果酱 应用数学学报 1687 - 0042<我年代年代npub-type="ppub"> 1110 - 757 x Hindawi出版公司 10.1155 / 2016/4649150 4649150 研究文章 非线性椭圆黑森方程惟一性的解决方案 http://orcid.org/0000 - 0001 - 5014 - 9979 李 本 1 孔卡 卡洛斯 学校的数学和应用统计学<一个ddr- - - - - -l在e> 工程和信息科学的教师<一个ddr- - - - - -l在e> 伍伦贡大学<一个ddr- - - - - -l在e> 伍伦贡<一个ddr- - - - - -l在e> 新南威尔士州2522 澳大利亚 uow.edu.au 2016年 1<米onth> 12 2016年 2016年 29日<米onth> 06 2016年 06<米onth> 11 2016年 2016年 版权©2016本。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

通过一个Alexandrov-Fenchel不平等,我们建立一般Brunn-Minkowski不平等。然后我们获得解的唯一性非线性椭圆黑森方程<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> 年代 n 。

 1。介绍</t我tle><p>根据一般Brunn-Minkowski不等式,我们获得解的唯一性的证明完全非线性椭圆黑森方程如下:<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1.1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mtext> 在</米米l:米text><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是凸的身体功能的支持,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>二阶协变派生的吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>对任何标准正交坐标系<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是标准的克罗内克的象征,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的单位球吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>维度,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个积极的函数上定义<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> {</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1、2</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> }</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> th基本对称函数</我t一个l我c>定义如下:<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mi> λ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munder> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ⩽</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米o> ⋯</米米l:米o><米米l:米o> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⩽</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munder> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>可以扩展到任何对称矩阵的定义<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mi> W</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>通过<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> W</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> λ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> W</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,在那里<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mi> λ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> W</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> W</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> W</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> W</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是特征值向量的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>方程(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>从几何凸体)的到来。一个紧凑的欧几里得的凸子集<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>讨论<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>非空的内部被称为<我t一个l我c> 凸体</我t一个l我c>。一个重要的概念与凸体有关<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>其支持的功能。</p><年代t一个te米ent我d="deff1"> <title>定义1。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(凸体的边界<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>)是一个光滑,关闭,均匀凸超曲面封闭的起源<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。假设<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是参数化的逆高斯地图吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mi> X</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> →</米米l:米o><米米l:米i> 米</米米l:米我><米米l:mo> ⊂</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>;的<我t一个l我c> 支持功能</我t一个l我c> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(或<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>)被定义为<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> u</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> X</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> ∀</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="〈" close="〉" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ·</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> ·</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>表示标准的内积<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent><p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>后凸被扩展的均匀程度的函数吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。相反,任何连续凸函数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>均匀度<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>决定一个凸体如下:<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> :</米米l:米o><米米l:米i> y</米米l:米我><米米l:mo> ·</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ⩽</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米text> </mml:mtext> <mml:mo> ∀</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>从一些基本的概念来支持函数,闵可夫斯基(见定义求和<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="deff2"> 4</xref>),和混合卷(见定义<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="deff3"> 5</xref>闵可夫斯基,发展出了一套理论与凸体有关。如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>)是Monge-Ampere方程对应的经典闵可夫斯基的问题<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1.2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 依据</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> o</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> n</米米l:米我><米米l:mtext> </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>已解决Nirenberg [<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B1"> 1</xref>],Pogorelov [<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B2"> 2</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B3"> 3</xref>程),和姚<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B4"> 4</xref>),和许多其他人。当<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>)是古典Christoffel-Minkowski问题:<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1.3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> o</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> n</米米l:米我><米米l:mtext> </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>一个必要条件<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B3"> 3</xref>)(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.3"> 6</xref>)解决方案<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1.4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> ∀</米米l:米o><米米l:米i> 我</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1、2</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是标准的区域形成了<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。关等。<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B5"> 5</xref>获得()<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.4"> 7</xref>)是足够了(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.3"> 6</xref>一个容许的解决方案(见定义)<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="deff4"> 6</xref>]。</p><p>F我rey[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B6"> 6</xref>]广义闵可夫斯基总和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>金额(见定义<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="deff2"> 4</xref>从<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>来<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>在1962年。后来,Lutwak [<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B7"> 7</xref>)扩展的古典表面积测量<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和用例。还在<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B7"> 7</xref>),陆twak首次引入一般闵可夫斯基问题,叫做<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>闵可夫斯基的问题。