一类非线性椭圆Hessian方程解的唯一性

抽象的

通过Alexandrov-Fenchel不平等，我们建立了一般的Brunn-Minkowski不平等。然后我们获得了非线性椭圆粗糙的Hessian方程的解决方案的独特性．

1.介绍

根据一般的Brunn-Minkowski不等式，我们获得了以下完全非线性椭圆粗糙Hessian方程的解决方案的独特性证明： 在哪里是凸身体的支持功能，是二阶协会衍生关于任何正式框架在，是标准的克朗克er符号，是单位球体-尺寸，一个正函数的定义是，，,是Th基本对称功能定义如下：对于， 该定义可以扩展到任何对称矩阵通过， 在哪里特征值向量是．

等式（1)来自于凸体的几何学。欧几里得紧凸子集-空间非空的内部称为凸身．与凸起的重要概念是它的支持功能。

定义1。让凸体的边界)是一个光滑的、封闭的、均匀凸的超曲面，它将原点包围在其中．假设是由它的逆高斯映射参数化的；的支持功能 的(或）定义为 在哪里表示标准内部产品．

作为齐次函数推广后是凸的吗在．相反，任何连续凸起功能均匀度确定凸体如下: 从一些基本概念到支持功能，Minkowski Sum [查看定义4，混合卷[见定义5]，Minkowski开发了一系列与凸身体有关的理论。如果和， (1)为对应于经典闵可夫斯基问题的Monge-Ampère方程 由Nirenberg解决了这一点[1], Pogorelov [2，3.]、郑及Yau [4还有许多其他人。什么时候， (1）是古典Christoffel-Minkowski问题： 一个必要的条件[3.) (6)有一个解决方案是 在哪里是标准区域形式．关等人[5]获得（7)足以满足(6）有允许的解决方案[查看定义6]．

Firey [6]将Minkowski总和推广到-sum [查看定义4从到1962年。后来，Lutwak [7将经典的表面积度量扩展到和用例。还在7] Lutwak首先介绍了一般的Minkowski问题，称为-Minkowski问题此后。在光滑的类别中，-Minkowski问题等价于考虑下面的Monge-Ampère方程: 的独特性闵可夫斯基的问题和（如果唯一性持有扩张，如果)已经在[7]．但是，其唯一性很难又开放。在 [8]，建等人。获得的，对于任何一个，存在正函数保证（8）有两种不同的解决方案，这意味着我们需要更多的条件来考虑唯一性。

当考虑情况下，关注广义Christoffel-Minkowski问题。在光滑的类别中，我们需要学习-Hessian方程（1)．

为了 （1），胡等人。[9]得到解决方案的存在和唯一性（1） 什么时候和在适当的条件下。然而，1） 什么时候并没有得到很好的解决。本文研究了(1)．

我们的主要结果如下。

定理2。认为是一个积极的可接受的解决方案 在哪里，，,是在单位球体上定义的正函数然后唯一性持有。如果，唯一性适用于膨胀，这意味着如果解决（9）， 然后是(的全部解吗?9)．

备注3。在这里，我们重写（1） 经过 （9),．

本文的组织结构如下。节2，我们给出了Guan等人在[10.]．节3.，我们根据[11.]．在最后一节中，我们证明了主要定理。

2.预先素质

定义4。给定两个凸身尸体和在有各自的支持功能，,（）， 这Minkowski Sum. 由支持函数的凸起定义．
为， 让和是包含原点的两个凸起体在他们的内部和（)．凸起的身体，其支持函数给出,被称为艾菲尔 -和的和,“”是指-summation和““意味着Firey的乘法。

定义5。让是凸体以及他们闵可夫斯基的金额 是一个Th学位均匀的家庭多项式．特别是，体积是 在哪里的功能是对称的。然后被称为闵可夫斯基混合体积的

定义6。为， 让是凸锥在由此确定 一个函数叫做-convex.如果 和被称为一个可接受的解决方案到 （1)如果是-凸且满足(1)．

定义7。让是对称的真实矩阵,；的行列式是一个均匀的多项式在．也就是说, 事实上，系数仅取决于；然后它们是唯一确定的。被称为混合判别的．

对于以后的应用程序，我们在此处收到一些已证明的结果[10.]．

引理8。让为凸体的支撑函数,分别。表示闵可夫斯基混合体积通过和 然后 在哪里混合判别法(见定义?7的．

备注9。对所有人,设置,然后 在哪里是混合判别．此外，如果,表示和；然后

引理10。 是一个对称的多线性形式．

引理11。对于任何功能，，，我们有闵可夫斯基型积分公式， 在哪里标准面积元件开启了吗．

以下是Alexandrov-Fenchel不平等的一种形式-convex函数来自[10.]．

LEMMA 12（亚历山德罗夫 - Fenchel不平等）。如果是-convex，是积极的，存在这样在，那么，对于任何， 当且仅当对于一些常量．

3.两个重要命题

现在我们要证明两个重要的命题。我们使用的方法来自[11.]．

命题13。认为是-convex;然后 当且仅当对于一些常量．

证明。我们只需要证明 是凹陷的．环境，， 我们有 的对称多线性性质，很明显 其中最后一个不等式使用(20.）;因此是一个凹面的功能．容易检查平等状况。

命题14（一般Brunn-Minkowski不等式）。假设是-Convex，那么 当且仅当对于一些常量．

证明。环境 然后．经过 （21.)，；因此；也就是说, 然后 经过 （19.)， 然后

4.定理的证明2

现在我们来证明定理2．主要方法来自[7，12.]．

证明。假如说 （9）有两个解决方案和然后，我们考虑以下三种情况下的等式。
案例1（)．假设是最大值点，然后是， 我们有 也就是说, 因此 因此 然后 同样,我们有．因此．
案例2（)．我们有 然后 我们在第一个不等式中使用了Hölder不等式，并使用了(26.）在第二个。因此，这迫使两个等式都成立。由等式条件，存在一个常数这样经过 （9）， 我们知道．因此,
案例3（)．根据案例2，当， 我们有 然后所有的平等持有。因此存在,这样．因此是(的全部解吗?9)．
现在我们完成了定理的证明2．

利益争夺

作者宣布没有竞争利益。

参考

1. L. Nirenberg，“Weyl和Minkowski在大的微分几何中的问题”关于纯粹和应用数学的通信，第6卷，第2期3，pp。337-394,1953。视图:出版商网站|谷歌学术|Mathscinet.
2. A. V. Pogorelov，“关于凸起的凸面的凸面的存在性，”研究Uspekhi Matematicheskikh，卷。8，不。3，pp。127-130，1953（俄语）。视图:谷歌学术
3. A. V. Pogorelov，多维闵可夫斯基问题，温斯顿，华盛顿特区，美国，1978。
4. S. Y. Cheng和S. Yau，“关于解决方案的规律性n- 一寸Minkowski问题，“关于纯粹和应用数学的通信，卷。29，不。5，pp。495-516,1976。视图:出版商网站|谷歌学术|Mathscinet.
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10. 管鹏飞，x.n。Ma, N. Trudinger, X. Zhu，《亚历山德罗夫-芬切尔不等式的一种形式》，纯数学和应用数学季刊，第6卷，第2期4，页999-1012,2010。视图:出版商网站|谷歌学术|Mathscinet.
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12. K.-S。周和X.-J。王”,l_p-Minkowski问题和甲锭几何中的Minkowski问题，“数学进步，卷。205，没有。1，pp。33-83,2006。视图:出版商网站|谷歌学术|Mathscinet.