 是一个优雅的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> 年代 1 ( 米<米米l:mo stretchy="false"> ) 这样<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> f<米米l:mo stretchy="false"> ( v 0 ) = 0 通过引理 5我们得到<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> 年代 n ( 米<米米l:mo stretchy="false"> ) 是优雅的。

 引理7。

如果<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> 年代 k ( 米 1 , 米 2 , … , 米 k ) 有一个优雅的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> f 这样<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> f<米米l:mo stretchy="false"> ( v 0 ) = 0 ,然后<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> 年代 n ( l<米米l:mo> , 米 1 , 米 2 , … , 米 k ) 也是优雅。

 证明。

通过假设和引理 5存在一个优雅的称号<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> f ′ 的<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> 年代 n ( 米 1 , … , 米 k ) 这样<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> f ′ ( v 0 ) = 0 。从引理的证明 5,我们看到,<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> f ′ ( u n<米米l:mo> - - - - - - k ) 的最大数量;也就是说,<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> f ′ u n<米米l:mo> - - - - - - k = n<米米l:mo> - - - - - - k + 米 1 + 米 2 + ⋯ + 米 k 。让<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> f ∗ ( v<米米l:mo stretchy="false"> ) = ( n<米米l:mo> - - - - - - k<米米l:mo stretchy="false"> ) + 米 1 + 米 2 + ⋯ + 米 k - - - - - - f ′ ( v<米米l:mo stretchy="false"> ) 所有顶点的<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> 年代 n ( 米 1 , … , 米 k ) 。由引理 1,我们得到的函数<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> f ∗ 是一个优雅的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> 年代 n ( 米 1 , … , 米 k ) 这样<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> f ∗ ( u n<米米l:mo> - - - - - - k ) = 0 。然后,<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> 年代 n ( l<米米l:mo> , 米 1 , 米 2 , … , 米 k ) 由引理优雅 4。

 定理8。

这个图<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> 年代 n ( l<米米l:mo> , 米<米米l:mo stretchy="false"> ) 是优雅的。

 证明。

从定理的证明 6,我们看到标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> f 的<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> 年代 1 ( 米<米米l:mo stretchy="false"> ) 是一个优雅的标签,这样<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> f<米米l:mo stretchy="false"> ( v 0 ) = 0 。由引理 7因此,我们得到<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> 年代 n ( l<米米l:mo> , 米<米米l:mo stretchy="false"> ) 也是优雅。

 定理9。

这个图<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> 年代 n ( l<米米l:mo> , 米<米米l:mo> , p<米米l:mo stretchy="false"> ) 是优雅的。

 证明。

不失一般性,我们<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> 米<米米l:mo> ≤ p ,让<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> P 路径如图 2。

让<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> f 的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> P 通过标签交替之间的最低和最高未使用的数据集<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> { 0 1<米米l:米o> , 2<米米l:米o> , … , 米<米米l:mo> + p<米米l:mo stretchy="false"> } 。我们有<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> f 是一个优雅的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> P 这样<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> f<米米l:mo stretchy="false"> ( v 0 ) = 0 。请注意,<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> 年代 2 ( 米<米米l:mo> , p<米米l:mo stretchy="false"> ) ≠ P 和<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> | f<米米l:mo stretchy="false"> ( v 米 ) - - - - - - f<米米l:mo stretchy="false"> ( v 米<米米l:mo> + 1 ) | = p 。自<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> f<米米l:mo stretchy="false"> ( v 2<米米l:米i> 米 ) = p 如果<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> 米<米米l:mo> = p 和<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> f<米米l:mo stretchy="false"> ( v 2<米米l:米i> 米<米米l:mo> + 1 ) = p 如果<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> 米<米米l:mo> < p 由引理,然后 3我们可以找到一个优雅的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> f ′ 的<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> 年代 2 ( 米<米米l:mo> , p<米米l:mo stretchy="false"> ) 这样<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> f ′ ( v 0 ) = 0 。因此,<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> 年代 n ( l<米米l:mo> , 米<米米l:mo> , p<米米l:mo stretchy="false"> ) 由引理优雅 7。

定理 9不是一个新的结果;它遵循从Jampachon Poomsa-Ard [ 9),但我们的证据是短。

接下来,考虑的路径<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> P 获得<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> 年代 3 ( 米<米米l:mo> , p<米米l:mo> , 问<米米l:mo stretchy="false"> ) 通过删除边缘<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> v 0 v 米<米米l:mo> + 1 和<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> v 0 v 米<米米l:mo> + p<米米l:mo> + 1 并添加边缘<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> v 米 v 米<米米l:mo> + 1 和<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> v 米<米米l:mo> + p v 米<米米l:mo> + p<米米l:mo> + 1 如图 3。

 4所示。结论和讲话

所需的主要工具构建一个优雅的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M453"> 年代 n ( l<米米l:mo> , 米<米米l:mo> , p<米米l:mo> , 问<米米l:mo stretchy="false"> ) 是一个优雅的标签<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M454"> f 与<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M455"> f<米米l:mo stretchy="false"> ( v 0 ) = 0 ,在那里<我nl我ne- - - - - -f或米ul一个><米ml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M456"> v 0 分支点,前题的结果吗 2和 3。

 相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。

 确认

这项研究是财务支持的乌隆Rajabhat大学,泰国。作者要感谢数学系,理学院,对于其他类型的支持和鼓励。