在光滑的类别,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>闵可夫斯基问题相当于考虑以下Monge-Ampere方程:<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1.5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 依据</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> o</米米l:米我><米米l:mi mathvariant="normal"> n</米米l:米我><米米l:mtext> </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>的独特性<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>闵可夫斯基的问题<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ≠</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>(唯一性持有扩张如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>)已经解决了<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B7"> 7</xref>]。然而,独特性<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>是困难的和还在营业。在[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B8"> 8</xref>),获得剑等人,对于任何<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> <</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,存在一个积极的功能<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>保证(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.5"> 8</xref>)有两个不同的解决方案,这意味着我们需要更多考虑唯一性条件。</p><p>当考虑情况下<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ⩽</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,注意广义Christoffel-Minkowski问题。在光滑的类别,我们需要研究<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>黑森方程(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>)。</p><p>(<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>),胡锦涛等。<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B9"> 9</xref>]得到解的存在性和唯一性<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>)当<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ⩽</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>在适当的条件下。然而,的独特性(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>)当<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>还没有被解决。在本文中,我们研究的独特性(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>)<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</p><p>我们的主要结果如下。</p><年代t一个te米ent我d="thm1"> <title>定理2。</t我tle><p>假设<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个容许正解的<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1.6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> f</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> o</米米l:米我><米米l:mi> n</米米l:米我><米米l:mtext> </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ⩽</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> Z</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ∖</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个积极的函数定义在单位球吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>然后是独特性。如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,独特性扩张,这意味着如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>解决(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.6"> 9</xref>),然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mi> u</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米o> ∀</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的整体解决方案(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.6"> 9</xref>)。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="rem1"> <title>备注3。</t我tle><p>在这里,我们重写(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>)(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.6"> 9</xref>),<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> p</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent><p>本文的组织如下。节<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="sec" rid="sec2"> 2</xref>,我们将展示一些基本的概念和引理已获得的关等人在<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B10"> 10</xref>]。节<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="sec" rid="sec3"> 3</xref>根据方法,我们证明两个有用的命题(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B11"> 11</xref>]。在最后一节中,我们证明的主要定理。</p></年代ec> <sec id="sec2"> <title>2。预赛</t我tle><年代t一个te米ent id="deff2"> <title>定义4。</t我tle><p>给定两个凸体<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>与各自的支持功能<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mi> λ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> μ</米米l:米我><米米l:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>(<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mi> λ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> μ</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>),<我t一个l我c> 闵可夫斯基总和</我t一个l我c> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi> λ</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> μ</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⊂</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>由凸体的支持函数定义是什么<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mi> λ</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> μ</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>为<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mi> p</米米l:米我><米米l:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是两个凸体包含原点<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在他们的内部<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mi> λ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> μ</米米l:米我><米米l:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>(<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mi> λ</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> μ</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>)。凸体<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mi> λ</米米l:米我><米米l:mo> ∘</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> μ</米米l:米我><米米l:mo> ∘</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是由的支持功能<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> μ</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,被称为<我t一个l我c> Firey的</我t一个l我c> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 总和</我t一个l我c>的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,“<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>”是指<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>总结和“<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mrow> <mml:mo> ∘</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>”意味着Firey的乘法。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="deff3"> <title>定义5。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>凸的身体在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和体积的闵可夫斯基<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 问</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米o> ⋯</米米l:米o><米米l:米o> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>是一个<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>学位齐次多项式的家庭<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。特别的体积<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 卷</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 卷</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米o> ⋯</米米l:米o><米米l:米o> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> r</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> V</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>的功能<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是对称的。然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mi> V</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>被称为<我t一个l我c> 闵可夫斯基混合体积</我t一个l我c>的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula></p> </statement> <statement id="deff4"> <title>定义6。</t我tle><p>为<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1、2</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我t一个l我c> 凸锥</我t一个l我c>在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>这是由<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> :</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>一个函数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mi> u</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>被称为<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 凸</我t一个l我c>如果<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> W</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> ∀</米米l:米o><米米l:米i> x</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>被称为一个<我t一个l我c> 可接受的解决方案</我t一个l我c>(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>)如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>凸和满足(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.1"> 1</xref>)。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="deff5"> <title>定义7。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>真正是对称的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ×</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>矩阵,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>;的行列式<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米o> ⋯</米米l:米o><米米l:米o> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是一个齐次多项式的学位<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。也就是说,<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 依据</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米o> ⋯</米米l:米o><米米l:米o> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>事实上,系数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋯</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>只取决于<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>;然后他们唯一确定。<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>被称为<我t一个l我c> 混合判别</我t一个l我c>的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent><p>为以后应用程序中,我们收集一些结果已被证明在<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B10"> 10</xref>]。</p><年代t一个te米ent我d="lem1"> <title>引理8。</t我tle><p>让<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>凸体的支持功能<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,分别。表示闵可夫斯基混合体积<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mi> V</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>通过<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mi> V</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1、2</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> V</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>是混合判别(见定义呢<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="deff5"> 7</xref>的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="rem2"> <title>备注9。</t我tle><p>对所有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ⩽</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> ⩽</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,设置<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米o> ⋯</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,然后<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> V</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≔</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> D</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>混合判别<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 3</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。此外,如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米o> ⋯</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,表示<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mi> V</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≔</米米l:米o><米米l:米i> V</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ≔</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>;然后<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq18"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (18)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> V</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 依据</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="lem2"> <title>引理10。</t我tle><p><我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个对称的多重线性形式<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="lem3"> <title>引理11。</t我tle><p>对于任何函数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mi> u</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mi> W</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ⩽</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> n</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,我们有闵可夫斯基类型积分公式,<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> W</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是标准的面积元素<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent><p>以下是一种积极Alexandrov-Fenchel不等式<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>凸函数来自[<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B10"> 10</xref>]。</p><年代t一个te米ent我d="lem4"> <title>引理12 (Alexandrov-Fenchel不平等)。</t我tle><p>如果<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>凸,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是正的,存在吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced open="{" close="}" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2、3</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>这样<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>那么,对于任何<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>,<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2.2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>当且仅当与平等<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对于一些常量<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent></sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。两个重要的命题</t我tle><p>现在我们是两个重要的命题。我们使用的方法是(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B11"> 11</xref>]。</p><年代t一个te米ent我d="prop1"> <title>第13号提案。</t我tle><p>假设<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>凸;然后<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米i class="cond"> </mml:mi> <mml:mo> ∀</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>当且仅当与平等<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对于一些常量<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="proof1"> <title>证明。</t我tle><p>我们只需要证明<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq22"> <mml:mtd> <mml:mtext> (22)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>是凹的<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。设置<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米o stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mi> t</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米fenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq23"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ︷</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>对称的多重线性性质<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,很明显<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq24"> <mml:mtd> <mml:mtext> (24)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ︷</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米over> <mml:mrow> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ︷</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="eq25"> <mml:mtd> <mml:mtext> (25)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</米米l:米我><米米l:mi> ′</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ︷</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ·</米米l:米o><米米l:米fenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ︷</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ·</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米over> <mml:mrow> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ︷</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米over> <mml:mrow> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ︷</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⩽</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>过去的不平等使用(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq2.2"> 20.</xref>);因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个凹函数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。平等的条件是很容易检查。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="prop2"> <title>14号预选提案(一般Brunn-Minkowski不平等)。</t我tle><p>假设<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>是<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>凸,然后<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3.2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>当且仅当与平等<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∑</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi></mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对于一些常量<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="proof2"> <title>证明。</t我tle><p>设置<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq27"> <mml:mtd> <mml:mtext> (27)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米i> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。由(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq3.1"> 21</xref>),<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mi> F</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> t</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ⩾</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>;因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ′</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> ⩾</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>;也就是说,<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq28"> <mml:mtd> <mml:mtext> (28)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米over> <mml:mrow> <mml:mover accent="false"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o><米米l:米o> …</米米l:米o><米米l:米o> ,</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ︷</米米l:米o></米米l:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq29"> <mml:mtd> <mml:mtext> (29)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>由(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq2.1"> 19</xref>),<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq30"> <mml:mtd> <mml:mtext> (30)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq31"> <mml:mtd> <mml:mtext> (31)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> </sec> <sec id="sec4"> <title>4所示。定理的证明< xref ref-type =“声明”掉= " thm1 " > < / xref > 2</t我tle><p>现在我们证明定理<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="thm1"> 2</xref>。主要的方法是(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B7"> 7</xref>,<xrefref- - - - - - - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="bibr" rid="B12"> 12</xref>]。</p><年代t一个te米ent我d="proof3"> <title>证明。</t我tle><p>假设(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.6"> 9</xref>有两个解决方案<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后我们考虑方程在以下三种情况。</p><p><我t一个l我c> 案例1</我t一个l我c>(<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>)。假设<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的最大值点吗<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mi> G</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,然后在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq32"> <mml:mtd rowspan="2"> <mml:mtext> (32)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米o> ∇</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ln</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> ⩾</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ln</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米fenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ;</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>也就是说,<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq33"> <mml:mtd> <mml:mtext> (33)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ⩽</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∇</米米l:米o></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq34"> <mml:mtd> <mml:mtext> (34)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⩽</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ;</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>因此<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq35"> <mml:mtd> <mml:mtext> (35)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⩽</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟹</米米l:米o><米米l:米i> G</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米frac> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ⩽</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> ;</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq36"> <mml:mtd> <mml:mtext> (36)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ⩽</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> 。</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>同样,我们有<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ⩽</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mi> u</米米l:米我><米米l:mo> ≡</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。</p><p><我t一个l我c> 案例2</我t一个l我c>(<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n><米米l:米o> <</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>)。我们有<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq37"> <mml:mtd> <mml:mtext> (37)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ;</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq38"> <mml:mtd> <mml:mtext> (38)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o><米米l:米row> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在我们使用夹在第一不平等和不平等使用(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq3.2"> 26</xref>在第二个)。因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o><米米l:米o> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>同时,这迫使平等。平等的条件下,存在一个常数<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>这样<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mi> u</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>由(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.6"> 9</xref>),我们知道<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。因此,<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:mi> u</米米l:米我><米米l:mo> ≡</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula></p> <p> <italic> 案例3</我t一个l我c>(<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>)。根据第二种情况,当<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn mathvariant="normal"> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p- - - - - -for米ul一个><米米l:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq39"> <mml:mtd> <mml:mtext> (39)</米米l:米text></米ml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msubsup> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o></米米l:mstyle> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我><米米l:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> ∫</米米l:米o><米米l:米row> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o><米米l:米i> v</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:米我><米米l:mi> 年代</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ⩾</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o><米米l:米i> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:米o><米米l:米年代ub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o><米米l:米n mathvariant="normal"> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced separators="|"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ;</米米l:米o></米米l:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后所有的平等。因此存在<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:mi> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米i mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>,这样<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mi> v</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mi> u</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。因此<我nl在e- - - - - -for米ul一个><米米l:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mi> u</米米l:米我><米米l:mo> :</米米l:米o><米米l:米o> ∀</米米l:米o><米米l:米i> 一个</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o><米米l:米年代up> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck"> R</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o></米米l:math> </inline-formula>的整体解决方案(<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="disp-formula" rid="EEq1.6"> 9</xref>)。</p><p>现在我们完成定理的证明<xrefref- - - - - -- - - - - -- - - - - -- - - - - - - -type="statement" rid="thm1"> 2</xref>。</p></年代t一个te米ent></sec> <back> <sec> <title>相互竞争的利益</t我tle><p>作者宣称没有利益冲突。</p></年代ec> <ref-list> <ref id="B1" content-type="article"> <label>1</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Nirenberg</年代urn一个米e><given-names> l</given-names> </name> </person-group> <article-title> 韦尔和闵可夫斯基在微分几何的大问题</一个rt我cle-title> <source> <italic> 通信在纯粹和应用数学</我t一个l我c> <year> 1953年</ye一个r><volu米e> 6</volu米e><我年代年代ue> 3</我年代年代ue><fp一个ge> 337年</fp一个ge> <lpage> 394年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / cpa.3160060303</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR0058265</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Pogorelov</年代urn一个米e><given-names> 答:V。</given-names> </name> </person-group> <article-title xml:lang="ru"> 存在一个凸表面与给定和主曲率半径</一个rt我cle-title> <source> <italic> 研究Uspekhi Matematicheskikh</我t一个l我c> <year> 1953年</ye一个r><volu米e> 8</volu米e><我年代年代ue> 3</我年代年代ue><fp一个ge> 127年</fp一个ge> <lpage> 130年</lp一个ge> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="book"> <label>3</l一个bel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Pogorelov</年代urn一个米e><given-names> 答:V。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 多维闵可夫斯基的问题</我t一个l我c> <year> 1978年</ye一个r><publisher-loc> 美国华盛顿特区</publisher-loc> <publisher-name> 温斯顿</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 程</年代urn一个米e><given-names> s Y。</given-names> </name> <name> <surname> 邱</年代urn一个米e><given-names> s T。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 规律性的解决方案<我t一个l我c> n</我t一个l我c>维闵可夫斯基的问题</一个rt我cle-title> <source> <italic> 通信在纯粹和应用数学</我t一个l我c> <year> 1976年</ye一个r><volu米e> 29日</volu米e><我年代年代ue> 5</我年代年代ue><fp一个ge> 495年</fp一个ge> <lpage> 516年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / cpa.3160290504</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR0423267</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 关</年代urn一个米e><given-names> P。</given-names> </name> <name> <surname> 马</年代urn一个米e><given-names> X.-N。</given-names> </name> <name> <surname> 周</年代urn一个米e><given-names> F。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Christofel-Minkowski问题。三世。容许的存在和凸性的解决方案</一个rt我cle-title> <source> <italic> 通信在纯粹和应用数学</我t一个l我c> <year> 2006年</ye一个r><volu米e> 59</volu米e><我年代年代ue> 9</我年代年代ue><fp一个ge> 1352年</fp一个ge> <lpage> 1376年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / cpa.20118</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2237290</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 33746401933</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Firey</年代urn一个米e><given-names> w·J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>——凸的身体</一个rt我cle-title> <source> <italic> Mathematica Scandinavica</我t一个l我c> <year> 1962年</ye一个r><volu米e> 10</volu米e><fp一个ge> 17</fp一个ge> <lpage> 24</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.7146 / math.scand.a - 10510</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR0141003</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Lutwak</年代urn一个米e><given-names> E。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Brunn-Minkowski-Firey理论我:混合卷和闵可夫斯基的问题</一个rt我cle-title> <source> <italic> 《微分几何</我t一个l我c> <year> 1993年</ye一个r><volu米e> 38</volu米e><我年代年代ue> 1</我年代年代ue><fp一个ge> 131年</fp一个ge> <lpage> 150年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="other"> MR1231704</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 剑</年代urn一个米e><given-names> H。</given-names> </name> <name> <surname> 陆</年代urn一个米e><given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> 王</年代urn一个米e><given-names> X.-J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 解的非唯一性<我t一个l我c> l</我t一个l我c> <sub>p</年代ub>闵可夫斯基的问题</一个rt我cle-title> <source> <italic> 数学的发展</我t一个l我c> <year> 2015年</ye一个r><volu米e> 281年</volu米e><fp一个ge> 845年</fp一个ge> <lpage> 856年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.aim.2015.05.010</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR3366854</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84931262965</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 胡</年代urn一个米e><given-names> c . Q。</given-names> </name> <name> <surname> 马</年代urn一个米e><given-names> X.-N。</given-names> </name> <name> <surname> 沈</年代urn一个米e><given-names> C。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在Christoffel-Minkowski Firey的问题<我t一个l我c> p</我t一个l我c>总和</一个rt我cle-title> <source> <italic> 变分法和偏微分方程</我t一个l我c> <year> 2004年</ye一个r><volu米e> 21</volu米e><我年代年代ue> 2</我年代年代ue><fp一个ge> 137年</fp一个ge> <lpage> 155年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s00526 - 003 - 0250 - 9</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2085300</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 4644370992</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 关</年代urn一个米e><given-names> p F。</given-names> </name> <name> <surname> 马</年代urn一个米e><given-names> X.-N。</given-names> </name> <name> <surname> Trudinger</年代urn一个米e><given-names> N。</given-names> </name> <name> <surname> 朱</年代urn一个米e><given-names> X。</given-names> </name> </person-group> <article-title> Alexandrov-Fenchel不平等的一种形式</一个rt我cle-title> <source> <italic> 纯粹与应用数学季刊</我t一个l我c> <year> 2010年</ye一个r><volu米e> 6</volu米e><我年代年代ue> 4</我年代年代ue><fp一个ge> 999年</fp一个ge> <lpage> 1012年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.4310 / pamq.2010.v6.n4.a2</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2742035</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 79952258733</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="book"> <label>11</l一个bel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 施耐德</年代urn一个米e><given-names> R。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 凸体:Brunn-Minkowski理论</我t一个l我c> <year> 2013年</ye一个r><publisher-loc> 英国剑桥</publisher-loc> <publisher-name> 剑桥大学出版社</publisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>12</l一个bel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 周</年代urn一个米e><given-names> K.-S。</given-names> </name> <name> <surname> 王</年代urn一个米e><given-names> X.-J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 的<我t一个l我c> l</我t一个l我c> <sub>p</年代ub>闵可夫斯基在centroaffine几何问题和闵可夫斯基的问题</一个rt我cle-title> <source> <italic> 数学的发展</我t一个l我c> <year> 2006年</ye一个r><volu米e> 205年</volu米e><我年代年代ue> 1</我年代年代ue><fp一个ge> 33</fp一个ge> <lpage> 83年</lp一个ge> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.aim.2005.07.004</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> MR2254308</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 33746888293</pub-id> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>